一种基于复数变量求偏导的随机有限元可靠度法

关键词 ：随机有 限元 ； 可靠度 ； 复数变量 ； 偏导数
中图 分 类 号 ： ３ １２ ＴＢ １ ． 文献 标 识 码 ：Ａ
Ａ Ｓ ｏ ｈ ｓｉ Ｆ ｎｔ Ｅｌｍｅ ｔ Ｒ ｌ ｂ ｌ ｙ 等 ， ｔ ｃ ａ ｔｃ ｉｉｅ ｅ ｎ ｅｉ ｉ ｔ ａ ｉ 成功 地解决 了大 量工程 中的随机 结构 分析 问题 ．
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａ ｅ ａ ｐ ｏ ｃ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ｔ ｃ ａ ｔ ｉ ｉ ｎ ｗ ｐ ｒ ａ ｈ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｆ ｒ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｆ ｔ ｃ ｎ ｅ
靠度 法 （Ｆ ＭＲ） 在 可 靠 度 计 算 方 法 中 ， 要 计 算 ＳＥ ． 需 功 能 函数 对 各 个 随机 变 量 的偏 导数 ， 这种 偏 导 数 而 的计 算往往 又通 过功 能 函数 的表 达式 转 化 为 结构 随 机 响应量 的偏 导数计 算 ． 以 ， 所 响应量 的偏 导数 计 算 直接 影 响 Ｓ Ｅ 和 Ｓ Ｅ Ｆ Ｍ Ｆ ＭＲ 的计 算 精 度 和 效 率． 本
Ａｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｙ ｉ Ｍｅ ｈ ｄ ｔ ｏ Ｂａ ｅ ｏ Ｃｏ ｌｘ ｖ ｒａ ｌ ｓｄ ｎ ｍｐ ｅ － ａ ｉ ｂ ｅ Ｄｅ ｉａ ｉ ｅＴｅ ｈ ｉ ｕ ｒｖ ｔｖ ｃ ｎ ｑ ｅ
７ ｖＨｕ 卫 ｉ，
（ ． Ｊ ｎ ｓ ｅ ａ ｏ ａ ｏｙ ｏ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｍｅ ｈ ｎｃ ，Ｓ ｕ ｈ ａ ｔ １ ｉ ｇ ｕ Ｋ ｙ Ｌ ｂ ｒ ｔｒ ｆ Ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｃ ａ ｉｓ ｏ ｔ ｅ ｓ ａ ｎ
Ｊｎ ０２ ｕ ．２ １
文 章 编 号 ： ２ ３３ ４ ２ １ ） ６０ １ —５ ０ ５ ．７Ｘ（０ ２ ０ －８ ２０
Ｄ Ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ ０ ５ —７ ｘ ２ １ ． ６０ ２ Ｏ ：０ ３ ６ ／． ｓ ． ２３３ ４ ．０ ２ ０ ．０ ｓ
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种 基 于 复 数 变 量 求 偏 导 的 随 机 有 限 元 可 靠 度 法
靳 慧
（．东南大学 江苏省２ 程力学分析重点实验室 ， １ ｔ ２ 江苏 南京 ２ ０ ９ ； ．重庆交通大学 桥梁结构工程重点实验室 ， １０６ ２ 重庆 ４ ０ ７ ） ０ ０ ４
摘要 ：提出一种 基 于复数 变量 求偏 导 的随机 有 限元可靠 度
法 ． 工 程 中 的 随 机 因 素 设 置 为 复 数 变 量 ， 过 复 数 函 数 的 将 通
提供 了一 种 现 实 可 行 的 途 径 ．
随机 有 限元方 法 （ Ｆ Ｍ） 计 算 随 机力 学 的一 ＳＥ 是
够处 理 工 程 中 的结 构 随 机 问题 ， 算 结 构 随 机 响应 计 量 的统 计特 征． 近几 十年来 ， 内外 学 者对 随机有 限 国 元法进 行 了大量 深入 的研 究 ＿ ］ 提 出了 众 多 的求解 １， 方法 ， Ｍｏ ｔ Ｃ ｒ 如 ｎｅ ａｌ － ｏ随机有 限元 法 ， ａ ｌｒ 开 随 Ｔ ｙｏ 展
