直线与圆相切的有关问题
平面几何中的直线与圆相交问题
平面几何中的直线与圆相交问题直线和圆在平面几何中是两个重要的基本图形，它们的相交问题一直备受关注。
本文将从不同角度探讨直线和圆的相交性质以及相交问题的应用。
一、直线与圆相交的基本性质在平面几何中，直线与圆相交有以下基本性质：1. 若一条直线与一个圆相交于两个不同点A和B，则该直线称为弦，AB称为弦长。
2. 若一条直线与一个圆相交于一个点C，则该直线称为切线，点C称为切点。
3. 若一条直线与一个圆不相交，则称该直线与该圆相离。
二、直线与圆相交的定理在平面几何中，直线与圆相交还有一些重要的定理，我们将依次介绍几个常用的定理：1. 弦切定理：若一条弦通过圆心，则它一定是该圆的直径。
2. 弦长定理：若两条弦AB和CD相交于点E，则AE · EB =CE · ED。
3. 切线定理：若一条直线与圆相切于点T，则该直线垂直于以切点为圆心的半径。
4. 切割圆定理：若两条直线分别与一个圆相交于A、B和C、D两点，且AB和CD相交于E，则AE · BE = CE · DE。
三、应用示例1. 直线与圆在几何构图中的应用：直线与圆的相交性质可以广泛应用于几何构图中，如求直线与给定圆相交于两个切点的问题，可以通过作直角和利用切线定理进行构图。
2. 圆的位置判断问题：给定一个圆和一条直线，判断直线与圆的相交情况可以利用公式或者几何构图方法。
根据相交点个数、切点个数和相离的情况，可以判断直线与圆的位置关系。
3. 弦长的应用问题：弦长定理在实际问题中有着广泛的应用，特别是与力学、物理等学科有关的题目。
例如，在桥梁的设计中，通过弦长定理可以计算杆件的长度和应力的大小，实现结构的均衡和稳定。
4. 圆的切线问题：直线与圆相切问题在几何中有着重要的应用。
例如，求解最短路径问题时，可以利用切线问题来寻找最优路径。
此外，在光学等领域也有诸多应用，如光线的反射和折射等。
通过以上的讨论，我们可以看到直线与圆相交问题在平面几何中具有重要的地位和广泛的应用。
一题多解直线与圆相切求参数取值范围问题
一题多解直线与圆相切求参数取值范围问题
纵观往年高考，直线与圆的位置关系一直是高考考查的热点，其中圆的切线和弦的问题是本部分的重点，解题时要充分利用圆的性质，注意数形结合，尽可能简化运算。
例说：
由直线与圆相切自然想到圆心到直线的距离等于半径，从而得到一个关于m，n的式子，对于绝对值和二次根式的处理方法就很直接想到平方法，整理出来的这个式子大家就非常熟悉了，利用基本不等式就可以m+n的取值范围。
解法1：
解法2：
解法2是再解法1的基础上，利用换元法求解一元二次不等式解法3：
看着简单，但是不常用，这道题从解题速度和准确度来说是倾向于推荐方法1，同学在思考和计算上会更熟练，正确率就更高，学有余力的同学也可以看看后面两种方法，归根结底，还是选自己最擅长最容易懂的方法来做。
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式当直线与圆相切时，直线的方程和圆的方程存在以下几个关系：1.直线与圆的切点在直线上。
2.直线与圆的切点的切线与直线垂直。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率。
现在，我们将分别介绍这些条件，并推导得出相切的公式。
1.直线与圆的切点在直线上：设直线的方程为 y = mx + c，圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆的圆心坐标，r为半径长度。
为了找到直线与圆的切点，我们将方程代入圆的方程，得到：(x-a)² + (mx + c - b)² = r²将方程展开，得到:x² - 2ax + a² + m²x² + 2mcx + c² + b² - 2bmx = r²整理后，得到方程：(1 + m²)x² + 2(mc - am - bm)x + a² + c² + b² - 2ab - r² = 0如果直线与圆相切，方程只有一个根，也就是说，二次方程的判别式为零。
因此，判别式为：(2(mc - am - bm))² - 4(1 + m²)(a² + c² + b² - 2ab - r²) = 02.直线与圆的切点的切线与直线垂直：通过求得的切点，我们可以获得切线的斜率。
