斐波那契数列通项求法

斐波那契数列通项求法
为求得費波那西數列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。

高中的初等数学知识也能求出。

初等代数解法
已知
∙ a 1 = 1
∙
a 2 = 1
∙ a n = a n − 1 + a n − 2
首先构建等比数列
设a n + αa n − 1 = β(a n − 1 + αa n − 2) 化简得
a n = (β − α)a n − 1 + αβa n − 2
比较系数可得:
不妨设β > 0,α > 0 解得：
所以有a n + αa n − 1 = β(a n − 1 + αa n − 2)， 即
为等比数列。

求出数列{a n + αa n − 1}
由以上可得：
变形得：。

令
求数列{b n}进而得到{a n}
设，解得。

故数列为等比数列
即。

而，故有
又有和
可得
得出a n表达式
线性代数解法
构建一个矩阵方程
设J n为第n个月有生育能力的兔子数量，A n为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。

而要求的是，A n+1的表达式。

求矩阵的特征值：λ
行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ2-λ-1
当行列式的值为0，解得λ1=或λ2=
特征矢量
将两个特征值代入
求特征矢量得
=
=
分解首矢量
第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

将它分解为用特征矢量表示。

（4）用数学归纳法证明
从
=
可得
（5）
化简矩阵方程
将（4）代入（5）
根据 3
求A的表达式
现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入 6 中
(7)
(7)即为A n+1的表达式
近似值
用计算机求解
可通过编程观察斐波那契数列。

分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。

第二种是已知序数，求该项的值。

可通过递归递推的算法解决此两个问题。

事实上当n相当巨大的时候，O(n)的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵加速这一技巧。