理论力学14压杆稳定

I y > I z λ y = λz
16
压杆稳定
两根中心受压杆的材料和支撑情况相同，若两杆的所有 尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆的临界应力如何？
πE σ cr = 2 λ 答：相等。
2
λ=
μl
i
i=
I A
非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界应力，其结果 σ比实际大还是小？
cr
σ cr = a − b λ
压杆稳定
折减系数法
[σ ]st = ϕ [σ ]
σ ≤ ϕ[σ ]
ϕ = ϕ (λ ) 称为折减系数
强度许用应力
19
例
2
一连杆尺寸如图，材料为Ａ３钢， E = 200GPa ，
σ p = 200MPa ，σ s = 240MPa ， F = 110kN ，[n]st = 3
试校核连杆的稳定性。
y
26
压杆稳定
本章小结
压杆稳定的概念
压杆的临界力
Fcr =
π EI
2
π EI
Fcr = ( μl ) λ ≥ λp
欧拉公式
2 min
l
2
2
压杆的临界应力
大柔度杆或细长杆
πE σ cr = 2 λ
2
27
压杆稳定
λs ≤ λ < λ p 直线公式 σ cr = a − bλ
中柔度杆或中长杆 小柔度杆或短粗杆
σ cr = a − bλ
πE 2
σcr = 2 λ
λ
λs
λp
临界应力总图表示临界应力随柔度的变化。
15
压杆稳定
思考：
两压杆为管状薄壁容器式细长杆，管两端封闭，且为 铰支座。ａ杆无内压，ｂ杆有内压，其他条件相同。则两 杆临界应力的关系如何？
π E2 σ cr = 2 λ 答：相同。
λ=
μl
i
若压杆在两个方向上的约束不同，且μ y > μ z 。则为 保证该截面为合理截面的条件是什么？ 答：
2
( μ l ) μ称为长度因数（系数）
μl称为相当长度
8
压杆稳定
不同约束条件下压杆的长度系数和欧拉公式
杆端约 束情况
两端铰支 一端固定 一端铰支 两端固定 一端固定 一端自由 一端固定 一端滑动
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
l
l
l
l
长度 系数 欧拉 公式
μ =1
Fcr =
Fcr = A ⋅ σ cr = 353.6kN
Fcr
nst == 3.2 ≥ [n]st F
该杆稳定
23
例
2
问题：若要求连杆在xｏy和xｏz两平面内失稳时的临界力 相等，则应满足什么条件？
λy = λz
0.5l1l = I zI y A 2 A I zl
y
l
F
x
z
l1
F
x
=4 2 I y l1 l ≈ l1 ∴ I z ≈ 4I
y
24
压杆稳定
二、 提高压杆稳定性的措施
尽量减小压杆长度 l
Fcr Fcr
l
l 0.5l
μ =1
Fcr =
π EI
2
l
2
Fcr = 4
π EI
2
l
2
25
压杆稳定
选择合理截面 在不增加压杆横截面面积的前提下，应尽量增大惯性 矩。如空心圆环形截面比实心圆截面合理；应使压杆在各 方向的稳定性相近。 改善约束条件 压杆两端固定的越牢，μ 值越小，柔度越小，提高 压杆的稳定性。
但实际上，当F不足30N时，杆发生 了侧向弯曲，力再稍增加，杆就折 断了。这是由于受压杆丧失稳定所 致。
l
50m m
4mm 3
压杆稳定
所谓压杆的稳定，是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 理想弹性压杆：材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线方向 的压杆。 作用压力F，给一横向干扰力 （1）稳定平衡 —— 若干扰力撤 消，直杆能回到原有的直线平衡 状态 ，图 b ，压力F小于某值Fcr （2）不稳定平衡 ——若干扰力 撤消，直杆不能回到原有直线平 衡状态，图 c ，压力F大于某值
柔度λ柔度越大，临界应力（临界 力）越小，杆件越容易失稳。
三、欧拉公式的适用范围
σ ≤σp π Eπ E p
2 2
λ ≥ λp
σ ≤σp
或
πE λp = σp
2
欧拉公式的适用范围为
λ ≥ λp
12
柔度 λ ≥ λp 的压杆称为大柔度杆或细长杆。
压杆稳定
x
Fcr =
kl = π
π EI
l
2
x
两端铰支压杆的临界失稳挠曲线为正弦曲线的半波曲线。
v = Asin kx + B cos kx
}
y
v = A sin
π
l
x
7
压杆稳定
对于其他杆端约束情况下的压杆，利用同样方法求得 临界力。各种细长压杆的临界力可由欧拉公式的一般形式 表示
2 min π EI
Fcr =
第十四章
压杆稳定
压杆稳定
§１４－1
压杆稳定的概念
在前面的分析中构件的承载能力包括强度和刚度。那 么是不是构件具有足够的强度、刚度，就能安全可靠地工 作呢？
横跨圣劳伦斯河的魁北克桥，即将建成前突然倒塌， 9000t的钢桥全部落入水中。当场造成了至少75人死亡， 多人受伤。桥梁破坏从开始到结束只有15秒钟。事故调 查显示，这起悲剧是下弦压杆失稳造成的。
2
M v" =v= Fcr2 EIEI
Fcr
x
x
y
y
Fcr
F cr 其中 k =
Fcr
5
压杆稳定
挠曲线近似微分方程 微分方程的通解
v "+ k v = 0
2
k
2
确定积分常数的边界条件
A× 0 + B = 0 sin kl = 0
v (0) = v (l ) = 0 A sin kl + B cos kl = 0
x
l1 = 880