与直线垂直意味着切线的斜率的乘积与直线的斜率为-1、设直线的斜率为m，切线的斜率为k。
通过求导数得到切线的斜率k=-1/m。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率：这个条件可以由上述条件推导得出。
当直线与圆相切时，直线的斜率等于切线的斜率。
现在，我们通过一个例子来解释这些公式的应用。
假设有一个以坐标原点为中心的圆，半径为r。
直线通过点(0,h)，与圆相切。
证明直线和圆相切的常见方法
证明直线和圆相切的常见方法证明直线和圆相切，一般有两种情况：一、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线例1如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，因为OC=OB，所以∠OCB=∠B．因为∠COD是△BOC的外角，所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．因为∠ACD=2∠B，所以∠ACD=∠COD．因为CD⊥AB于D，所以∠DCO+∠COD=90°．所以∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．因为C为⊙O上的点，所以AC是⊙O的切线．例2 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径例3如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC 等．（2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．因为⊙O与AB相切于点D，所以∠BDO=∠CEO=90°．因为AO是△ABC的中线，所以OB=OC．又因为∠B=∠C，所以△BDO≌△CEO，所以OE=OD．因为OD是⊙O的半径，所以OE是⊙O的半径．所以⊙O与AC边相切．。
直线与圆相切求直线方程公式
直线与圆相切求直线方程公式
直线与圆相切求直线方程公式:
根据已知条件，求直线与圆R（x-a）＾2＋（y-b）＾2＝r＾2相切的直线方程的方法：
1.已知直线斜率k：设直线方程为y＝kx＋m，利用圆心到直线的距离等于圆半径，即Ⅰak-b＋mI／√（k＾2＋1）＝r，求得m的两个值，得到两条切线方程。
2.已知直线过圆外一点P（m，n）：没直线方程为y＝k（x-m）＋n，用同样上述方法得到关于k的方程。
若m＝a±r，则有一条切线方程为x＝a±m，解方程求得另一条切线的斜率。
若m≠a±m，则求得两个k值，得到两条切线方程。
3.已知切点A（m，n）：若x＝a±r，则切线方程为x＝a±r。
若x≠a±r，利用切线与直线RA垂直，得到切线的斜率为直线RA的负倒数，即k＝-（m-a）／（n-b），由此得到切线方程。
24.2与圆有关的位置关系 切线的性质定理及切线长定理(第4课时)课件
2 )1
A O
4 3(
C
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
想一想：圆的外切四边形的两组对边有 什么关系？说明你的结论的正确性.
G F H E
4.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件 (只需写出三种情况) ①___________ ②_____________ ∠CAE=∠B AB⊥FE ③____________________. ∠BAC+∠CAE=90° (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B. 求证:EF是⊙O的切线.
分析：①已知切线、切点，则连接半径，应
用切线的性质定理可得垂直关系； ②已知直径则作直径所对的圆周角.
考 题 再 现
（2007年十堰）PA是圆O的切线，切点是A，过点A 作AH⊥OP于点H交⊙O于B.求证：PB是⊙O的切线.
解：连结OB、OA ∵ PA是圆O的切线，切点是A ∴∠OAP=900 又∵ AH⊥OP于点H ∴BM =AM B O H M A P
D P O M B
N
C
A
L
圆的外切四边形的两组对边的和相等.
