中考数学专题目讲座探究操作问题目

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中考数学专题讲座 探究、操作性问题
【知识纵横】
探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。

操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。

【典型例题】 【例1】（江苏镇江)探索研究
如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214
y x =在第一象限内的图象上的任一
点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，
且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．
（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；
（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形； ②
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平行四边形APQR 为菱形； （3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．
【思路点拨】（2）①证RAH PQH ∴△≌△；②设2
14P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，证AP=PQ ;（3）求直线PR 的解析式与抛物线方程2
1y x =组成联立方程组，讨论方程组解的情况。

【例2】（福建南平）
（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC
，x l Q C P
A O B
H R
y
为边，向ABC
△外作正三角形，正四边形，正五边
形，BE CD
，相交于点O．
①如图1，求证：ABE ADC
△≌△；
②探究：如图1，BOC
∠=
；
如图2，BOC
∠=；
如图3，BOC
∠=．
（2）如图4，已知：AB AD
，是以AB
为边向ABC
△外所作正n边形的一组
邻边；AC AE
△外所
，是以AC为边向ABC
作正n边形的一组邻边．BE CD
，的延长相交于点O．
①猜想：如图4，BOC
∠=（用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
【思路点拨】（2）②由正n边形的内角定理，证ABE ADC
∴△≌△。

【例3】（内江市）
在一平直河岸l同侧有A B，两个村庄，A B，到l的
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（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中的方法指导， 就a （当1a >时）的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？ 【思路点拨】参考方法指导解答探索 归纳（2）。

