现代控制理论-第2章-孙老师

第二章控制系统的状态方程求解
《现代控制理论》
主讲：孙韬
概述
法是现代控制理论的主要分析方法，其状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输
运用矩出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。

本章重点:
讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式、以及离散系统状态
离散
方程的求解方法。

主要内容
线性定常控制系的求解
线性定常控制系统的求解
线性离散系统的状态空间表达式
连续系统的离散化
线性离散系统状态方程的求解
2.1 线性定常控制系统的求解
线性定常控制系统的求解
线性定常系齐次状态方程的解•线性定常系统齐次状态方程的解•状态转移矩阵
•线性定常系统非齐次状态方程的解
线性定常系统齐次状态方程的解
1、线性定常系统的运动
1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u ＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动
由初始状态引起的运动称自由运动。

)
,(B A =∑0
=u x
齐次状态方程的解：
0,()|(0)t x
Ax x t x === 作用下的运动称为2）强迫运动：线性定常系统在控制u 作用下的运动，称为强迫运动。

u
x x
== )
,(B A =∑00,()|()t t Ax Bu x t x t =+非齐次状态方程的解：
线性定常系统齐次状态方程的解
2、齐次状态方程的解：
()()x
t Ax t = 已知状态方程
求
()?
x t =一阶标量微分方程
)()(t ax t x
= d d ax dt dx =dt a x
dx
⋅=⇒at x x =-⇒)0(ln ln 1⇒
+++++=t x a k t x a t ax x t x )0(!1)0(!2)0()0()(22指数函数221112!!
at
k k e at a t a t k =+++++
线性定常系统齐次状态方程的解
x
t Ax t = 向量
()()仿照标量微分方程：2012()k
k x t b b t b t b t =+++++
微分方程
代入微分方程：2012()()()k
k x
t Ax t A b b t b t b t ==+++++ b 求导21
123()23k k x t b t b t kb t -=++++
⎧对求导：)(t x 两式相等必有：10
b Ab =⎧10212b Ab b Ab =⎪=⎪两式相等有
2112b Ab ⎪⎪=⎪
⎪20
12!A b =323 b Ab ⎪
=⎨⎪ 3213 b Ab ⎪
⇒=⎨⎪
⎪ 30
13!A b =1
k k kb Ab -⎪=⎪⎩11k k b Ab k -⎪⎪=⎪⎩
1!k A b k =
线性定常系统齐次状态方程的解
x
= 向量
()()t Ax t 仿照标量
+++++=k
k t t t t b b b b x 2
210)(微分方程：
+++++=k
k t k t t 0202001!21b A b A Ab b 1122 k
k =⎧=0
1Ab b )!2(+++++t k t t A A A I 0
b ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨=⇒2331 Ab b ⎪⎪
⎪⎨=23123Ab b 1=⎪⎪⎪⎩
=-11k k k Ab b ⎪⎪⎩=-1
k k k Ab b 0!1b A k k =
线性定常系统齐次状态方程的解
t A 1()()
x Ax t =)1!2()(22 +++++=k
k t k t t t A A A I x 0
b 0=t 0
)0(b x =⇒11))
0(!2()(22)x A A A I x +++++=∴k
k t k t t t 1
+++++=k
k t
t k
t t e
A A A I A 1!222矩阵指数函数
状态转移矩阵
描述了状态向量由初始状态向任意时
刻状态转移的内在特性。

)0(x )(t x
状态转移矩阵
1状态方程：Ax
x = 已知已知：、状态转移矩阵的含义
=A t
=线性定常系统的齐次状态方程知满足初始状态的解是：)
0(|)(0x x =t t )0()(x x e t 满足初始状态
的解是：)
()(0)
(0t e
t t t x x A -=)
(|)(0t t t t x x ==0⎪⎧=)
(t e t
ΦA 令则有⎧=)
0()()(t t x Φx ⎪⎩⎨-=-)(0)(0t t e
t t ΦA 令：
则有：
⎩⎨
-=)
()()(00t t t t x Φx 线性定常系统的状态转移矩阵
状态转移矩阵
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件：00()t t I
Φ-=00()()t t A t t Φ-=Φ- 2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指
数函数本身。