已知：⊙O的半径为3cm，OP=6cm，PE、PF是 经过点P的⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角 及切线长．
E
M
O F
1 2
P
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D 为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则：则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=. （2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________.分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等1-变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=，（1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==l CP ⊥时取等号，故max d .所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD ==B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________.解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x += 变式1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.例 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l的距离1d ==，解得43k =-或34k =-.所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题. 例 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）C. D. 2 变式2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则：（1） 两圆外离12r r d ⇔+<；（2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=；（5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r =圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，（1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问.解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=，解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡⎣B. (),11⎡-∞⋃++∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.1112. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.。
直线和圆相切
24.2.2(2)直线和圆相切一、内容和内容解析1.内容切线的判定定理2.内容解析直线和圆相切是直线和圆中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能用数量关系确定位置关系的方法推导切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单问题。
2．目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：知道切线的判定定理，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
三、教学问题诊断分析1.由于是抽班教学，教师和学生之间不是很熟悉，所以首先要营造一个良好的轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，所以最好用轻松地情景教学给学生带入课堂。
2.学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。
所以让学生自己经历画图感知和交流悟理”垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，”经过半径外端”说明距离d等于半径，理解切线判定定理的两个条件。
3.教师要帮助学生明确定理的题设和结论正确理解定理，所以借助几个判断分析感受两个条件的重要性。
4.借助层次分明的证明题反复体会切线定理的两个要素，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
给予以上分析，本节课的教学重点是：探索切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
教学难点是：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题是怎么添加辅助线。
四、教学过程设计1.情境引入，感知直线和圆相切问题1让老师带着同学们到生活中找一找我们今天要学习的内容，它们共同体现了两种图形的哪一种位置关系?师生活动：共同欣赏后学生回答直线和圆相切。
圆的切线方程问题专题(重要知识)
重点辅导
2
方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联 立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率 一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
重点辅导
3
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法． 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切 线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的 求法． 方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
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跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4， 即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
重点辅导
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课堂总结
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0
．
①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
重点辅导
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跟踪训练
(3)解法1：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴ |－1＋3kk|2＝2，∴k＝±25 5， ∴所求切线方程为2x± 5y－6＝0.
重点辅导
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跟踪训练
解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为 x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4② 由①②构成的方程组可解得
直线与圆重要的位置关系——相切
\中考链接责任编辑:彭深2020748334@直线与圆重要的位置关系相切画封霞霖直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。
我们对直线与圆的位置关系的研究,反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。
这里的数形结合，既是重要的知识内容,又是重要的思想方法。
一、切线与函数例1(2019-荷泽)如图1,直线y=交兀轴于点4,交y轴于点点P 是尤轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作O p,当O p与直线佃相切时，点、p的坐标是y图1【分析】考点:一次函数、切线性质。
对于运动问题，要考虑多解。
对圆心位置分类讨论,圆心在4点左侧和右侧，直线都会与圆相切。
