大学离散数学欧拉图和哈密尔顿图
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
例1：
2020/5/26
G | V1 |＝3， p（G－ V1 ）＝4
G－V1
p（G－ V1 ）≤| V1 |不成立，故G非H图。
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
例2：
▪ 证明下述各图不是哈密顿图:
12
计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
问题描述： ▪ 设有某邮递员为送信，从邮局出发，到所管辖的街道投
递邮件，最后返回邮局，若必须走遍所辖各街道中每一 条最少一次，则怎样选择投递路线使所走的路程最短？
问题抽象： ▪ 将街区用一个图G进行表示，上述问题可以用图论的语
言来描述： ▪ 在一个赋权图中，能否找到一条包含每条边最少一次
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
例1
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
2020/5/26
半欧拉图
无欧拉通路
半欧拉图
11
计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
A 10
0
0B
1
0
C
11
例2：
▪ 问题描述
▪ 计算机鼓轮设计中模数转换 问题
▪ 问题分析
2020/5/26
且长度最短回路？
2020/5/26
13
计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
问题分析
▪ 若G不连通，则无解 ▪ 否则：
▪ 若G是欧拉图，则G的欧拉回路就是问题的最优解。 ▪ 若G是半欧拉图，且邮局就是其中一个奇度点
▪ 问题转化为求G的欧拉通路和两点的最短路径问题。 ▪ 若G中次数为奇数的结点多于2
▪ 定理15.2
▪ 无向图G是半欧拉图 G是连通的，且G中恰有2个奇 度顶点
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
例1：
无欧拉通(回)路
欧拉图
欧拉图
2020/5/26
半欧拉图
半欧拉图
无欧拉通(回)路
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
例2：
A
B
D
C
▪ 规定平凡图是哈密顿图
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.2 Hamilton图的定义
例：判断下图是否为H图？
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
定理15.6 （必要条件）
▪ 设G＝＜V，E＞是H图，则对V的每个非空子集V1均有下
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2 Hamilton 图
15.2.1 问题引入 15.2.2 Hamilton图的定义 15.2.3 Hamilton图的判定方法 15.2.4 应用举例
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
来自百度文库15.1.3 欧拉图的判定定理
有向欧拉（半欧拉）图的判定定理
▪ 定理15.3
▪ 有向图D是欧拉图 D是强连通且所有顶点的入度等 于出度。
▪ 定理15.4
▪ 有向图D是半欧拉图 D是单向连通的且D中恰有两 个奇度顶点，其中一个顶点的入度比出度大1,一个顶 点的入度比出度小1, 其余的顶点的入度等于出度。
哥尼斯堡七桥问题
Seven bridges of Königsberg problem A
B
D
▪问题分析： C
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.2 欧拉图
定义15.1：
▪ 设Ｇ＝＜V，E＞是连通图
▪ 欧拉通路（Euler Path） 半欧拉图 ▪ 欧拉回路（Euler Circuit） 欧拉图 (Eulerian)
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
Willam Rowan Hamilton(1805~1865):
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.2 Hamilton图的定义
定义15.2：
▪ 设图G＝＜V，E＞
▪ 哈密顿通路
半哈密顿图
▪ 哈密顿回路
哈密顿图
▪ 说明：
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
例3：一笔画问题及推广
▪ 问题描述 ▪ 问题分析
▪ 设图中有2k个奇度点， ▪ 若k ＝0，可以 一笔画成，且起点和终点相同； ▪ 若k ＝1，可以 一笔画成，起点和终点恰为图中 的两个奇度点；
▪ 若k ＞1，可以 k笔画成，每笔的起点和终点恰 为图中的两个奇度点；
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第15章 欧拉图和哈密顿图
15.1 欧拉图 15.2 哈密尔顿图
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1 欧拉图
15.1.1 问题引入 15.1.2 欧拉图 15.1.3 欧拉图的判定定理 15.1.4 中国邮路问题
2020/5/26
2
计算机科学学院 刘芳
15.1.1 问题引入
说明
▪ 规定平凡图是欧拉图； ▪ 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路； ▪ 环不影响图的欧拉性。
2020/5/26
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实例
计算机科学学院 刘芳
15.1.2 欧拉图
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
无向欧拉（半欧拉）图的判定定理
▪ 定理15.1
▪ 无向图G是欧拉图 G是连通的且无奇度顶点。
式成立：
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p（G－V1）≤| V1 | - - - - - - - - - -（1）
证明：
▪ 若G是H回路C，则（1）显然成立；
▪ 若G是H图，则设C是G的一条H回路，则对V的任意非空子集V1 ，均
有p（C－ V1 ）≤| V1 | ， 而C－ V1是G－ V1的生成子图， 故有p（G－ V1 ）≤ p（C－ V1 ） 于是有： p（G－ V1 ）≤| V1 | 成立。
(a)
(b)
推论1:哈密尔顿图无割点.
