变分法在计算量子物理基态氦原子能量中的应用

#*
2 r12
#
d∃1d∃2 =
5 4
Z′
( 11)
把式( 10) 与式( 11) 的结果带入式( 9) 中, 得能量的表 达式为:
E = { - 2Z2′+ 4 Z′( Z′- Z) +
5 4
Z
′} E
H
( 12)
根据变分原理, 当参数 Z 的数值能使能量的数值为 极小时, 可得到能量的最好近似值。使能量 E 为极 小的 Z′值由下列条件来确定:
x i = Fi( t) + { G i( t ) - Fi ( t) }
( 1)
t2 ≥ t≥t 1, i= 1, 2, 3, …, n.
把曲线由 C 变到 C , 则对应于无穷小的变化的
参数 , x i 的相应变化称为 x i 的变分。若把式( 1) 的
右边写成:
x i = x i ( t) + i( t)
x2 ( k) I
=
x3 ( k) i
=
…=
0
把 F 当成是 的函数, 由泰勒展开式( 3) 可得: Fk = [ ( kF) / ( k) ] = 0
故有:
k = [ ( kF) / ( k) ] = 0
2 用微扰论计算基态氦原子的能量
为了以后便于把用变分法计算的结果与微扰论
算得的结果加以比较, 现先介绍用微扰论计算基态
·8 1·
2001 年 第 4 期 重庆邮电学院学报 CU P T
2
k
F0 + F 1 + 2! F2 + … + k! Fk + … ( 3)
其中
F0 =
F(
t,
x
i,
xi
,
…,
x
(k) I
,
…)
;
F1 =
n i= 1
关键词: 基态氦原子; 变分法; 量子物 理; 中图分类号: O 562 文献标识 码: A
The Application of Variational Principle for Calculating Energy of the Atom He in Ground State of Quantum Mechanics
1 r2
e-
r 2Zr2 22dr2 ] r22dr1
应用下列标准公式
朱连轩: 变分法在计算量子物理基态氦原子能量中的应用
∫r r ne- 2rdr = 0
n! 2n+
1[
1
-
n
e- 2r
k= 0
(
2r ) k!
k
]
∫∞ r ne- 2rdr = r
n
n! 2n+
1[
e-
2r
k=
0
(
2r ) k!
用微扰论法和变分波函数法计算基态氦原子能
量的比较结果见表 1 。
k
]
∫∞ r ne- 2rdr = 0
n! 2n+ 1Biblioteka Baidu
E( 1) 就可直接算出, 结果为:
E ( 1) =
5 4
Z
E
H
故准确到一级近似, 氦原子基态能量为:
E=
E0 +
E ( 1) = - ( 2Z2 -
5 4
Z)
EH
( 8)
3 用变分波函数计算
若把式( 6) 中所列的零级近似波函数中的指数
上的 Z 当作变分参 数 Z′来看待, 而不 视为原子序
!