根据相切时圆心到直线的距离等于半径,结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。
•解：•.•直线y=-扌％-3交％轴于点A,交y轴于点B,令％=0,得y=-3,令y=0,得x=~4,/.4(-4,0),5(0,-3),..OA=4,OB=3,:.AB=5O设O p与直线ab相切于d,连接PD,如图2,P在A点左侧时为R,在4点右侧时为匕。
j图2则PD1AB,PD=1,Z-ADP=/-AOB=90°,"AD=ABAO,.-.AAPD^/^ABO,•PD_4P••OB AB5•1=4P•Ap=d•-35^3，.-.OP=OA+AP或OA-4P,0P=孑或孕，.•.P.（-^,0）,P2（-j,0）o【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。
如果抓住切线的本质,C>Pi 和OP2不画出来亦可。
我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。
另外，利用相似求ap的这部分，用三角函数也可以解决。
二、切线与角度例2（2019-天津）已知PA,PB分别与O0相切于点A.B,乙4加=80。
,C为Oo上一点。
（I）如图3-①，求厶1CB的大小；（n）如图3-②,也为00的直径,4E与相交于点D,若AB=AD,求AEAC的大小。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
专题15 二次函数中的圆和直线相切问题(原卷版)
专题15 二次函数中的圆和直线相切问题【模型展示】圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。
再根据三角形的形状，再解决其它问题。
【精典讲解】1、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=14（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使⊙PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线y=-12（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．3、已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c ＋1.(1)当b ＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；(2)若c ＝－14b 2－2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切；(3)如图所示，若二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好经过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴，直线BM ，直线AM 分别相交于点D ，E ，F ，且满足DE EF ＝13，求二次函数的表达式．4、如图所示，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y ＝12x＋1与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，⊙C 与直线m 交于对称轴右侧的点M(t ，1)．直线m 上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的表达式； (2)证明：⊙C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE⊙m ，垂足为E ，再过点D 作DF⊙m ，垂足为F.求BE⊙MF 的值．5、已知抛物线y ＝x 2＋mx －2m －4(m >0)．(1)证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A ，B (点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，A ，B ，C 三点都在⊙P 上．①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C 关于直线x ＝－m2的对称点为点E ，点D (0，1)，连结BE ，BD ，DE ，△BDE 的周长记为l ，⊙P 的半径记为r ，求lr的值．设BD ＝a ，BE ＝2a ，则DE ＝5a ，∴l r ＝3a ＋5a 5a2＝10＋655.6、在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋53x ＋c 的图象经过点C (0，2)和点D (4，－2)，点E 是直线y ＝－13x ＋2与二次函数图象在第一象限内的交点． (1)求二次函数的表达式及点E 的坐标；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连结MC，OE，ME，求四边形COEM 面积的最大值及此时点M的坐标；(3)如图2，经过A，B，C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．7、若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．8、如图⊙已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图⊙Q （m ，0）是x 的正半轴上一点，过点Q 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连结CN ，将⊙CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为M′．在图⊙中探究：是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，请求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过C （1，1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）顶点为M ，与x 轴正半轴交于A ，B 两点．（1）如图1，连接OC ，将线段OC 绕点O 逆时针旋转使得C 落在y 轴的正半轴上，求线段OC 过的面积；（2）如图2，延长线段OC 至N ，使得ON OC ，若⊙ONA ＝⊙OBN 且tan⊙BAM ，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x ＝52为对称轴的抛物线y ＝ax 2+bx +c 交y 轴于（0，5），交直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）于C ，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P ，使⊙CPD ＝90°，求k 的值．10、如图1，抛物线2133=++y x x 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），O 为坐标原点．点D 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊙x 轴交直线BC 于点E ．点P 为⊙CAB 角平分线上的一动点，过点P 作PQ ⊙BC 于点H ，交x 轴于点Q ；点F 是直线BC 上的一个动点．（1）当线段DE 的长度最大时，求DF +FQ +12PQ 的最小值． （2）如图2，将⊙BOC 沿BC 边所在直线翻折，得到⊙BOC ′，点M 为直线BO ′上一动点，将⊙AOC 绕点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到⊙A ′OC ′，当直线A ′C ′，直线BO ′，直线OM 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．11、如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若⊙PCB+⊙POB ＝180°，求d 的值．12、在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线l ：(0)y kx b k =+≠满足m kx b ≤+且n kx b ≥+，则称直线l ：(0)y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”，如图1，直线l ：2y x =--是函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“隔离直线”.（1）在直线⊙11y x =--，⊙231y x =+，⊙34y x =-+，⊙42y x =-中，是图1函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“隔离直线”的为 .