状态转移矩阵的说明3：状态转移矩阵的物理意义：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
2
x )
0(x t
)
(1t x t )
(2t x t )0(1-t Φ)
(12t t -Φ1
x 0
1
2
状态转移矩阵
2
、状态转移矩阵的基本性质
(0)A ⇒Φ
= =-=-=-=证明：(0)I Φ推论：)0()()(x Φx t t =)()()0(1
t t x Φx -=⇒)
()(t t x Φ-=)()()()(t t t t ΦΦΦΦ)(t t Φ状态转移具有可逆性
状态转移矩阵
Φ
()()(0)
x t t x
=Φ
1-
-
33
()()
t t x t
=-
证明：)0(
)
(
)
(
1
1
x
Φ
x t
t=)
(
)
(
)
(
)
(
)0(
1
1
1
1
t
t
t
t x
Φ
x
Φ
x=
=
⇒
)0(
)
(
)
(
2
2
x
Φ
x t
t=)
(
)
(
)
(
1
1
2
t
t
t x
Φ
Φ-
=)
(
)
(
1
1
2
t
t
t x
Φ-
=
)
(
1
2
t
t-
Φ
转移至的状态转移矩阵为
)
(
1
t
x)
(
2
t
x
--
证明：)
(
)
(
)
(
2
2
t
t
t
t x
Φ
x=)
(
)
(
)
(
1
1
t
t
t
t x
Φ
x=
t
t
t
t x
Φ
x-
=)
(
)
(
)
(
1
1
2
t
t
t
t
t x
Φ
Φ-
-
=
)
(
)
(
)
(
1
1
2
20
状态转移可以分段进行！
状态转移矩阵
1
-例：已知状态转移矩阵，求(), t A
Φ⎤⎡--=----t
t
t
t e
e e e 222⎥⎦
⎢⎣+-+-----t t t
t e e e
e t 22222)(Φ⎤⎡t
t t
t
22解：性质4
)()(1t t -=-ΦΦ⎥⎦⎢⎣+-+---=t t t
t e e e
e e
e e
e 222222性质2
22222----⎤⎡+-+-t
t
t
t e e e
e )0(ΦA =0
22442=----⎥⎦⎢⎣--=t t
t
t
t e
e e
e ⎡⎥⎦
⎤⎢⎣--=3210
状态转移矩阵
证明：t
e t A Φ=)( []k
t k
e t )()(A Φ=∴t
k e
A =)
(kt e
A =)
(kt Φ=
状态转移矩阵
3、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设，即A 为对角阵且具有互异元素diag λλλ =A
时，有
]
,
,[2,1n g 1t
λ⎡⎤20()t
e e
t λ⎢⎥⎢
⎥Φ=0
n t e λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
状态转移矩阵
为对角阵时即
（2）若A 能通过非奇异变换为对角阵时，即-1
11t -Λ-
P AP =Λ
()()t P t P Pe P
Φ=Φ=10t
e
λ⎡⎤21()t
e
t P P λ-⎢
⎥⎢
⎥Φ=⎢⎥
n t e λ⎢⎥⎣⎦
状态转移矩阵
λ01
（3）设A 为约旦阵，即n n ⨯⎥⎥⎥⎢⎢⎢=λ1 A ⎥
⎦⎢⎣
λt t
-⎡
2
1
12(1)!n t n ⎤⎢⎥-⎢⎥ 则有
201()(2)!n t t
t t e n λ-⎢⎥⎢⎥Φ=-⎢⎥ 000t ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
000
1⎢⎥⎣
⎦
状态转移矩阵
4、状态转移矩阵的计算
状态转移矩阵的计算
▪直接求解法：根据定义
▪标准型法求解：对角线标准型和约当标准型法求解
▪拉氏反变换法
状态转移矩阵
1⎡A 例1：已知矩阵000A ⎤
=⎢⎥
⎣⎦
.
At
e 试计算状态转移矩阵解:
根据定义
2211()2!
!At
k k
t e I At A t A t k Φ==+++++
2
01010000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
3
00n
A A ⎡⎤
⇒===⎢⎥
0000
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
00⎣⎦
10011t A ⎡⎤⎤()010001At
t e I At t ⎡⎡⎤
∴Φ==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
状态转移矩阵
011-⎡例2：已知矩阵
6116A ⎤⎢⎥=--⎢⎥--6115⎢⎥⎣⎦
.At
e 试计算状态转移矩阵解:
1) 特征值
11
λ
--=-=+++=()()()611
612306
11
5
I A λλλλλλ+-1231,2,3
λλλ=-=-=-
状态转移矩阵
2)计算2) 计算
特征向量：111⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎢1230,2,6149p p p =⎢⎥⎥
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3) 构造变换阵P ：
11⎡⎤
532⎡⎤
-⎥1026P ⎢⎥=⎢⎥-1
2343P ⎢⎢⎥=--⎢⎥
149⎢⎥⎣⎦
3
112⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
状态转移矩阵
⎡⎤则有：
2-1t At
t
e e P e
P --⎢⎥=⎢
⎥3t e -⎢⎥⎣
⎦
232323533342322
t t t t t
t t
t
t
e e e e e e e e e ---------⎡⎤
-+-+-+-⎢⎥
32323668966527t t t t t t
e e e e e e ---------------⎢⎥=-+-+-⎢⎥
⎢⎥+
232323312916212922
t
t t
t t
t t t t
e e e e e e e e e --+-+-⎢⎥
⎣
⎦
状态转移矩阵
065-⎡⎤例3
已知矩阵
102A ⎢⎥=⎢⎥324⎢⎥⎣⎦
.At
e 试计算状态转移矩阵解:
1) 特征值
15
6
=-
-
-=-λ
A 2
,132,1==λλ0
4
232---λλλI
状态转移矩阵
2)计算特征向量和广义特征向量。