第 13 卷, 第 4 期
重庆邮电学院学报
2001 年 12 月
V ol. 13 N o . 4 Jo ur nal of Chongqing U niver sity of P osts and T elecom municat ions Dec. 2001
文章编号: 1004 5694( 2001) 04 0081 03
]
#
0(
2)
=
0
这两个方程正好与类氢原子的波方程相同。当原子
处于最低态时可知:
E0 ( 1) =
E 0( 2) = -
2∀2me 4Z2 h2
=
-
Z 2E H ;
E0 = E 0( 1) + E0 ( 2) = - 2Z2EH;
# 0 ( 1) = ( 1/ ∀ ) Z3/ 2e- ; Zr 1
# 0 ( 2) = ( 1/ ∀ ) Z3/ 2e- ; Zr 2
1 r12
e-
2Zr 2d ∃2
( 7)
上式右边第二积分可视为电荷在点 1 上的位,
并且此电荷以密度 e- 2Zr 2球对称地分布在核的周围。
根据位论的定理知, 在带电球外一点的位与球的全
部电荷集中在球心时是一样的; 而在球内一点的位
与该点的位置无关, 都等于球心的位。应用此定理计
算第二积分, 可得:
数, 则对氦原子能量的计算将大大提高准确度, Z′的 数值由变分法来确定, 试探波函数可以选取为:
# = # 1 # 2 = Z∀′3 e- e Z′r 1 - Z′r 2
其中 Z′为有效原子序数, 是一可变参数; # 1和 # 2 为 具有核电荷 Z′e 的类氢原子波函数, 故 # 1 遵守下列 方程
ZHU L ian-x uan
( I nstitute of Op lical Electr onic E ngineering , Chongqing University of P osts and T elecommunications, Chongq ing 400065, China)
Abstract : T he w av e function and the energ y o f the at om He w as calculated tr aditio nally by self-co nsistent-field and pert ur batio n theor y in its gr ound st ate. But the self-co nsistent -field appr ox imat ion is v ery co mplex and t he r esult is a kind o f data table . T his paper ex plor es t he energ y of the ato m He by v ariatio nal principle in analy tic functio n easily , ho w ev er the result is mo re appr ox imat e to the ex perimental value t han t ha t by pertur ba tio n. Key words: the ato m He in its g ro und; v ariatio nal principle; qua nt um mechanics
1 和 F 的定义
设
C: x i = Fi ( t) , t 2 ≥ t ≥ t 1, i = 1, 2, 3, …, n;
C : x i = Gi( t ) , t2 ≥ t ≥ t1 , i = 1, 2, 3, …, n
都是变数为( x 1, x 2, …, x n ) 的 n 维空间某一部分 R 内的 2 条曲线。如果采用下列变换:
i(
F xi
)
0
+
n i= 1
i(
F xi
)
0
+
…+
n i= 1
( i
k
)
(
F
x
( i
k)
)
0;
F2 =
i
j
i
j(
x
2F ix
j
)
0
+
i
j
i
j
(
2F xi x j
)0
+ … +
i
j
(k) i
( j
k
)
(
x
( i
2F x k) (k )
j
)
0
+
….
F1 , 2F2 , …, kF k 称为 F 的一次, 二次, …, k 次变
氦原子能量的方法和结果。
若不考虑原子核运动所引起的影响, 氦原子的 哈密顿算符可以写为:
H = - 8∀h22m(
2 1
+
22) -
Ze2 r1
-
Ze2 r2
+
e2 r 12
其中
2 1
,
2 2
,
分别
代
表
第
一、第
二
电子
的
拉
普
拉斯
算符, Z 为原子的序数。 为简化起见, 本文采用原子单位。原子单位是以
氢原子的第一波尔半径 a0 = h2 / ( 4∀2m e2 ) 为长度单 位, 以氢原子的离化能 E H= ( 2∀2 me4 ) / h2 = e2 / ( 2a0) = RHhc 作为能量单位。使用这个单位时, 氦原子的 哈密顿算符可以写为:
(-
2 1
-
2Z r1
′) #
1
=
-
Z′2 # 1
因此
-
21# 1 =
2Z r1
′#
1
-
Z′2 # 1
# 2 也遵守相同的方程。应用这种关系式及算符( 4)
式, 可得:
E = # * H #d∃1 d∃2 = - 2Z′2 + 2( Z′- Z)
#*
(
1 r1
+
1 r2
)
# d∃1d∃2
+
#*
2 r 12
分, 并记为: F 1 = F, 2F 2 = 2 F, …, kFk = k F
若令 F
分别先后等于
x
i,
x
i
,
…,
x
( I
k)
,
得:
x i = i , 2 x i = 3x i = … = 0
x i = i , 2x i = 3x i = … = 0
……………
x ( k) I
=
ki ,
( 2)
称 i ( t) 为 x i 的变分, 并记为 x i≡ i ( t) .
