高考数学数列求通项公式和及求和

数列汇总一、通项公式

二、数列求和

补充：

22 2233

(1)(21)(1)

2,2

64

n n n n n

n n

+++ +++=+++= 23

11

1

()

f n

一．通项

类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于11()()n

n n n a a f n a a f n ---=⇔=+型；

例1：已知数列|n a |满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n

（I ）求;,32a a （II ）证明：2

1

3-=n n a

变式1：设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 变式2：在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n

+=++，则n a =（ ）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

类型2：等比求通项思想：叠乘求通项，用于

11

()()n

n n n a f n a a f n a --=⇔=⋅型； 例2：在数列{}n a 中，111,

(2),1

n n a n a n a n -==≥-则?n a = 变式1：设{}n a 是首项为1的正项数列，

122

1(1)0(1,2)n n

n n n a na a a n +++-+== 则它的通项公式是

n a =_____

变式2：在数列{}n a 中，已知21

1,,n n a S n a ==求通项n a ；

类型3： 已知n S 求通项n a ：

{

112

,1n n s s n n s n a --≥==

，

例3：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*

12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．

变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； 变式2：若2log (1)n S n +=，则?n a =

变式3:正项数列{}n a 满足：11,a =n S 是其前n 项之和，且12

1n n n S S a +++=，求n n S a 、；

例4：在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =___ 变式1：已知数列{}a n 的前n 项和,22n

n n S a =- (Ⅰ)求34a a 、；

(Ⅱ)证明：数列{}12a a n n +-是一个等比数列. (Ⅲ)求{}a n 的通项公式.

变式2：已知数列{}n a 满足12211,3,3n n a a a a ++===2n a -,*()n N ∈,

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；

例5：在数列{}n a 中，11a =，122n

n n a a +=+．

（Ⅰ）设1

2

n

n n a b -=

．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

变式1：已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-，

(20)n q ≠≥，．

（Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*

N ，证明{}n b 是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，

再由等差或等比的通项公式间接解决问题。

例6：数列{}n a 中，*1121,(),2

n

n n a a a n N a +==

∈+则100?a = 2，，．

（Ⅰ）求例7：若数列{}n a 满足11211,2(1)n n a a a a n a -==++

-(2)n ≥,则{}n a 的通项

n a =

{

1,1

__,2n n =≥.

变式1：数列{}n a 满足*12323(1)(2)()n a a a na n n n n N +++

+=++∈(2)n ≥,则n a =?

二．数列求和 小结求和方法：

（1

）公式法：用于等差与等比数列；

（2）倒序相加法

：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子

（3）错位相减法：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和时，常常将{}n n b a 的各项乘以{}n b 的公比，并向后错一项；

（4）裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的1

a

=

1111()()n n k k n n k =-++， 1111

()(1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++

（5）分组求和法:把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和

练习：1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)

n a n n =+，则5?S =

{}?n n a a =

=1002.的通项则S

123410{}12345678910n a a a a a a ==+=++=+++=3.数列中，，，，，则？

{}363?n n a a n =-+++=12304.数列满足：，则a a a

11

1

5.1?1212312s n

=+++

+=++++++ 6．等差数列前3项之和为12，后3项之和为132，所有各项之和为240，则项数?n

=

7．(2)21n

n =-+-n n 数列{a }满足：a ，求前n 项和?=n

S

等差数列独有特点：

1.若{},{}n n a b 为等差数列,前n 项和分别为n n S T 、,若

()n n S f n T =，则(21)n n

a

f n b =-； 2.判定等差数列n S 何时取最大值：法1根据n S 相应二次函数的对称性；

3．判定等差数列n S 何时开始0>或0<，由1()

2

n n n a a S +=

，即判定1n a a +何时正负发生改变；

补充:等差、等比数列中：利用对称性设出相邻几项：如等比相邻3项设为：1

,,aq a aq -，

等比相邻4项设为：3

1

3

,,,aq aq aq aq --；等差相邻3项：,,a d a a d -+