第４ Ｏ卷第 ６ 期 ２１ ０ ２年 ６月
同 济 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｏ Ｇ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｎ Ｊ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ （ Ａ Ｕ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ）
Ｖｏ ＿ ０ Ｎｏ ６ ｌ４ ．
导 数 的计算 是 随机有 限元法 的核 心．
另外 ， 随机有 限元 法 的重 要 用 途 是 和可 靠 度 理
Ｊａ ｔｎ ｎ ｖ ｒ ｉ ， ｈ ｎ ｑｎ ０ ０ ４ ｈｎ ） ｉ ｏ ｇ Ｕ ｉ ｓｔ Ｃ ｏ ｇ ｉｇ４ ０ ７ ，Ｃ ｉａ ｏ ｅ ｙ
论 相 结 合 进行 结 构 可 靠性 分 析 ， 为 随机 有 限 元 可 称
勒 级数 展式 计算 出响应 量 的各 阶统 计 特 性． 可见 ， 偏
Ｕｎｖ ｒｉ ，Ｎａｊ ｇ ２ ０ ９ ， ｈｎ ． Ｋ ｙ Ｌ ｂ ｒｔｒ ｆＢ ｉｇ— ｉｅｓ ｙ ｔ ｎｉ １ ０ ６ Ｃ ｉａ ２ ｅ ｏ ａｏｙ ｏ ｒｄｅ ｎ ｓ ａ
ｓｒ ｃ ｕｅ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｈ ｉｉｔｙ ｏ ｏ ｔｕ ｔｒ ｇｎ ｅ ｉｇ ｏ ｔ ｅ Ｍ ｎｓｒ Ｃ ｍｍｕ ｃ ｔ ｎ， Ｃ ｏ ｇ ｉｇ ｆ ｆ ｎｉａｉ ｏ ｈ ｎ ｑｎ
机有 限 元 法 （ Ｓ Ｅ ） Ｔ Ｆ Ｍ ，摄 动 随 机 有 限 元 法 （Ｓ Ｅ ， ｕ ｎ Ｐ Ｆ Ｍ） Ｎｅ ｍａ ｎ展 开 随机 有 限元 法 （ Ｆ Ｍ ） ＮＳ Ｅ
是 ＳＥ 的值 ， 这样在求可靠 度系 数 的迭 代过 程 中， 需再在 实数 空 个 重要 分支 ， 随机结 构分 析 的有 力 工 具． Ｆ Ｍ 能 无
ａ ｐ ｏ ｃ ｒｅ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ａ ｐ ｉａ ｉｎ． ｐ ｒ ａ ｈ ｆ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｐ ｌ ｔ ｏ ｃ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｉ ｉ ｌ ｍｅ ｔ ｒ ｌ ｂ ｌ ｙ； ｃ ｍｐ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｃ ａ ｔ ｆ ｔ ｅ ｅ ｎ ； ｅ ｉ ｉ ｔ ｃ ｎ ｅ ａ ｉ ｏ ｌｘ ｖ ｒａ ｌ ；ｄ ｒｖ ｔ ｅ ａ ｉｂ ｅ ｅ ｉａ ｉ ｖ
除 了 Ｍｏ ｔ— ａｌ ｎｅ Ｃ ｒ ｏ随机 有 限元 法 外 ， 他 随机 其
有 限元法 都 是 在 传 统 的 确 定 性 有 限 元 列 式 的 基 础 上， 进行 推导 演 化 ， 出迭 代 式 ， 得 以计 算 响 应 量 对 各 随机 变量 的各 阶偏 导数 ， 后 根据 这 些 偏 导数 和泰 然
泰勒级数展式得到一 阶导数 的近 似计算式． 这种求 导方法效 率高 ， 精度高 ， 应用简单方便 ， 只需在复数 空间进行 有 限元计 算， 无需对有限元方程 进行偏 导计 算 ， 便可 求 出响应 量 的偏 导数 ， 进而求得响应 量的方 差． 在随机 有 限元一 次二 阶矩 的 迭代 格式 中 ， 取复数空间有限元计算 结果的实部 作为 响应 量 间进 行计算 ． 复数变量 法大大 简化 了随机 有限元 （ Ｆ Ｍ） Ｓ Ｅ 和 随机 有限元 可靠度（ Ｆ ＭＲ） ｓＥ 的计算和编程过程 ， 为工程应用