江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：圆的切线的性质

例5：如图
△ABC中∠C﹦900,AC＝12cm,BC=16cm ⊙O的直径MN在AB上,且分别切AC于D,BC于E 求 MN的长
分析：可以根据切线的性质，构造相似三角形利用相似 三角形对应边成比例的性质,建立方程求解。
解： 连结OD，OE,设圆的半径为R.
∵ ⊙O分别切AC,BC于E， ∴OD＝OE=R,OD⊥AC,OE⊥BC, 又 ∵∠C﹦900， ∴DC=OE=R,OD∥BC. OD AD R ∴ ﹦ ,即. BC AC 16 48 解得， R﹦ 7 cm. 12-R
例3：已知:
如图 RT△ ABC中,∠C=900, 以AC为直径 的⊙ O交斜边 AB于D,OE∥AB交BC于E 求证: DE是圆O的切线 分析： 要证DE是⊙O 的切线，只要证明DE经过⊙O 的半径的外端并且垂直于这条半径.由于点D 在 ⊙O 上,因此连结OD,只要证明DE⊥ OD. 证明：连结OD ∵OE∥AB, A
O D A
M
12
N
B E∴ MN= 96来自cm. 7C例6、如右图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点， ⊙D与OA相切于点E。那么，OB是⊙D的切线吗？请说明理由。 解：OB是⊙D的切线 。理由如下： 连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F。 A C
●
∵ OA 与⊙D 相切于点E ∴ OE⊥OA
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠2=∠4 在△OCE和△ODE中 OC=OD，∠2＝∠4，OE=OE ∴△OCE≌△ODE. ∵∠C=∠900 ∴∠ODE=900,即DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线。 1
O
2
4
3
D
C
E
B
例4：已知： 如图△ABC中AD⊥BC，AD=
例2 如图2.已知OA＝OB＝5厘米， AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米. 求证：AB与⊙O相切
O
分 析 ： 欲 证 AB 是 ⊙ O 的切线．由于 AB 过 圆上点 C ，若连结 OC ， 则AB过半径OC的外端， 只需证明OC⊥OB.
O A A C B C B
证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB， ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上 的中线． ．∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C， 所以 AB是⊙O的切线．
没有半径-----
2. 根据切线的性质,构造相似三角形,利用相似三角形对
应边成比例的性质,建立方程求解,是圆的计算中常用 的一种方法。(如例5）
（1） 已知半径为2cm的⊙O外一点P，且PO＝4cm，PQ切⊙O于Q， 则PQ=________，∠OPQ＝_________； o （2） 两个同心圆的半径分别是3cm和5cm，大圆的弦AB和小圆相切 则AB＝________ 8cm ； 0 （3） ⊿ABC中，∠A＝90 ,AB=AC，以A为圆心的圆切BC于D，若 3cm ； BC＝6cm，则⊙A的半径等于_______ o 0 132； （4） PA,PB都是⊙O的切线A,B是切点.若∠P=48 则∠AOB＝_____
又∵ OC平分∠AOB， DF⊥OB
E
D
∴ DF ＝ DE
又∵ DF⊥OB， 即 d ＝ r ∴ OB是⊙D的切线 。
O
┐
F
B
1. 证明直线和圆的相切的基本思路：
已知半径------- 直接证直线与半径垂直； 有公共点------“连半径,证垂直” (如例3） 无公共点------“作垂线,证半径” （如例4）
∴以EF为直径⊙O的与BC相切
1 BC ， E，F 2
C
如右图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径 OA与 l 垂直吗？
。
]
由于 l 是⊙O的切线，圆心O到 直线 l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到AB的距离，因此 l AB
图 23.2.8
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的 半径。
求
A
AB上, ⊙O分别切AC,BC于E,F. ⊙C O的半径
C
O
E
.
(5)
E
F
O
C
A O
F B
A
B D
（6）
B
（7）
（8）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直
径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E， 求证：DE是⊙O的 切线。
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为 切线，可连结OD， 再证明DE⊥OD。
分别是AB，AC的中点，AD与EF相交于H， 求证： 以EF为直径的⊙ O于BC相切 分析： 要证BC与⊙ O相切.因为并不知道BC过⊙ O 上哪一点 所以只
能作圆心 O到BC的垂线段OG然后证明OG等于⊙ O的半径 证明：作OG⊥BC，垂足为G ∵E，F分别是AB，AC的中点 A 1 ∴EF∥BC,且EF＝ 2 BC。 ∴H是AD的中点，即HD= 1 AD. 2 1 O ∵AD＝ BC. H F E 2 ∴AD=EF 1 ∴HD= EF 2 ∵AD⊥BC, OG⊥BC, EF∥BC, B D G 1 ∴OG=HD= EF 2 ∴OG是⊙O的半径。
分析：因为已知条件没给出AB和 ⊙O有公共点，所以可过圆心O作 OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等 于⊙O的半径3厘米即可.
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C. 因为OA＝OB＝5cm，AB＝8cm， 所以AC＝BC＝4cm. 在Rt∆AOC 中 OC=√OA2-AC2=3 cm 又因为Ｏ的直径为6cm 故ＯＣ的长等于☉Ｏ的半径3cm. ∴ AB 与☉Ｏ相切
2 3
30
Q
O P (1)
A O
B
A A P
B O C
(2)
B
(3)
D
(4)
(5) 已知: 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 和CD 相等,且AB与小圆相切于E 求证：CD与小圆相切
(6) 已知： 如图,⊙O交OA于C,弦BC＝AC,∠A＝300
求证： AB是⊙C的切线
(7) 如图,⊿ABC中,∠C＝900,AC=12cm,BC=6cm 点O在
y
x
本课内容：
圆的切线的性质
根据作图直线l是切线满足两个条件
1.经过半径的外端
O D 几何语言 OD是⊙O的半径 OD⊥l于D l是⊙O的切线 l
2.与半径垂直
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切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
例1 已知：直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线