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▪ 则回路中必须增加更多的重复边，这时，怎样使 重复边的总长度最小？
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
例如：
2020/5/26
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15.1.4 中国邮路问题
判断条件
▪ 定理：
▪ 设L是图G的包含所有边的回路，则L具有最小长 度的充分必要条件是： ▪ 每条边最多重复一次； ▪ G的每个回路上，所有重复边的长度之和，不 超过该回路长度的一半。
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15.2.3 Hamilton图的判定方法
例1：
2020/5/26
G | V1 |＝3， p（G－ V1 ）＝4
G－V1
p（G－ V1 ）≤| V1 |不成立，故G非H图。
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15.2.3 Hamilton图的判定方法
例2：
▪ 证明下述各图不是哈密顿图:
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15.1.4 中国邮路问题
问题描述： ▪ 设有某邮递员为送信，从邮局出发，到所管辖的街道投
递邮件，最后返回邮局，若必须走遍所辖各街道中每一 条最少一次，则怎样选择投递路线使所走的路程最短？
问题抽象： ▪ 将街区用一个图G进行表示，上述问题可以用图论的语
言来描述： ▪ 在一个赋权图中，能否找到一条包含每条边最少一次
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15.1.3 欧拉图的判定定理
例1
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
2020/5/26
半欧拉图
无欧拉通路
半欧拉图
11
计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
A 10
0
0B
1
0
C
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例2：
▪ 问题描述
▪ 计算机鼓轮设计中模数转换 问题
▪ 问题分析
2020/5/26
且长度最短回路？
2020/5/26
13
计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
问题分析
▪ 若G不连通，则无解 ▪ 否则：
▪ 若G是欧拉图，则G的欧拉回路就是问题的最优解。 ▪ 若G是半欧拉图，且邮局就是其中一个奇度点
▪ 问题转化为求G的欧拉通路和两点的最短路径问题。 ▪ 若G中次数为奇数的结点多于2
▪ 定理15.2
▪ 无向图G是半欧拉图 G是连通的，且G中恰有2个奇 度顶点
2020/5/26
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15.1.3 欧拉图的判定定理
例1：
无欧拉通(回)路
欧拉图
欧拉图
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半欧拉图
半欧拉图
无欧拉通(回)路
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
例2：
A
B
D
C
▪ 规定平凡图是哈密顿图
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15.2.2 Hamilton图的定义
例：判断下图是否为H图？
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
定理15.6 （必要条件）
▪ 设G＝＜V，E＞是H图，则对V的每个非空子集V1均有下
2020/5/26
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15.2 Hamilton 图
15.2.1 问题引入 15.2.2 Hamilton图的定义 15.2.3 Hamilton图的判定方法 15.2.4 应用举例
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
来自百度文库15.1.3 欧拉图的判定定理
有向欧拉（半欧拉）图的判定定理
▪ 定理15.3
▪ 有向图D是欧拉图 D是强连通且所有顶点的入度等 于出度。
▪ 定理15.4
▪ 有向图D是半欧拉图 D是单向连通的且D中恰有两 个奇度顶点，其中一个顶点的入度比出度大1,一个顶 点的入度比出度小1, 其余的顶点的入度等于出度。
哥尼斯堡七桥问题
Seven bridges of Königsberg problem A
B
D
▪问题分析： C
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15.1.2 欧拉图
定义15.1：
▪ 设Ｇ＝＜V，E＞是连通图
▪ 欧拉通路（Euler Path） 半欧拉图 ▪ 欧拉回路（Euler Circuit） 欧拉图 (Eulerian)
2020/5/26
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15.2.1 问题引入
Willam Rowan Hamilton(1805~1865):
2020/5/26
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15.2.2 Hamilton图的定义
定义15.2：
▪ 设图G＝＜V，E＞
▪ 哈密顿通路
半哈密顿图
▪ 哈密顿回路
哈密顿图
▪ 说明：
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15.1.3 欧拉图的判定定理
例3：一笔画问题及推广
▪ 问题描述 ▪ 问题分析
▪ 设图中有2k个奇度点， ▪ 若k ＝0，可以 一笔画成，且起点和终点相同； ▪ 若k ＝1，可以 一笔画成，起点和终点恰为图中 的两个奇度点；
▪ 若k ＞1，可以 k笔画成，每笔的起点和终点恰 为图中的两个奇度点；
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第15章 欧拉图和哈密顿图
15.1 欧拉图 15.2 哈密尔顿图
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15.1 欧拉图
15.1.1 问题引入 15.1.2 欧拉图 15.1.3 欧拉图的判定定理 15.1.4 中国邮路问题
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15.1.1 问题引入
说明
▪ 规定平凡图是欧拉图； ▪ 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路； ▪ 环不影响图的欧拉性。
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实例
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15.1.2 欧拉图
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计算机科学学院 刘芳
15.1.3 欧拉图的判定定理
无向欧拉（半欧拉）图的判定定理
▪ 定理15.1
▪ 无向图G是欧拉图 G是连通的且无奇度顶点。
式成立：
2020/5/26
p（G－V1）≤| V1 | - - - - - - - - - -（1）
证明：
▪ 若G是H回路C，则（1）显然成立；
▪ 若G是H图，则设C是G的一条H回路，则对V的任意非空子集V1 ，均
有p（C－ V1 ）≤| V1 | ， 而C－ V1是G－ V1的生成子图， 故有p（G－ V1 ）≤ p（C－ V1 ） 于是有： p（G－ V1 ）≤| V1 | 成立。
(a)
(b)
推论1:哈密尔顿图无割点.
2020/5/26
24
计算机科学学院 刘芳
▪ 则回路中必须增加更多的重复边，这时，怎样使 重复边的总长度最小？
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
例如：
2020/5/26
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
判断条件
▪ 定理：
▪ 设L是图G的包含所有边的回路，则L具有最小长 度的充分必要条件是： ▪ 每条边最多重复一次； ▪ G的每个回路上，所有重复边的长度之和，不 超过该回路长度的一半。