高考立体几何题证明方法

立体几何讲义

第一部分：空间几何体知识点 一、关键字：

1.左视图面积（效果图） 侧视图面积（效果图）

2.左侧面积（真实面积） 侧面积（真实面积）

表面积、全面积（真实面积）

3.斜棱柱、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、正六面体、正三棱锥、正四面体

二、几个基本概念

1.棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且相邻的两个四边形公共边都相互平行

2.直棱柱：侧棱与底面垂直

3.斜棱柱：侧棱与底面不垂直

4.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱

5.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱

6.长方体：底面是矩形的直平行六面体

7.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

8.正棱锥：底面是正多边形，且顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上 9.棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分

三、基本公式

V Sh =柱体（S 是柱体的底面积，h 是柱体的高）

1

3V Sh =

锥体（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 3

34r V ⋅=π球

()

1

3=⋅V h S S S S 下下

台体上上

ch S =柱侧（c 是柱体的底面周长，h 是柱体的高）

24r S ⋅=π球

()()l r r l r r πππ'+='+=

2221

S 圆台侧

n S S ⨯=1侧 （ × ）

h C S ⨯=侧 （ √ ）

四、重要结论

1.长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

2.正方体内切球直径是正方体棱长, 正方体棱切球直径是正方体面对角线

3.正三角形与正四面体

边长

h

r

R

()

V S 正三角形

a

a 23

a 63

a 33

243a

正四面体

a

a 3

6

a 126 a 46 3122a

4.直六面体

（1）体对角线与三条侧棱夹角分别为γβα,,，则：1cos cos cos 2

22=++γβα

（2）体对角线与三条侧面夹角分别为ϕφθ，，，则：2cos cos cos 2

22=++ϕφθ

5.三棱锥ABC P —的顶点P 在地面ABC 内的射影的位置 （1）外心⇔三条侧棱长相等，PC PB PA == ⇔侧棱与底面所成线面角相等

（2）内心⇔三条侧面斜高相等，C C B B A A '='=' ⇔侧面与底面所成线面角相等 （3）垂心⇔相对棱相互垂直

⇐三条侧棱两两垂直，PC PB PA ⊥⊥

（4）P 点射影为AB 中点⇔PC PB PA ==，︒=∠90ACB

第二部分：点、直线、平面之间的位置关系 一、线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b ααα⎫

⎪

⊄⇒⎬⎪⊂⎭（线线平行⇒线面平行）

③性质定理：////a a a b b α

βαβ⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪=⎭

（线面平行⇒线线平行）

④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：//l

l αα=∅⇒（用于判断）；（ii ）

判定定理：////a b a a b ααα⎫

⎪

⊄⇒⎬⎪⊂⎭

“线线平行⇒面面平行”（用于证明）；（iii ）////a a αββ

α⎫⇒⎬⊂⎭

“面面平行⇒线面平行”（用于证明）；（4）//b a b a a ααα⊥⎫

⎪

⊥⇒⎬⎪⊄⎭

（用于判断）；

二、面面平行：

①定义：//α

βαβ=∅⇒；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a

b O a b ααααβ⊂=⇒ 【如下图①】

O b a

β

αa'

b'

O O b a

β

α

图① 图②

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行

符号表述：,,,',',//',//'//a b a

b O a b a a b b αβαβ⊂=⊂⇒ 【如上图②】

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：

,//a a αβαβ⊥⊥⇒.【如右图】

③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2

④面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭

（面面平行⇒线

面平行）；（2）////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

=⇒⎬⎪=⎭

；（面面平行⇒线线平行）（3）夹在两个平行平面间

的平行线段相等。【如图】

三、线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.

②判定定理：,a b a b O l l l a

l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪

⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪

⊥⎪⎭

（线线垂直⇒线面垂直）

③性质：（1）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥（线面垂直⇒线线垂直）；（2）,//a b a b αα⊥⊥⇒；

④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）

//a b b a αα⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

（较常用）；（4）//a a αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；

（5）a b a a a b

αβββα⊥⎫⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

（面面垂直⇒线面垂直）

四、面面垂直

（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这

两个平面互相垂直.

a a ααββ⊂⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

（线面垂直⇒面面垂直） （3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则

90MON ∠=︒；

②a AB a a a AB

αβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

（面面垂直⇒线面垂直）； ③

A a A a a αβααβ⊥⎫⎪∈⎪

⇒⊂⎬∈⎪⎪⊥⎭

. ④

//a a a αβααβ⊥⎫

⇒⊂⎬⊥⎭

或