定积分的概念与性质知识课件

fR[a,b]. 黎曼 德国数学家(1826–1866)
充分条件 定理4.1 设 f (x)在[a, b]上连续, 则 f (x)在[a, b] 上可积. 定理4.2 设 f (x)在[a, b]上有界, 且只有有限个 间断点, 则 f (x)在[a, b]上 可积.
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定积分的概念与性质
取负号.
y f (x)
a
O b x
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4.1 定积分的概念与性质
例 求1 1x2dx 0
y
y 1 x2
1
解 1 1x2dxπ
0
4
o
1
x
2. 物理意义
当v(t)0时, 定积分
b
a v(t)dt
表示以变速
v = v(t)作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
t = b 所经过的路程 s.
xixixi 1;
(2) 取近似
Ai
在每个小[x区 i1,间 xi] O ax 1
x i1 i x i xn1 b x
上任取一i点 ,以[xi1,xi]为底 , f(i)为高的小矩形,
面积近似代替Ai ,有 A i f ( i ) x i , i 1 , 2 , , n
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4.1 定积分的概念与性质
四、定积分的几何意义和物理意义
1. 几何意义
b
f(x)0, f(x)dxA 曲边梯形的面积 a
f(x)0,
b
f(x)dxA
曲边梯形的面积
a
y 的负值
f (x)
A1
A3
a
A2 O
bx
b a
f (x)dx
A1
A2
A3
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4.1 定积分的概念与性质
b f (x)dx 几何意义 a
它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条 直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和. 在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
记为
积分上限
b
n
af(x)dxIl i0m i1f(i) xi
积分下限 被 积 被
[a, b]积分区间
积 函
分 变
积 表
积 分
数 量达
和
式
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4.1 定积分的概念与性质
注 n
(1)S f(i)xi是[a与 ,b]的分[法 xi1,x 及 i]
i1
上i取法有关; n Il i0m i1f(i)xi是[a与 ,b]的分[法 xi1,x 及 i] 在
上i取法无关.
b
b
b
(2) f (x)dx f (t)dt f (u)du
a
a
a
定积分是一个数, 定积分数值只依赖于被积函数的
结构和上、下限, 而与积分变量的记号无关.
今后将经常利用定积分与变量记号无关性
进行推理.
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4.1 定积分的概念与性质
三、关于函数的可积性
当函数 f (x)在区间[a, b]上的定积分存在时, 称 f (x)在区间[a, b]上 可积.或 黎曼可积,记为
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
把区间[a, b]分成n个小区间, 各小区间长度依次为
x i x i x i 1 ,( i 1 ,2 , ,n )(2),在各小区间上任取
一点 i(i xi),作乘积 f(i) x i(i 1 ,2 , ,n ) n
(3) 并作和 S f(i)xi.
梯形面积.
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4.1 定积分的概念与性质
采取下列四个步骤来求面Ai积表A示. [xi1, xi ]上对应
(1) 分割 任意用分点 的窄曲边梯形的面积 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
把区 [a,b]间 分n 成 个 y 小区 [xi1间 ,xi]长, 度为
y f(x)
i1
(4) 取极限 m t 1 , t a 2 , , t x n } 令{ 0
路程的精确值
n
slim 0 i1v(i )ti.
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4.1 定积分的概念与性质
二、定积分的上定1)两量义例具共有同可点加:性, I I;
定义4.1 设函数f (x)在2[)a方, b法]上一有样界; , (1) 在[a, b]中任意插入若干3个) 结分果点形式一样.
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4.1 定积分的概念与性质
(1) 分割 T 1 t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2
ti titi1
si 表示在时间区间 [ti1,ti]内走过的路程.
(2) 取近似 siv(i) ti (i 1 ,2 , ,n )
某时刻的速度
n
(3) 求和 s v(i )ti
* 定积分的几何意义和物理意义 * 定积分的基本性质
小结 思考题 作业
第4章 定积分与不定积分
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4.1 定积分的概念与性质
f(x)h(常)数 时 ,矩形面积 A(公 ba式 )h 为
思想 以直代曲
用矩形面积 近似取代曲边梯形面积
y
y
O (五个小矩形)
x O (十个小矩形)
x
显然, 小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边
i1
(4) 记 m x 1 a , x 2 x , , { x n }如, 果不论对[a, b]
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4.1 定积分的概念与性质
怎样的分法, 也不论在小区间[xi1, xi ]上点 i 怎样
的取法, 只要当0时,和S总趋于确定的极限I,
称这个极限I为函数f (x)在区间[a, b]上的 定积分.
(3) 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形
面积A的近似值. n
A f (i )xi
i 1
(4) 求极限 为了得到A的精确值, 分割无限加细,
即小区间 m 的 a x 1,x 最 x2 { , ,大 xn}长
趋近(于 0零 )时 ,取极限, 极限值就是曲边梯形
的面积:
n
Alim 0i1
f(i)xi.
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4.1 定积分的概念与性质
思想 以不变代变 2. 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度v = v(t)是时间
间隔[T1, T2]上t的一个连续函数, 且v(t)0,求物体
在这段时间内所经过的路程.
思路 把整段时间分割成若干小段, 每小 段上速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值.
第4章 定积分与不定积分
y
y f(x)
Oa
A?
bx
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 — 一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
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4.1 定积分的概念与性质
definite integral
定积分问题举例
* 定积分的定义 关于函数的可积性