数学：第1课时 基本不等式(答案)

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b

2

第1课时 基本不等式

学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点一 算术平均数与几何平均数

一般地，对于正数a ，b ，a ＋b

2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．两个正数

的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤

a ＋b

2

. 几何解释 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ，连接AP ，PB .

则PO ＝AB 2＝a ＋b

2

.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab .

知识点二 基本不等式常见推论

由公式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )和a ＋b

2≥ab (a ＞0，b ＞0)可得以下结论：

①a b ＋b

a ≥2(a ，

b 同号)； ②2

1a ＋1b

≤ab ≤a ＋b

2≤a 2＋b 2

2

(a ＞0，b ＞0)．

1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( √ ) 2．n ∈N *时，n ＋2

n ≥2 2.( √ )

3．x ≠0时，x ＋1

x

≥2.( × )

4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4

a ＋b

.( √ )

题型一 常见推论的证明

例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究1

求证a ＋b 2

≥ab (a ＞0，b ＞0)．

证明 方法一 a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a ·b ]＝1

2·(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，

即a ＝b 时，等号成立． 方法二 由例1知，a 2＋b 2≥2ab .

∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ， 即a ＋b ≥2ab ， a ＋b

2≥ab . 引申探究2

证明不等式⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2(a ，b ∈R )．

证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，

两边同除以4，即得⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2，当且仅当a ＝b 时，取等号．

反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．

(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b

2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实

数，后者要求a ，b 都是正数．

跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：2

1a ＋1b ≤ab .

证明 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴

1a ＋b ≤12ab ， ∴

2ab a ＋b ≤2ab

2ab

＝ab . 又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1

b ，

∴

2

1a ＋1b ≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 题型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋x

y

≥2；

(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y >0，y

x >0， ∴y x ＋x y

≥2 y x ·x y ＝2，即y x ＋x

y

≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数， ∴x ＋y ≥2xy >0，

x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0， ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．

反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．

跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，

∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ， 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 题型三 用基本不等式比较大小

例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b 2

B ．x ≤a ＋b

2

C ．x ＞a ＋b

2

D ．x ≥a ＋b

2

答案 B

解析 第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，

第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤(1＋a )＋(1＋b )22

，