（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(2,1)，⊙OEDF ∆与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的左侧，点(1,)M t -是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数223(40)y x x x =+--≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.13、如图，已知直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90∘，且A(−1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y =ax 2+bx −3经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物14、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与⊙AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan⊙AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．15、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使⊙BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．。
过点直线与圆相切求直线方程
过点直线与圆相切求直线方程在平面直角坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 (a,b)，半径为 r，求一条过点 P(x1,y1) 的直线 L，使得直线 L 与圆 C 相切。
求直线L 的方程。
解法如下：1. 首先求出直线从点 P 到圆心的距离 d。
由于直线 L 与圆 C 相切，因此 L 到圆心的距离等于圆的半径r。
根据勾股定理，直线从点 P 到圆心的距离可以表示为：d = √[(x1-a) + (y1-b)]2. 接着求出过点 P 且垂直于 L 的直线 L1 的方程。
由于直线 L1 垂直于 L，因此 L1 的斜率 k 等于直线 L 的斜率的相反数的倒数，即：k = -1/kL其中 kL 为直线 L 的斜率。
直线 L1 经过点 P(x1,y1)，因此直线 L1 的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)将 k = -1/kL 代入上式，得：y - y1 = (-xL + x1)/(yL - y1)(x - x1)化简，得：yL(x1 - x) - xL(y1 - y) + x1y - y1x = 03. 最后求出直线 L 的方程。
由于直线 L 与直线 L1 垂直，因此直线 L 的斜率 kL 等于直线L1 斜率的相反数，即：kL = -1/k其中 k 为直线 L1 的斜率。
直线 L 经过点 P(x1,y1)，因此直线 L 的方程可以表示为：y - y1 = kL(x - x1)将 kL = -1/k 代入上式，得：y - y1 = (xL - x1)/(y1 - yL)(x - x1)化简，得：(y1 - yL)x + (xL - x1)y + x1yL - xLy1 = 0这就是直线 L 的方程。
注意事项：1. 如果点 P 在圆 C 内部，则不存在与圆 C 相切的直线。
2. 如果点 P 在圆 C 上，则与点 P 相切的直线有无数条。
3. 如果点 P 在圆 C 外部，则与圆 C 相切的直线有且仅有一条。
直线与圆相切、弦长问题(学生)
直线与圆的位置关系（复习）复习要求1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[难点正本疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．题型二圆的切线问题例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x －1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4. （a>0）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。
直线与圆的切线与切点知识点总结
直线与圆的切线与切点知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点，其中切线与切点的相关内容更是具有关键意义。
接下来，让我们详细地探讨一下这部分知识。
一、直线与圆的位置关系在开始深入研究切线与切点之前，我们先来了解一下直线与圆的基本位置关系，主要有以下三种：1、相离：直线与圆没有公共点。
此时圆心到直线的距离大于圆的半径。
2、相切：直线与圆有且仅有一个公共点，这个公共点就是切点。
圆心到直线的距离等于圆的半径。
3、相交：直线与圆有两个公共点。
圆心到直线的距离小于圆的半径。
通过判断圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，我们可以确定直线与圆的位置关系。
二、圆的切线1、切线的定义当一条直线与圆只有一个公共点时，称这条直线为圆的切线，这个公共点称为切点。
2、切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点。
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径。
（3）切线垂直于经过切点的半径。
3、切线的判定（1）定义法：如果直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线。
（2）距离法：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线。
（3）定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
三、切点切点是直线与圆相切时的公共点，具有一些特殊的性质。
1、切点在圆上，满足圆的方程。
2、过切点的半径与切线垂直。
四、切线长从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段长度相等，这个长度称为切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
五、切线方程如果圆的方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，点$P(x_0, y_0)＄在圆上，则切线方程为：＄（x_0 a)（x a) ＋（y_0 b)（y b) ＝ r^2$如果点$P(x_0, y_0)＄在圆外，设切线方程为$y y_0 ＝k(x x_0)＄，然后将其代入圆的方程，得到一个关于$x$的一元二次方程，令判别式等于 0，即可求出切线的斜率$k$，从而得到切线方程。
直线与圆切线长定理弦切角
直线与圆切线长定理弦切角直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和圆O相交d2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。
3. 切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心5. 关于切线的性质主要有五个①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径例题讲解例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.（1）若以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（2）若以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________；（4）若以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则圆的半径r的取值范围____________；（5）若以C为圆心的圆与边AB没有交点，则圆的半径r的取值范围______________. 变式练习：1. 已知∠AOB＝30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动，则当OM=_______________ cm时，⊙M与OB相切.第1题第2题第3题2. 如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．3. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______． 4. 如图，直线y3x＋3与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆3P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（） A．