)计算特征向量和广义特征向量
11⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡1232322,,1749p p p ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥2546749⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦
：
112⎡
⎤⎢⎥得262-⎡⎤3221,749P ⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥1
72814112P -⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
546-27
49
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
状态转移矩阵
3)计算状态转移矩阵：
11At P APt e Pe P
--=⎡
⎤112026
522t
t
e te ⎢⎥⎡⎤-⎡⎤⎢⎥23100728174900
4111t t e e ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--54627
49
⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦---⎣⎦
222222973222822272t
t
t
t
t t
t t t
t t t t t t
t t t e te e
e te e
e te e ⎡⎤+-+---+⎢⎥=----++-22243410121132-858222022352t t t t
t
t
t t t e te e e te e e te e e te e e te e
e te e +⎢⎥⎢⎥-+--++-⎣
⎦
状态转移矩阵
•用拉氏变换法求解：
齐次状态方程：()()x
t Ax t = 初始状态为：0()|(0)
t x t x ==两边取拉氏变换得：()(0)()sX s X AX s -=1
()()(0)
X s sI A X -=-整理得：
拉氏反变换得：
⇔
1
1
--⎡-()()t L sI A ⎤∴Φ=⎣⎦
状态转移矩阵
拉变换法算状态转移矩阵⎡例用拉氏反变换法计算状态转移矩阵：0123A ⎤
=⎢⎥
--⎣⎦
()123s sI A s -⎡⎤
-=⎢⎥
+⎣⎦
解：()
1
311
232s sI A s s s -+⎡⎤-=⎢⎥-++()⎣⎦
31
s +⎡
⎤⎢⎥()()()()12122s s s s s
++++⎢⎥=⎢⎥-⎢
⎥
()()
()()1212s s s s ++++⎣⎦
状态转移矩阵
2111⎡则有：
1
1212
At s s s s e L -⎤--⎢⎥++++=⎢
⎥
22121212s s s s ⎢⎥-+-+
⎢⎥
+
+++⎣⎦
222t
t
t
t
e e e e
----⎡⎤--=22222t t t t e e
e e ----⎢⎥-+-+⎣⎦
线性定常系统非齐次状态方程的解
x
()()t Ax t =()Bu t +X 取拉氏变换
()(0)()()sX s x AX s BU s -=+I ()()(0)()
sI A X s x BU s ⇒-=+11
--=-+-拉氏反变换
()()(0)()()
X s sI A x sI A BU s ⇒
线性定常系统非齐次状态方程的解
At
e
拉氏变换卷积定理
[]τ
ττd f t f s F s F L t
)()()()(20
1211
⎰-=-1
1
()
00
()()()()()t
t
A t L sI A BU s e Bu d t Bu d ττττττ
---⎡⎤∴-==Φ-⎣⎦⎰⎰
线性定常系统非齐次状态方程的解
010⎡例：已知系统状态方程中
,231A B ⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
试求解该系统的单位阶跃输入下的解。

