组合数学课件第一章第三节 组合意义的解释

定理1.4 从{1,2,…,n}中取r个作不相邻的组 合，其组合数为C(n-r+1,r)。
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1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数; 求方程的非负整数的解的个数.
允许重复的组合模型是r个无标志的球放 进n个有区别的盒子的情况: 方程的非负整数的个数与b个无标志的球 放进n个有区别的盒子的情况一一对应.
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1.7 组合的解释
xxyxy ...xy
m 个 x , n个 y
(m+n)! /(m!n!) =C(m+n,m)=C(m+n,n)
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1.7 组合的解释 1.22(P64) 求图1.22中从O到P的路径数 P 5 4 (a)必须经过A点； 3 (b)必须过道路AB C 2 (c)必须过A和C B A 1 (d)道路AB封锁 1 2 3 4 5 6 7 8 O 解：(a) C(3+2,2)C(5+3,3) (b) C(3+2,2)C(4+3,3) (c) C(3+2,2)C(3+1,1)C(2+2,2) C(8+5,5) -C(3+2,2) C(4+3,3)
(n+1,r)
(0,0)
(n,0)
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1.7 组合的解释
1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
1 0 2 0 3 1 … … m-2 m-1 m 1 0 0
没有0，C（m,0）
Fra Baidu bibliotek
只有一个0，C（m,1） 只有二个0，C（m,2） ……………….
M个全是0，C（m,m）
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1.7 组合的解释 1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m (0,m) (1,m-1)
(m,0)
从(0,0)点到(m,0)和(0,m)上点的路径总数是2m
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1.7 组合的解释
1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
二项式定理：设m是一个正整数，则对于所有 的x和y, 有： (x+y)m =C(m,0)xm+x(m,1)xm-1y+ C(m,2)xm-2y2+…+C(m,m-1)xym1+C(m,m)xym
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(d)
1.7 组合的解释 1.32 C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) (n-r-1,r) (n-r,r) (n-r,r-1)
(0,0)
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1.7 组合的解释
1.33 C(n+r+1,r) =C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1,1)+C(n,0)
(n,r)
**
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1.8：应用举例
例1-41: 7位科学工作者从事一项机密的研究技 术，他们的实验室装有“电子锁”，每位参加该 项工作的人都有一把打开“电子锁”用的钥匙， 为了安全起见，当且仅当有4人到场方可打开实验 室的门，试问该“电子锁”必须具备多少特征？ 每位科学工作者的“钥匙”应具有多少这些特征？
等同于：某保密装置须同时使用若干把不同的 钥匙才能打开。现有７人，每人持若干把钥匙。 当且仅当４人到场，所备钥匙才能开锁。 问①至少有多少把不同的钥匙？ ②每人至少持几把钥匙？
显然br-r+1≤n, bk-k+1是1到n中的元素，
而且(bk-k+1)- [bk-1-(k-1)+1]= bk- bk-1 -1≥0 b1≤b2-1≤…≤br-r+1 因此，又得到从n+r-1中取r个作不重复 的组合对应于从n个元素中取r个作允许重复 的组合。
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1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.6.2 不相邻的组合 例如：从{1,2,3,4}中取2个的组合如下： {1,3},{1,4},{2,4},{1,2},{2,3},{3,4}。 从{1,2,3,4}中取2个不相邻的组合如下： {1,3},{1,4},{2,4}。
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1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 (ai+i-1)- (ai-1+i-2)= (ai - ai-1)+1>0， 并且ar+(r-1)≤n+r-1,
因此ak+(k-1)是1到n+r-1中的元素。
从n个不同元素中 取r个作允许重复 的组合
C(n+r-1,r)
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1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 反过来，要证明从(1,2,…,n+r-1)中 取r个作不允许重复的组合(b1,b2,…,br),不 妨设b1<b2<…< br≤n+r-1。 对应于从n个元素中取r个作允许重复的组合 构造序列b1,b2-1,…,br-r+1,
C(n+b-1,b)
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1.7 组合的解释 1、路径数问题：如图从(0,0)点出发沿x轴或y轴 的正方向每步走一个单位，最终走到(m,n)点，问 有多少条路径；
无论怎样走法，在x方向上总共走m步，在y方 向上总共走n步，若用一个字母x表示x方向上的 一步，一个字母y表示y方向上的一步；
则(0,0)→(m,n)的每一条路径可表示为m个x 与n个y的一个多重排列；
第一章：排列与组合 1.1 基本计数法则 1.2 一一对应:
1.3 排列与组合
1.4 圆周排列
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
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1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.6.1 允许重复的组合 例如：从{1,2,3}中取两个数的组合，原来是 {1，2}，{1，3}， {2，3}， 如果允许重复，多了 {1，1}， {2，2}， {3，3}。 组合模型: 是两个无标志的球放进三个有区别的盒子 的情况，一个盒子中可放一个，也可以放多个。 组合模型是r个无标志的球放进n个有区别 的盒子的情况:一个盒子中可放一个，也可以放 多个。
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1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
定理1.2 在n个不同的元素中取r个进行组合， 若允许重复，则组合数为C(n+r-1,r)。
证明：只要证明n取r可重复组合，与从n+r-1 中取r个的不允许重复的组合一一对应即可。 首先证明每个n取r可重复组合，都对应着不同 的从n+r-1中取r个的不允许重复的组合。 设n个元素分别为1,2,3,…,n。从中取r个作 允许重复的组合a1,a2,…,ar。(假设这r个我们按 顺序给出) 由于允许重复，因此有a1≤a2 ≤…≤ ar。 从{a1,a2,…,ar}构造序列{a1,a2+1, a3+2 …,ar+(r-1)}