概率论与数理统计课件 数学期望

2019/4/22
4.1—数学期望
28
p( x)
1
e ,
(
xμ 2σ2
)2
σ 0,
x .
2πσ
则有
E( X ) xp( x)d x
x
1
( x μ)2
e 2σ2 d x.
2πσ
令 x μ t x μ σ t, σ
2019/4/22
4.1—数学期望
14
所以
E(X) x
1
e d x
(
x μ)2 2σ2
则 E C1 X1 C2 X2 ... Cn Xn
C1EX1 C2EX2 ... CnEXn
(4) 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
EXY EXEY .
反之不成立
2019/4/22
4.1—数学期望
25
例1 X ~B(n, p), 求EX
设X 表示n 重贝努利试验中成功恰好出现的次数
(1). 两点分布
已知随机变量 X 的分布列为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p0 (1 p) p
2019/4/22
4.1—数学期望
8
(2) 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,
其分布列为
P{ X
k}
n
k
pk (1
p)nk ,(k
0,1, 2,
, n),
4.1—数学期望
12
(2) 指数分布
设随机变量 X 服从参数为 的指数分布, 其概率密度为
e x ,
p( x) 0,
则有
x 0, x 0.
其中 0.
E( X ) xp( x)d x x e- x d x 0
1
2019/4/22
4.1—数学期望
13
(3) 正态分布
设 X ~ N( μ, σ2 ), 其概率密度为
每个乘客在任一层下电梯的概率是相同的，如果 到某一层无乘客下电梯，电梯不停，求直到乘客都 下完时，电梯停止次数 X 的数学期望 EX ( 设每位乘客客在各层下电梯是等可能的, 并设各 乘客是否下电梯相互独立 ).
解 设Xi 表示电梯在第i 层停止的次数,i 1, 2, ..., n
1, 第i 层停止 Xi = 0, 第i 层不停 则X X1 X2 ... Xn
2019/4/22
4.1—数学期望
5
1.定义
设离散型随机变量 X 的分布列为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ).
E( X ) xk pk . k 1
2019/4/22
4.1—数学期望
1
1 3
x
x+ y =1
2
23
(2) EY
yf ( x, y)dxdy
1
2-2 x
2
0 dx0
ydy 3
(3)E( X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
1
dx
2-2 x
(x
y)dy
1
0
0
3
EXY
xyf ( x, y)dxdy
4.1—数学期望
6
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量。 (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不
随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
2019/4/22
4.1—数学期望
7
2. 重要的概率分布的数学期望
0 p 1.
则有
n
E(X ) k P{X k}
k0
k
n
0
k
n k
pk
(1
p)nk
E( X ) np
2019/4/22
4.1—数学期望
9
(3) 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布列为
P{X k} k e , k 0,1, 2, , 0.
k!
则有 E( X ) k k e k0 k !
4.1—数学期望
21
例4 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
x y ,0 x 1,0 y 1
f (x, y)
0
, 其他
试求 XY 的数学期望
解
E( XY )
xyf ( x, y)dxdy
Hale Waihona Puke 1 1 xy( x y)dxdy 1
00
3
2019/4/22
4.1—数学期望
1
2-2 x
1
0 dx0
xydy 6
2019/4/22
4.1—数学期望
24
三、数学期望的性质
(1) 若C是常数，则 EC C
(2) 若C是常数，则 ECX CEX
(3) E X1 X2 ... Xn EX1 EX2 ... EXn
线性性
若X1, X2 , ..., Xn 是n 个随机变量,C1,C2 , ...,Cn 是常数，
为p( x, y),
且
| f ( x, y) | p( x, y)d x d y
则 EZ E[ f ( X ,Y )]
f ( x, y) p( x, y)d x d y.
特别地
EX
xp( x, y)d x d y;
EY
yp( x, y)d x d y.