解：拉氏变换法
1
31
1212s s s s s I -+⎡
⎤⎢⎥++++()()()()()21212sI
A s
s s s s ⎢⎥-=⎢⎥-⎢
⎥
++++()()
()()⎣⎦
221
1
2t
t
t t
e e
e e
sI ------⎡⎤
--⎡()22()22t t
t t t L A e e e e ----⎤Φ=-=⎢
⎥⎣
⎦-+-+⎣⎦
线性定常系统非齐次状态方程的解
⎡
⎤()()()()()1
31
121201()21s s s s s sI A BU s s s -+⎢⎥++++⎡⎤⎢
⎥-=⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()1(1)21s s s ⎡⎤
⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥()()()()1212s s s s ⎢
⎥++++⎣⎦()(1)2s s ⎢⎥
++⎣⎦
211t t --⎡⎤-()112()22t t e e L sI A BU s e e ----++⎢⎥⎡⎤-=⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
⎢⎥=+22()22(0)22t t
t t x t x e e
e e ----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+
线性离散系统的状态空间表达式
线性离散系统的状态空间表达式在形式上与连续•
线性离散系统的状态空间表达式．在形式上与连续系统完全类似。

线性离散系统的状态空间表达式为：
⎧+=+)()()()(])1[(kT u kT H kT x kT G T k x ⎩⎨
+=)
()()()()(kT u kT D kT x kT C kT y
⎨
⎧+=+=+)()()()()1(k u k D k x k C k k u k H k x k G k x ⎩)
()()()()(y
线性离散系统的状态空间表达式
=+⎧(1)()()()()()()()()()
x k G k x k H k u k y k C k x k D k u k +⎨
=+⎩式中x (k )——系统的n 维状态向量
u k ——r 维输入向量（控制向量）()系统的维输向控制向y (k )——系统的m 维输出向量
G (k )——n ×n 线性离散系统的系统矩阵H (k )——n ×r 线性离散系统的控制矩阵C (k )——m ×n 线性离散系统的输出矩阵D k ——m ×r ()线性离散系统的直联矩阵
线性离散系统的状态空间表达式
k G k ⎧(1)()()()()()()()()()
x x k H k u k y k C k x k D k u k +=+⎨
=+⎩D (k )
单位
()
y k (1)
x k +()x k C (k )
延迟H (k )
()
u k G (k )
线性离散系统的状态空间表达式
•如果是线性定常离散系统，则其状态空间表达式为：如果是线性定常离散系统则其状态空间表达式为
=+⎧(1)()()
()()()
x k Gx k Hu k y k Cx k Du k +⎨
=+⎩在经典控制理论中，离散系统的数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类它们与离散系统状态空间表达式之间的变脉冲传递函数两类，它们与离散系统状态空间表达式之间的变换，以及由离散系统状态空间表达式求脉冲传递函数阵等和连续系统分析极为相似
续系统分析极为相似。

线性离散系统的状态空间表达式
•11()(1)(1)()()
n n n y k n a y k n a y k a y k b u k -+++-++++= 给定差分方程
选择状态变量
得到状态空间表达式
1()()x k y k =+12(1)(1)()x k y k x k +=+=23()(1)()(2)
x k y k x k y k ==+2334(1)(2)()(1)(3)()x k y k x k x k y k x k +=+=+=+=()(1)
x k y k n =+-
(1)(1)()
x k y k n x k -+=+-=
n 1n n (1)()
n x k y k n +=+1121()(1)()()
n n n n a x k a x k a x k b u k -=--+-+
线性离散系统的状态空间表达式
2
()21
Y z z z ++=例：已知线性定常离散系统的脉冲传递函数为：
2
()()56
G z U z z z =++试求其状态空间表达式试求其状态空间表达式。