设 F ( t , x 1 , x 2, …, x n, x 1, x 2,
…,
x n,
…,
x
( k) 1
,
x
( k) 2
,
…,
x ( k) n
,
…)
为所指变数的函数;
xi
,
x
"i ,
…,
x ( k) i
为 x i 对独立变数 t 的微商。 F 可写为简化形式 F
#
d∃1d
∃2
( 9)
上式右边的第一积分等于:
∫ # *
(
1 r1
+
1 r2
)
#
d∃1d ∃2
=
2
#r121d∃1 =
∫ 2
Z′3 ∀
∞
e-
0
2Z′r1
4∀r r1
2
1d
r
1
=
∫∞
8Z′3 e- 2Z′r1 r1dr1 = 2Z′ 0
( 10)
式( 9) 右边的第二积分与式( 7) 相同, 只要把 Z 换成 Z′, 可得:
# 0 = # 0 ( 1) # 0( 2) = ( Z3 / ∀) e- Z( r 1+ r 2)
( 6)
现在来计算一级微扰能量:
E ( 1) = # 0* H( 1) # 0d∃1d∃2 =
2
Z6 ∀2
e-
2Zr1-
r 12
2Zr2
d∃1d ∃2
=
∫ ∫ 2
Z6 ∀2
e- 2Zr 1d ∃1
(
t,
xi,
xi,
x i ",
…,
x
( i
k
)
,
…)
.
令
xi+
i, x i +
i , …,
x
( i
k)
+
( i
k)
,
…等具有(
2)
式所示的相同的意义,
由泰
勒定理, 有: F( xi + i, xi +
i
,
…,
x ( k) i
+
i (k) , …) =
收稿日期: 2001 06 12 作者简介: 朱连轩 ( 1965-) , 男, 河 南焦作人, 硕士, 毕业于四 川大学原 子分子 物理专 业, 研 究方向 为原子 结构与 原子光 谱。
H=- [
2 1
+
2 2
+
2Z r1
+
2Z r2
]
+
2 r 12
( 4)
现在用微扰论来解这个问题。令:
·82·
H = H0 + H ( 1)
其中 H0= - [
2 1
+
2 2
+
2Z r1
+
2Z r2
]
为未受扰动时的
哈密顿算符, 而 H( 1) = 2/ r12 为微扰函数。
这个问题的零级近似波函数是下列方程的解。
H 0# 0 = E0 # 0
( 5)
若令 # 0 = # 0( 1) # 0 ( 2) , E 0 = E 0 ( 1) + E0 ( 2) , 则方程
( 5) 可分离为下列 2 个方程
2 1
#
0(
1
)
+
[ E0( 1) +
2Z r1
]
#
0(
1)
=
0
2 2
#
0(
2
)
+
[ E0( 2) +
2Z r2
ZE′=
( - 4Z′+
8 Z′-
4Z +
5 4
)
E
H
=
0
即
Z′=
Z-
5 16
( 13)
这就是我们找到的有效核电荷, 它之所以比真实核 电荷少 5/ 16, 是由于电子之间的屏蔽作用所致。将 式( 13) 代入式( 12) , 即得能量的最好近似值:
E = - 2( Z - 156) 2E H = - 2Z′2E H 这个结果与式( 8) 仅差一个常数项 2( 5/ 16) 2。
变分法在计算量子物理基态氦原子能量中的应用
朱连轩
( 重庆邮电学院, 重庆 400065)
摘 要: 对基态氦原子的波 函数和能量的传统计算方法是自恰场法和微扰论, 其 计算过程的自恰场法十分 繁难, 而结果又是数据表, 逼近成解析式 也比较复杂。采用变分 法, 以解析 式的形式进行讨论, 其用起来又 比较方便, 其计算结果也与 实验结果更相近。
∫1 r12
e-
2Zr 2d∃2
=
∫ ∫ 1
r1
%e- 2Zr2 4∀r 22dr 2 +
0
∞ %
1 r2
e-
4 2Zr2 ∀r
22dr
2
把结果代入式( 7) 后, 得:
∫ ∫ E( 1) =
32Z6
∞
e-
0
[ 2Zr 1
1 r1
%
e- r 2Zr2 22d r2 +
0
∫∞ %