轴对称和等腰三角形

板块

考试要求

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B 级要求

C 级要求

等腰三角形

了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图

形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定

能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题

会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题

等腰三角形

1． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2． 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形． 3． 等腰三角形的性质： (1)两腰相等． (2)两底角相等．

(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 线段的垂直平分线：

知识点睛

中考要求

第五讲

轴对称和等腰

三角形

性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等

判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，

线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．

4．等腰三角形的判定：

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．

(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．

5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．

6．等边三角形的判定：

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．

(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．

7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．

等腰直角三角形的判定：

(1)顶角为90的等腰三角形．

(2)底角为45的等腰三角形．

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．

如下图，ABC

∆是轴对称图形．

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，ABC

∆关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对称点．

A B C

∆与'''

轴对称图形两个图形轴对称

对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB ．

线段垂直平分线的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．

轴对称变换应用时有下面两种情况：

⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； ⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．

区别

图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条

数 一条或多条

只有1条

联系

二者都的关于对称轴对称的

板块一、等腰三角形及轴对称的认识

【例1】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是

60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A ．只有命题①正确 B ．只有命题②正确

C ．命题①、②都正确

D ．命题①、②都不正确

【例2】 如图，在ABC ∆ 中，AD BC ⊥于D ．请你再添加一个条件，就可以确定ABC ∆是等腰三角形．你

添加的条件是 ．

D

C

B

A

【例3】 (2006年扬州中考)如图，在ABC △中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给

出下列四个条件：①EBO DOC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC =．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形．

重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平

面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助

难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，

重、难点

例题精讲