y
l
F
x
z
l1
F
x
λz = =
= 54.3 iz 1.732
21
例
2
y
b = 25
xoz平面失稳时，μ =0.5
b 2.5 iy === 0.722cm 2323 0.5 × 88 λy = = 61 λ y > λz 0.722 在ｘｏｚ平面内失稳
y
h=60
z
l = 940
曲柄销
四、经验公式 对于λs ≤ λ < λ p的压杆，临界应力采用经验公式计算
σ cr = a − bλ
为材料常数，可查表获得
直线公式
柔度λs ≤ λ < λ p的压杆，称为中柔度杆或中长杆。 对于 λ < λs 的压杆，破坏是由于强度问题引起的，这类 杆件称为小柔度杆或短粗杆。
13
a −σ s λs = b
z
10mm
50mm
.5
（2）一压杆材料为Q235钢， [nst ] = 2， ，，。试计算钢 F = 70kN l = 250cm r = 4cm
δ
30
μ = 0.7
Fcr =
μ = 0.5
2
μ=2
2
μ =1
2
π2 EI
l
2
π2 EI
(0.7l )
Fcr =
π2 EI
(0.5l )
Fcr =
π2 EI
(2l )
Fcr =
π2 EI
l
2
9
例
1
已知木杆的截面如图所示，E=10GPa。求木杆临界力。
解
y
π EI
Fcr =
2 min
2
( μ l ) I min = I y , μ = 1
b = 25
y
h=6 0
y x
l
F
z
l = 940
曲柄销
x
z
滑块销
x
l1 = 880
z
l1
F
x
20
例 解
2
y
b = 25
求柔度
y
h=60
xoy平面失稳时，μ =1 3
bh h 12 =iz = bh 2 3 6 == 1.732cm 2 3 μ l 9495 1 ×
z
l = 940
曲柄销
x
z
滑块销
2
压杆稳定
对中心受压杆来说，从强度角度看，只要校核截面 上的正应力不超过材料的许用应力即可，根据强度条 件，压杆能承受的荷载为F＝[σ]·A。但实际上，受压 杆特别是较细长的受压杆远不能承受F＝[σ]·A这么大 的荷载． F例如，所示的横截面为50mm × 4mm，长度为l＝1m的木杆。 如果[σ]=10 MPa，按强度条件其 可承受的压力为F＝[σ]·A =2000N。
答：大。
σs σp
σ cr
π E2
=2
λ
λ
17
λs
λp
压杆稳定
§１４－３
压杆的稳定计算
规定的稳定安全系数
一、压杆的稳定计算
安全系数法
Fcr σ cr nst == ≥ [n]st
稳定安全系数 Fσ
－－压杆的稳定条件
规定的稳定安全系数的选择除考虑确定强度安全系数 的因素外，还应考虑实际压杆不可避免地存在杆轴线的初 曲率、压力的偏心等因素，因此稳定安全系数一般比强度 18安全系数要大。
F F < Fcr F > Fcr
l
Fcr Fcr称为临界力。
(a) (b) (c )
4
压杆稳定
§1４-2 一、压杆的临界力
压杆的临界力和临界应力
假定压杆处于微弯的平衡状态， 求出所需的最小压力即为临界力。
挠曲线近似微分方程
x
Fcr
x
v( x)
l
− F cr
v "+v = v "+ k v = 0 EI
λ < λs
应用强度条件计算
临界应力总图 压杆的稳定计算 安全系数法
折减系数法
Fcr σ cr nst == ≥ [n]st Fσ
σ ≤ ϕ[σ ]
28
压杆稳定
提高压杆稳定性的措施 尽量减小压杆长度 l
选择合理截面
改善约束条件
29
压杆稳定
本章作业
y
（1）已知钢杆如图所示， E = 200GPa。 试求临界力。
i= A ==== σ cr =
π EI π E ( I / A ) π Ei π E I 截面的惯性半径
i
2
λ=
μl
i
柔度综合反映了杆端约束、 柔度或长细比 杆长、杆件截面形状和尺寸 2222 对临界力的影响 (μl )A (μl ) A(μl )(μl )
11
压杆稳定
π E2 σ cr = 2 λ
4mm
2
z
50mm
1
9 3−12
π ×10 × 10 × × 50 × 4
10
× 10
12= 26.3 NFcr =
2
压杆稳定
二、压杆的临界应力
临界力是压杆保持直线平衡状态所能承受的最大压力， 因而压杆在开始失稳时横截面上的应力仍按轴向拉压杆的 应力公式计算
F临界应力
22222
σ cr =
cr
A
Fcr
压杆稳定
压杆按其柔度可分为三类，分别用不同的公式计算临界应力： 大柔度杆或细长杆
λ ≥ λp
欧拉公式
中柔度杆或中长杆 直线公式 小柔度杆或短粗杆
π E2 σ cr = 2 λ λs ≤ λ < λ p
σ cr = a − bλ
λ < λs
14
应用强度条件计算
压杆稳定
临界应力总图
σ cr σs σp
x
z
滑块销
x
l1 = 880
z
l1
F
x
λp = π
σp
E = 100
λy < λ p
22
例
2
采用直线公式计算临界应力，查表可知：
a = 304MPa
b = 1.12MPa
a −σ s λs = = 57 该杆为中长杆 b
λs < λ y < λ p
σ cr = a − bλ y = 235.7MPa
v = Asin kx + B cos kx
F cr = EI
x
l
kl = nπ
n = 0,1,2 Λ
x
nπ 2 Fcr = ( ) EI (n = 0,1, 2,L ) l
y
6
压杆稳定
真实的临界力应为Fcr中非零的最小值，即n=1
两端铰支压杆的临界力为
l
2
nπ 2 Fcr = ( ) EI (n = 0,1, 2,L ) l