A B P l l A B P A ' C 图图l A B P A ' C 图K 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与n 的大小时，可以对它们的平方进行比较： 2()()m n m n m n 2-=+-，0m n +>， 22
()m n ∴-与()m n -的符号相同． 当时，，
版权所有@中国教育考试资源网 【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ； 第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ． 则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ． （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值． （3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E F G H ，，，分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ，，，上，求DG 的长． （4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
A B C D B C A D E G H F F E
B ' 42816图图图a
GCF
∽△,FBE GCF
∴△≌△，
的方程解之；（4）参考图3
【学力训练】
1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长
10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪
去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会
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不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩
形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，30，斜边6cm AB =，顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1
OFE ∠的度数； （2）求线段AD 1的长； （3）若把三角形D 1CE 1绕着点30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由． 3、（江苏盐城）如图甲，在△为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题： （1）如果AB=AC ，∠BAC=90º． （甲） A C E D B B A C D O F
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①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置 关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC ，∠BAC≠90º，点D 在线段BC 上运动． 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC ＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边相交于点P ，求线段CP 长的最大值． 4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且OC ，BC OC ，AB =4，BC =6，OC =8．正方形边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO 面积．将正方形ODEF 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO 的重叠部分面积为（1）分析与计算： 求正方形ODEF 的边长； （2）操作与求解： ①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S （S ＞0）的变化情况是 ；
A B C D E F 第28题图 图甲 图乙 E D C B A F E D C B A 图丙
版权所有@中国教育考试资源网 A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C ．先增大后减少 D ．先减少后增大 ②当正方形ODEF 顶点O 移动到点C 时，求S 的值； （3）探究与归纳： 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．
探究操作性问题
【典型例题】
【例1】（江苏镇江1AO CQ ==．
90AOH QCH ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠AOH QCH
∴△≌△． OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点．（2）①由（1）可知AH QH =AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，
RAH PQH ∴△≌△．
AR PQ ∴=， A y x B C O D E F （备
A x
B C
又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形．
②设2
14P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2
114
PQ m =+． ，在Rt APG △中，
2
2
222222*********AP AG PG m m m m PQ
⎛⎫⎛⎫
=+=-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
∴
平行四边形APQR 为菱形．
（3）设直线PR 为y kx b =+，由OH CH =，得22
m H ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入得：
2021.4
m
k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，
221.4
m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR 为2
1
24
m y x m =-． 设直线PR 与抛物线的公共点为2
14
x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，代入直线PR 关系式得：
2
2
110424m x x m -+=，2
1
()0
4
x m -=，解得x m =．得公共
2
14
m m ⎪⎝⎭
，所以直线PH 与抛物线2
1
4
y x =只有一个公共点P
．
【例2】（福建南平）
（1）①证法一：ABD △与ACE △均为等边三角形，
AD AB
∴=，AC AE =
且60BAD CAE ∠=∠=
BAD BAC CAE BAC
∴∠+∠=∠+∠，
即DAC BAE ∠=∠
ABE ADC
∴△≌△．
②120，90，72． （2）①360n
②证法一：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角，AB AD =，AE AC =，
(2)180
n BAD CAE n
-∴∠=∠=
BAD DAE CAE DAE
∴∠-∠=∠-∠，即BAE DAC ∠=∠．
ABE ADC ∴△≌△． ABE ADC
∴∠=∠，
180
ADC ODA ∠+∠=，180
ABO ODA ∴∠+∠= ······················································ 13分
360
ABO ODA DAB BOC ∠+∠+∠+∠=，180BOC DAB ∴∠+∠=
(2)180360
180180n BOC DAB n n
-∴∠=-∠=-
=
【例3】（内江市） 观察计算 （1）2a +； （2224
a +
探索归纳 <>（2）2
22221
2(2)(24)420
d
d a a a -=+-+=-． ①当4200a ->，即5a >时，2
21
20
d d ->，1
2
0d d
∴->．1
2d d ∴>； ②当4200a -=，即5a =时，22120
d d -=，1
20d d
∴-=．1
2d d ∴=；
③当4200a -<，即5a <时，22120
d
d -<，1
20
d d
∴-<．1
2
d
d ∴<．
综上可知：当5a >时，选方案二； 当5a =时，选方案一或方案二； 当15a <<（缺1a >不扣分）时，选方案一． 【例4】（浙江宁波） （121
24
a ，，． （22．
（3）设DG x =，
在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=，
90
HGF ∠=，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠，HDG GCF ∴△∽△，
12
DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x
∴==．
同理BEF CFG ∠=∠．
EF FG =， FBE GCF ∴△≌△， 1
4
BF CG a x ∴==-． CF BF BC
+=，
12244
x a x ∴+-=，解得21
4
x a -=
．即
21
4
DG a -=
．
（4）2
3
16a ， 2
271828
a -．
【学力训练】
1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为x cm ，则
(102)(82)48x x --=． 即2
980x x -+=．
解得1
8x =（不合题意，舍去），2
1x =． ∴剪去的正方形的边长为1cm ．
（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3
分）
（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2， 则y 与x 的函数关系式为：
图 图
2(102)2(82)y x x x x
=-+-． 即
2836y x x
=-+．
改写为
2
981842y x ⎛
⎫=--+
⎪⎝
⎭． ∴
当 2.25x =时，40.5
y
=最大
．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积
最大为40.5cm 2．
（3）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为
y
cm 2．
若按图1所示的方法剪折，则y 与x 的函数关
系式为：
1022(82)2
2
x y x x x -=-+．
即
2
13169666y x ⎛⎫=--+
⎪⎝
⎭．
∴
当136
x =时，169
6
y
=最大
．
若按图2所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：
822(102)2
2
x
y x x x -=-+．
即
2
798633y x ⎛
⎫=--+
⎪⎝
⎭．
∴
当73
x =时，98
3
y
=最大
．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为73
cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为983
cm 2． （1）如图所示，315∠=，1
90∠=，
∴1275∠=∠=． 又45B ∠=， ∴1
14575120OFE B ∠=∠+∠=+=． （2）1
120OFE ∠=，∴∠D 1FO =60°． 1130
CD E ∠=，∴490∠=．
又AC BC
=，6AB =，∴3OA OB ==．
90ACB ∠=，∴11
6322
CO AB ==⨯=． 又
17
CD =，∴1
1
734OD CD OC =-=-=．
在1
Rt AD O △中，222211345
AD OA OD =
+=+=．
（3）点B 在2
2
D C
E △内部．
理由如下：设BC （或延长线）交2
2
D E 于点P ，
5 4
1 2 3 O
F B 1
E C A
1
则2
153045
PCE
∠=+=．
在2Rt PCE △中，2722CP CE =
=
72322
CB =<
，即CB CP <，∴点B 在2
2
D C
E △内部．
3、（江苏盐城）（1）①CF 与BD 位置关
系是 垂 直、数量关系是相 等；
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ，
又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD （2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF ⊥BD （如图丁）． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG
可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD
（3）当具备∠BCA=45º时， 过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于图G A B C D E
F P
Q A B C
D E
F
线段CQ 上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，
容易说明△AQD ∽△DCP ，∴
CP CD
DQ AQ
= ，
∴44
CP x x =-， 221
(2)1
44
x CP x x ∴=-+=--+．
∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1
4、（07丽水市）（1）∵ODEF 1S
=(48)6362
ABCO
S =+⨯=， 设正方形的边长为x ，
∴2
36x =，6x =或6x =-（舍去）． （2）C ．
1(36)264332S =+⨯+⨯=． （3）①当0≤x ＜4时，重叠部分为三角形，如
图①．
可得△OMO '∽△OAN ，
∴64MO x '=，MO '=3
2
x ． ∴2
133
224
S x x x =⨯⋅=．
A B
C
O x y
D E
F O ' M
N （如图
A B x
y
E F O '
②当4≤x ＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
1(4)66122
S x x x =-+⨯⨯=-． 时，重叠部分为五边形，如图 可得，(6)2
MD x =-，4AF x =-． 113
(4)6(6)(6)
222S x x x x =⨯-+⨯-⨯--
=23
15394
x x -+-．
④当8≤x ＜10时，重叠部分为五边形，如图
④．
23
1539(8)6
4
AFO DM BFO C S S S x x x ''=-=-+---⨯
=
23
994
x x -++．
⑤当10≤x ≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．
[]6(8)6684
S x x =--⨯=-+．
O x
A
B C
O y
D E F O ' （如图
A O
x B C y
D E
F O ' M
（如图
A B C
O x y
D
E F O '
M （如图。