解：
整理脉冲传递函数
2
2135
z z z ++--22
()15656
G z z z z z ==+++++
线性离散系统的状态空间表达式
2
22
2135
()15z z z G z ++--==+ •能控标准型
566
z z z z ++++0101)1x k x k u k ⎧⎡⎤⎡⎤+=+()()()
65
⎪⎢⎥⎢⎥--⎪=--[]()53()()
y k x k u k +⎩
线性离散系统的状态空间表达式
对角线标准型
351411z G z --=+=+- 2()5623z z z z ++++⎧-201(1)()()031x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎨[]()14()()y k x k u k ⎪=-+⎩
•由状态空间表达式求取脉冲传递函数
1--+()()G z C zI G H D =
连续系统的离散化•连续系统离散化的基本概念
▪线性连续系统状态方程的数值求解
▪线性连续系统的计算机控制
▪→
矩阵微分方程矩阵差分方程
连续系统的离散化
•连续系统离散化的方法
离散化之前的假设：
（1）离散化按等采样周期T采样处理采样脉冲为理想采（1）离散化按等采样周期T采样处理，采样脉冲为理想采样脉冲，采样时刻为：
)
....)3,2,1(,=k kT （2）输入向量u (t )只在采样时可发生变化，在相邻两采样时刻之间的数值通过零阶保持器保持不变即
T k t kT k u t u )1()()(+≤≤==常数，样时刻之间的数值通过零阶保持器保持不变，即：
（3）采样周期的选择满足香农（Shannon）采样定理。

连续系统的离散化
•连续系统离散化的方法
设线性定常连续系统的状态方程为：
()()()x t Ax t Bu t =+ t t A t t A --0)()(τ其解：dt
Bu e t x e t x t ⎰+=0)()()(0τ其当考虑在两相邻采样时刻t =kT 和t =(k +1)T 之间状态方程的解时，初始时刻t 0=kT ,其输入向量u (t )=u (kT ),则状态方程的解为：dt Bu e kT x e t x t kT
t A kT t A )()()()()(+=⎰--ττT k t kT )1(+≤≤
连续系统的离散化
•考虑采样时刻的状态，令t =(k +1)T ,得：
连续系统离散化的方法
τ
ττd Bu e kT x e T k x T k kT T k A AT ⎰
+-++=+)1(])1[()()(])1[(对上式进行变量替换令)
()()1(])1[(kT u d B e kT x e T
k kT T k A AT ⋅+=⎰+-+ττH(T)G(T)对上式进行变量替换，令
t =(k +1)T -τ[(1)]()()T AT At x k T e x kT e Bdt u kT +=+⋅()
0⎰1)]()()()()x k T G T x kT H T u kT +=+[()
连续系统的离散化
•连续系统离散化的方法
由于输出方程是一个线性方程，在采样时刻kT，系统的离散输出y(kT)离散状态x(kT)和离散输入u(kT)之间仍保持原来的线性关系。

因此,离散化前后的矩阵C和D均不改变.离散化后的系统输出方程为:所以状态空间表达式为()()()
y kT Cx kT Du kT =+所以，状态空间表达式为：
⎧(1)()()()()()()()x k G T x k H
T u
k y k Cx k Du k +=+⎨=+⎩
连续系统的离散化
•例题分析
11()()010x t x t u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢ 线性定常系统状态方程为:
22()()011x t x t ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 试求离散化状态方程解：首先求G(T)和H(T)试求离散化状态方程。

⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎨⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=------t t At e e s s L A sI L e 011101])[(1111⎭
⎩⎥⎤⎢⎡-==--T T AT e e T G 11)(⎦⎣e 0
连续系统的离散化00011()10
t T T At t e H T e Bdt dt e --⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎰⎰⎣⎦⎣⎦⎤⎡+--⎤⎡---11T T
t T e e ⎥⎦
⎢⎣+-=⎥⎦⎢⎣=--⎰10T t e dt e 离散化状态方程为：
1)(11)1(11T e k x e
k x T T ⎤⎡+--⎤⎡⎤⎡-⎤⎡+--)(1)(0)1(22k u e k x e k x T T ⎥⎦⎢⎣+-+⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣=⎥⎦⎢⎣+--
线性离散系统状态方程的解
•迭代法求解：
(1)(0)(0)k x Gx Hu ==+1(2)(1)(1)k x Gx Hu ==+2 (0)(0)(1)
G x GHu Hu =++322(3)(2)(2)
(0)(0)(1)(2)k x Gx Hu G x G Hu GHu Hu ==+=+++111()(0)()k k
k i k k x k G x G Hu i ---=-=+∑
1i =
线性离散系统状态方程的解
•迭代法求解：
1
1(0)k k k i x k G x G Hu i ---=+
1()()()
i =∑=+自由分量强制分量自分制分
第k 个采样时刻的状态只与前k ‐1个采样时刻的输入值有关，个采样时刻的输入值无关
而与第k 个采样时刻的输入值无关。

()k k G Φ=离散系统的状态转移矩阵。