不等式证明PPT课件

证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1) =-3b2+2b-3
1 2 8 =-3(b- ) 3 3
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三： a2+b2+ab+1-a-b = a2+a(b-1)+ b2-b+1
不等式的证明方法主要有：

比较法 综合法

换元法、 放缩法


分析法
反证法、


判别式法、
构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
3 1 2 b 42 3
证法一: 2(a2+b2+ab+1)-2(a+b) =a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1 =(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
a c b d ≤ + = 2 2
2 2
2
2
a b c d 2
2 2 2
2
=1
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1. 先证ac+bd≥-1, 1 1 ∵ac+bd+1=ac+bd+ +2 2 2 2 2 2 c d (a c) 2 (b d ) 2 a b =ac+bd+ + = 2 2 2 ≥0, ∴ac+bd≥-1.
b 1 2 3 2 2 2 =(a+ 2 ) + 4 (b- 3) + 3
>0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 2 2 2 2 且a +b =1,c +d =1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
练习
1、已知a>b>c, 求证： +
1 ab
1 bc

4 ac
+>
x xy y
2
y yz z
2
2
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： >x+y+z. +
3、已知x>0,求证：2 x
x
2
4
1பைடு நூலகம்2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。 (2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
1 1 再证ac +bd ≤ 1, 2 2 a b c d ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 (b d ) -ac-bd = (a c)+ 2 = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 综上得∣ac+bd∣≤1
2 2
2 2
2
2
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 2 只需证(ac+bd) ≤ 1 . 2 2 2 2 即只要证 a c +2abcd+b d ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 2 即证 (ad-bc) ≥0, 2 而(ad-bc) ≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) a b (3) ≥ ab(a,b∈R,且a>0,b>0) 2 2 2 a b 2 ab a b (4) a b ≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac