第12章 结构矩阵分析

F2
F3
F4



sin
0 0
sin 0 cos 0
0 cos 0 sin
0 F1
0
sin cos


F2 F3 F4

进一步：
F (e) λ (e) F (e)
p1
x1
q
2
x 1 p3 x 2
13
y
xM 2
l
4
l
2
2
l
M1
p2
3
l
2
l 2
12
3
4
5
pc


pd

pe



p3 2
p1 ql 2 2

pl 8

ql 2 12

p3l 8

p2


M1

ql 2 12

6

M
2

p3
l
T
8
12.8 平面杆件结构分析举例
一、解题步骤 （1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系 并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。 （2）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。
（3）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。
（4）建立整个结构的刚度矩阵。
（5）求综合结点荷载。
（6）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。 （7）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。
7( 6 ,9,10 )
x5 x6
1( 0,0,1 )
8( 0,0,0 ) 9( 0,16,17 )
1( 0,0,1 )
8( 0,0,0 ) 9( 0,9,11 )
y 考虑轴向变形
y 略去轴向变形
JE( 1,3 ) 4 JE( 2,3 ) 5
JN(1,3) 5 JN(2,3) 6 JN(3,3) 7
0

0
k(112)
0
k(212) k(222) k(223)
k(322)
k(323) k(333)
0
k(433)
0 1 4i1
0 k(334)

2

3
2 i1 0
k(434) 4
0
2 i1 4i1 4i2
2 i2 0
0 2 i2 4i2 4i3 2 i3
例题： 求图示结构综合结点荷载。
p
解：
1、确定结点、划分单元、建立坐标系； 2(2,3,4)
2、（局）单元固端力：
x
FF（ 1） 0
-
pl 2
-
pl 0 8
-
pl 2
pl T 8
FF（ 2）
0
-
ql 2
- ql 2 0 - ql 12 2
ql 2 12
T
p
y
Mq
x2
1
x
1(0,0,1)
3、单元等效结点荷载：
l
pe (1) (1)T Ff (1)
0
cx
cy
0


0
0 0
- cy 0 cx 0 01
0 0 0
0 0 0
0
0

0

p

2

pl

根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合 成原结构，进行整体分析——建立结点力与结点 位移之间的关系（结构刚度方程） 。
解算刚度方程，完成结构计算。
返回
二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题
1、用直接刚度法组集刚度矩阵
单元刚度矩阵
1
k (1) kk((121111))
2
kk((121122))
m( 3 ) 5 6 89 10 11T
JE( 1,3 ) 4 JE( 2,3 ) 5
JN( 1,3 ) 2 JN( 2,3 ) 0 JN( 3,3 ) 4
m( 3 ) 2 0 5 6 0 7T
2、整个结构的等效结点荷载
将单元等效结点荷载按“单元定位编码”累加到整个 结构的等效结点荷载中去：
5、直接作用在结点上的荷载
12 3 4 5
pd 0 0 p M 0 T
6、综合结点荷载
12 3
4
pc


pd

pe



pl 8
p 2
ql p 2
-
pl 8

ql 2 12

M
5
-
ql
2
T
12
练习： 求图示结构综合结点荷载。
cos
(e) sin
0

0
sin 0 0
cos 0
0

0 cos sin
0 sin
cos


称为“轴力单元坐标 变换矩阵”，该矩阵 为正交矩阵。
正交矩阵的特点：
（1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。
2( 2,3,4 )
2 3( 5,6 ,7 ) x
4( 5,6 ,8 )
2( 2,0,3 )
1
x
x3
x 5( 9,10,11 ) x
4
7( 13,14,15 )
6( 9,10,12 )
1
x x
x5 x6
2 3( 2,0,4 ) x
4( 2,0,5 )
x
5( 6 ,0,7 )
3
x4
6( 6 ,0,8 )
0
2
2 i1 4i1 4i2
2 i2
3
0 1
2
i2

2
4i2 3
结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标， “对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。
练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。
解：
1
1 223 3
4
i1
i2
i3
单元刚度矩阵 1
k (1) kk((121111))
第12章 结构矩阵分析 12-1 概 述 *1.结构矩阵分析方法（属有限元法）:分析杆件结构
*2.结构矩阵分析基本思路：先分后合，即先拆后搭 *3.矩阵力法与矩阵位移法简介
2. 结构矩阵分析基本思路
简单概括为：“先分再合，拆了再搭”
将结构离散成有限的单元，进行单元分析— —建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度 方程）。
1 2
2
k (2) kk((322222))
3
kk((322233))
2 3
整体刚度矩阵
1
K kk((121111))

0
2
k (1
1) 2
k(212) k(222)
k(322)
3
0 1
k(223)
2
k(323)3
1
4 i1 2i1
12.4 单元刚度矩阵的坐标变换
一、整体坐标系与局部坐标系
1、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须
进行坐标变换。 2、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。
3、局部坐标系： 专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。
将以上方程组写成矩阵的形式：
F1 cos
Pc Pd Pe 3.3333( kN m ) 45( kN ) 40( kN ) 24.1667( kN m )T
1600 0 1200 0

800
-1200
- 1200 0
202400 0
800 Δ1 3.3333
-1200
λ (e)1
λ (e)T
二、先处理法
1、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位 移分量编码，直接建立“修正的整体刚度方程”的方法。
2、有关先处理法的基本概念
（1）位移分量编码
a）仅对未知的独立位移分量编码 b）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。
2( 2,3,4 ) 2


Δ2



45

0 4800


Δ3 Δ4

40 24.1667
3.3078 104 (rad.)

Δ


1.2748 104 (m) 1.9567 104 (m)


5.1217 103 (rad.)
整体刚度矩阵
2
kk((121122))
1 2
2
k (2) kk((322222))
3
kk((322233))
2 3
3
k (3) kk((343333))
4
kk((343344))
3 4
1
2
3
4
1
2
3
4
K

kk((121111))
nf ( ej ) nf 非结点荷载总数
pe pe ej 第 j个非结点荷载作用的单元号 j 1
四、综合结点荷载的确定 将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷
载相加，可得综合结点荷载：
pc pd pe
综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原 结构的支座反力、杆端位移；而综合结点荷载作用下的 杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。

8
0 0 0
0 0 0
cx - cy cy cx 00
0

0
1

0


p

2
pl
8
00


p 2
0
1
pl
8
23
p 0 2
4
- pl 8
T
234 00 5
pe (2) (2)T
Ff
(2)
x 1x
3( 5,6 ,7 ) x
4( 5,6 ,8 )
x3
5( 0,0,0 )
3( 3,4,6 ) 2
2( 3,4,5 ) x
1x
4(7 ,8,9 ) x x3
5(10,0,0)
1( 0,0,1 )
1(0,1,2)
y
y
（4）练习：试确定图示结构坐标系，并对结点、单元、位移分量进 行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三 单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。

0

ql 2
ql 2 ql 0
12 2
ql 2 T
-
12

3(0,0,5)
l 2 l 2
00 1
pe (1) (1)T Ff (1)


p 2
0
pl 8
234
pe (2) (2)T
Ff
(2)


0

ql 2
ql 2 12
23 4
p 2
0
-
pl 8
(1)T
00 5
ql
ql 2 (2)T
0
2
-
12

4、结构等效结点荷载
12 3
4
pe
pe1
pe 2
p3
pe4 pe5
T

pl 8
p 2
ql 2

pl 8

ql 2 12

5
ql2 T
12
0 1
0

2
2 i3 4 i3

3 4
三、用有限单元法计算例12-1（P18）
1、确定结点、划分单元、建立坐标系； 2、求（等效）结点荷载矩阵： 3、求单元刚度矩阵： 4、求整体刚度矩阵： 5、建立整个结构的刚度方程： 6、引入支承条件，修改刚度方程： 7、解方程，求结点位移： 8、绘内力图。
二、平面杆件结构分析举例（P34、p38）
1600 0
K

0
401200
- 1200 0

800
-1200
- 1200 0
202400 0
800
-1200

0
4800

Pd 0 20 30 40T
Pe Pe① Pe③ 3.3333 25 10 15.8333T