2B．3C．4D． 5如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是_____________．5. 在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m,0)，半径是2，如果⊙M与y轴相切，那么m=_____；6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离7. ⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP＝5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是______. 8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为_________.9. 如图，P为正比例函数y3x上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y) 2(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围.10. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.问：当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？．．11. 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．A二、切线长定理：1. 切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 4. 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．三、弦切角定理：1. 弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3. 弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．例1：已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13cm，PED的周长为24cm，APB40，求：（1）⊙O的半径；（2）EOD的度数．例2：如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD x,BC y．（1）求y与x的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t30t m0的两根，求x、y的值．（3）求COD的面积．M2巩固练习1. 下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．过圆直径外端点的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．到圆心的距离等于半径的直线2. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） A．点(0，3)B．点(2，3) C．点(5，1)D．点(6，1)第2题第3题第4题3. 如图，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是（） A．4.75B．4.8C．5D．4. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=M与轴相交于点A(2，5. 如图，与轴相切于点C，则圆心M的坐标是． 0)，B(8，0)，6. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.若读得BC 长为acm，则用含a的代数式表示r为 .7. 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．B8. 已知：如图，是O上一点，半径OC的延长线与过点的直线交于点，OC BC，1AC OB．（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45°，OC2，求弦CD2的长．9. 如图，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
证明直线与圆相切的常见方法
证明直线与圆相切的常见方法
证明直线与圆相切，通常有两种常见的方法：从直线方程和圆方程出发，或者从坐标变换的角度出发。
从直线和圆的方程出发，可以证明直线与圆相切的思想是比较容易理解的。
直线方程一般表示为 y = ax + b; 圆的方程一般表示为 x^2 + y^2 +2gx +2fy+c = 0; 两者相切时，只要将直线方程代入到圆方程，即可获得一个二次方程，通过求解这个二次方程，即可求出直线和圆的交点，从而证明直线与圆相切。
从坐标变换的角度出发，可以用变坐标的思想推导出证明直线与圆相切。
首先以圆心为原点，以圆心到线段A点所形成的角度为变换角度，将原来的坐标变换，原来的坐标变换后，新的坐标系中，A点的坐标和线段的斜率变为固定的。
再将线段的方程代入到圆的方程中，可以得到一个二次方程，通过求解这个二次方程，就可以求出直线和圆的交点，从而证明直线与圆相切。
上面介绍的两种方法都可以证明直线与圆相切，在实际中，根据需要选用不同的方法，然后按照理论及步骤完成证明，就可以证明直线与圆相切。
（600 words）。
直线与圆相切、相交问题
注意：上述 注意： 两个问有区 别吗？ 别吗？
练：已知圆 ( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 2 , P ( 2, −1)， 作圆的切线， 过 P 作圆的切线，切点为 A 、 B 1 的方程； （）求直线 PA , PB 的方程； ） （2 求直线 AB 的方程 .
探究问题：
1、已知圆的方程是 x + y = r , 求经过圆上一点
l r = d + 2
2 2
2
求切线方程
方法1: 设切线斜率， 方法 设切线斜率，写出切线 方程，联立方程， 方程，联立方程，利用判别式 为0； ； 方法2: 设切线斜率， 方法 设切线斜率，写出切 线方程， 线方程，用圆心到切线距离 等于圆的半径. 等于圆的半径
专题二： 专题二：
直线与圆相交问题
题型二：直线与圆相切，求圆的方程 1:求与两平行直线 1:x-2y-1=0,l2:x-2y+9=0均相 求与两平行直线l 求与两平行直线 均相 且圆心在直线m:3x+2y+1=0上的圆方程 上的圆方程. 切，且圆心在直线 上的圆方程 2:求经过 求经过A(0,5)，且与直线 求经过 ，且与直线x-2y=0和 和 2x+y=0都相切的圆的方程 都相切的圆的方程. 都相切的圆的方程 3: 圆与直线 圆与直线2x+3y-10=0相切于点 相切于点P(2,2)，并 相切于点 ， 且过点M(-3,1)，求圆的方程 且过点 ，求圆的方程.
l r = d + 2
2 2
2
紧紧抓住圆的 几何特征解题
题型一：直线与圆相切，求切线方程
(1 例： )求经过点(0, 3 )与圆( x − 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 . ( 2)求经过点(3,1)与圆( x − 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 .
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知
识
构
建
归纳总结
运用直线与圆相切的相关知识求圆的方程的基本步骤：
①
②
③
④
三．当堂检测
1.求以N（1,3）为圆心，并且与直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
2.求圆心在直线y=-2x上，并且经过点A（2，-1），与直线x+y=1相切的圆的方程。
本节课目标达成：
日清作业
1.求圆心为M（3，-5），且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程。
③.若C(a，b)，l：Ax+By+C=0，
则|CA|=
d =
r =
归纳：d与r与|CA|之间有何关系？
思考？如何求CA的直线方程？如何求切点的坐标？
方法一：
方法二：
二．应用举例
1.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。
2.圆心在y轴上，半径长是5，且与直线y=6相切的圆的方程。
锦山蒙中学案（高一年级组）
班级
姓名
学科
时间
课题
直线与圆相切的有关问题
学习
目标
运用直线与圆相切的相关知识求圆的方程
过程
双色笔纠错
一．问题探讨
如图所示:直线l与圆C相切于点A，连接CA，设圆心C到直线l的距离为d。
x
l
d
r
A
O
y
问题：①.CA所在直线与直线l有何关系？
②.CA的长与d有何关系？d与圆的半径r有何关系？