2019/4/22
2πσ
1
t2
( μ σt)e 2 d t
2π
1
t2
σ
t2
μ
e 2 dt
te 2 d t
2π
2π
μ
2019/4/22
4.1—数学期望
15
三、随机变量函数的数学期望
定理1 设 Y f ( X ), f ( x)是连续函数
(1) 若X 是一维离散型随机变量，其分布列
P{ X xk } pk , k 1, 2, ，且 |f ( xk )|pk , k 1 则 EY f ( xk ) pk . k 1
0
3
2019/4/22
4.1—数学期望
18
定理2 设 Z f ( X ,Y ), f ( x, y)是连续函数
(1) 若( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布列
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, ，
且
| f ( xi , y j ) | pij ,
22
例5 设( X ,Y )服从A上的均匀分布,其中A 为由x 轴,y 轴
及直线x y 1围成的三角形区域 2
求 E X , E Y , E( X Y ) , E( XY )
解
(1) EX
xf ( x, y)dxdy
y
2
1
dx
2-2 x xdy 1
0
0
3
O
2019/4/22
i1 j1
则 EZ Ef ( X ,Y )
f ( xi , y j ) pij .
i1 j1
特别地 EX
xi pij ;
i1 j1
EY
y j pij .
i1 j1
2019/4/22
4.1—数学期望
19
例3 设 ( X , Y ) 的分布律为
YX
1
1
0.2
0
0.1
1
0.1
2
3
0.1
2019/4/22
4.1—数学期望
27
P( Xi
=1)=P(第i
层有人下电梯)=1 (1
1 )r n
P( Xi
=0)=P(第i
层都不下电梯)=(1
1 )r n
则EX E( X1 X2 ... Xn )
EX1 EX2 ... EXn =n[1 (1 1 )r ]
n
第十二次课结束
2019/4/22
4.1—数学期望
16
例1 设随机变量 X 的分布律为
X xk
2
0
2
pk
0.4 0.3 0.3
若 Y X 2 ,求 E(Y ).
E(Y ) (2)2 0.4+02 0.3 +22 0.3 =2.8
2019/4/22
4.1—数学期望
17
定理1 设 Y f ( X ), f ( x)是连续函数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
5 30 90
5 k nk 3.37.
k0 n 设射手命中的环数为随机变量 Y .
2019/4/22
4.1—数学期望
4
5 k nk
k0 n
n
随机波动
5
k pk
k0
稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
Xi 第i 次试验成功的次数, i 1, 2, ..., n 1, 第i 次成功
Xi = 0, 第i 次失败 则X X1 X2 ... Xn 则EX E( X1 X2 ... Xn )
EX1 EX2 ... EXn =np
2019/4/22
4.1—数学期望
26
例2 r 个人在楼的底层进入电梯，楼上有n 层，
e
k1
k1 (k 1)!
e e
2019/4/22
4.1—数学期望
10
二.连续型随机变量数学期望
1.定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 p( x),
若积分 x p( x)d x 绝对收敛 , 则称积分
x p( x)d x
的值为随机变量 X 的数学期望 , 记为 EX .
EX x p( x)d x.
命中环数 k 0 1 2 3 4 5
命中次数 nk 2 13 15 10 20 30
频率 nk n
2 13 15 10 20 30 90 90 90 90 90 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
2019/4/22
4.1—数学期望
3
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
0 2 113 2 15 3 10 4 20 5 30 90
2019/4/22
4.1—数学期望
11
2. 重要的概率分布的数学期望
(1) 均匀分布
设 X ~ U[a,b], 其概率密度为
p(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他.
则有 E(X )
xp( x)d x
b
1
xd x
a ba
结论
1 (a b). 2
均匀分布的数学期望位于区间的中点.
2019/4/22
0
0
0.3
0.1
0.1
求 : E( X ), E(Y ), E[(X Y )2 ].
得 E( X ) 2, E(Y ) 0, E[(X Y )2 ]=5
2019/4/22
4.1—数学期望
20
定理2 设 Z f ( X ,Y ), f ( x, y)是连续函数
(2) 若( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，其概率密度函数
(2) 若X 是一维连续型随机变量，其概率密度函数
为p( x),
且
|f ( x)|p( x)d x ,
则 EY Ef ( X )
f ( x)p( x)d x.
例2 设随机变量 X服从参数为1的指数分布，则E(e2X )
Ee2X e2x p( x) d x e2xe x d x 1
2019/4/22
4.1—数学期望
1
第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望
一、离散型随机变量数学期望 二、连续型随机变量数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质
2019/4/22
4.1—数学期望
2
一. 离散型随机变量的数学期望
引例 射击问题 设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下