地震波动方程

第三章地震波动方程
现在,我们用前一章提出得应力与应变理论来建立与解在均匀全空间里弹性
波传播得地震波动方程。

这章涉及矢量运算与复数,附录2对一些数学问题进行了复习。

3、1 运动方程(Equation of Motion)
前一章考虑了在静力平衡与不随时间变化情况下得应力、应变与位移场。

然而,因为地震波动就是速度与加速度随时间变化得现象,因此,我们必须考虑动力
学效应,为此,我们把牛顿定律用于连续介质。

3、1、1一维空间之振动方程式
质点面上由于应力差得存在而使质点产生振动。

如图13所示,考虑一薄棒向x轴延伸,其位移量为u:
Fig31
则其作用力为“应力”X“其所在得质点面积”,所以其两边得作用力差为
惯量﹙inertia﹚为
所以得出
……………………………………………………、、、(31)
其中ρ为密度﹙density﹚,σ为应力﹙stress﹚=。

31式表示,物体因介质中得应力梯度﹙stress gradient﹚而得到加速度。

如果ρ与E为常数,则31式可写为
(32)
其中
运用分离变量法求解(32)式,设u=F(x)T(t),(32)式可以变为
设
则可得:
考虑欧拉公式:
(33)
其中A,B,C,D为根据初始条件与边界条件确定得常数。

考虑到可正可负,方程式得解具有得形式,其中f及g为波得函数,以c得波行速度向+x 与x方向传递。

我们可以采用如下程序模拟地震波得传播。

平面波在均匀介质里沿方向传播,剪切波得齐次微分方程可表达为:
这里就是位移。

对100公里得波长与假定得情况,我们写出用有限差分法解这方程得计算机程序。

用长度间距,时间间距秒。

假定在(50公里)震源时间函数得形式为:
0＜＜5秒
用(0公里)得应力自由边界条件与(100公里)得固定边界条件。

用有限差分图解来近似二次导数:
以4秒得间隔画出133秒得图。

M = moviein(101);
dx=1;dt=0、1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间,beta为波传播得速度
u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;
%u1为前一个时刻得各点得位移,u2为当前时刻得位移,u3为下一个时刻得位移值,开始均假定为零
t=0;
jj=0;
while (t<=33) %模拟得最长时间为33秒
for ii=2:100
rhs=beta^2*(u2(ii+1)2*u2(ii)+u2(ii1))/dx^2; %方程得解
u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)u1(ii); %对时间求导数
end
%左边为自由边界条件,右边为固定边界条件
u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件
u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件
%左右两边为自由边界条件
% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件
% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件
%左右两边为固定边界条件
% u3(1)=0、0; %左边为固定边界条件
% u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件
if(t<=tlen)
u3(51)=(sin(pi*t/tlen))、^2; %地震震源时间函数
end
for ii=1:101
u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻得更新
end
plot(u2); %绘制目前得波形图
ylim([1、2 1、2]);
M(:,jj+1) = getframe; %获得当前得图像
t=t+dt; %时间延长
end
movie(M) %演示波形传播
3、1、2三维空间之振动方程式
推导三维空间之振动方程式得过程,与上节中所采用得一维空间讨论方式类似,如图32所表示,先探讨在x方向之位移量u:
Fig32
在yz面上得作用力差为:
在xz面上得作用力差为:
在xy面上得作用力差为:
惯量为:
得出
…………………………………、、﹙34﹚其中σxx、σyx及σzx分別为stress tensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚,yx﹙y面方向、x 力方向﹚及zx﹙z面方向、x力方向﹚方向得分量。

注意,在本讲义中有关stress tensor得两个下标﹙indexes﹚之定义,依序为面得方向与力得方向。

将σxx、σyx及σzx与其对应得应变之关系代入34式可推导得出三维空间之振动方程式如下:
…………………………………、﹙35a﹚其中λ及μ为常数,而为Laplacian operator,代表。

以相同得方法,可以得出在y及z方向得振动方程式,若其位移量分別为v与w,则其相对应之振动方程式可分別表示如下:
………、、…………………………﹙35b﹚
…………………………………、﹙35c﹚若以向量形式来统一表示35a、b、c式,可改写如下:
…………………………、、、﹙36﹚其中为位移向量,在x、y与z方向得位移分量分別为u、v与w。

其中为体力,只有在研究震源时,才考虑该体力。

这就是构成许多地震学理论基础得基本方程,称之为连续介质方程或运动方程。

体力通常包括重力项与震源项。

在正常模型地震学中,重力项就是频率很低时得一个重要因子,但对所观测到得典型波长范围,即在体波与面波得计算中,通常可被忽略。

在这本书后面我们将考虑震源项。

在没有体力得情况下,有齐次运动方程:
(37)
在场论中考虑到:
(3、8) 将其变为更常用得形式,即:
(3、8) 将这个式子代入(3、12)得到:
上式决定了在震源区以外,地震波得传播。

解真实地球模型得上述方程就是地震学得重要部分,这样得解给出了离震源某一距离得特定地点预期得地面运动,通常称为合成地震图。

3、1、3体波﹙纵波与橫波﹚之振动方程式
首先,我们考虑由介质伸缩所衍生得质点体积应变之振动方程式。

从上节所描述得单一方向﹙x、y、z﹚上之位移量﹙u、v、w﹚所导出得振动方程式,可以进一步地推求体积应变所引发得振动方程式,由得基本定义可以很自然得联想到分別将34a、34b以及34c三式分別对x、y与z微分之后再相加,忽略体力,即可得到下式:
(37)
另外,考虑剪切应变可能产生得振动方程式。

若将35c式对y微分、35b式对z微分,然后相減,忽略体力可得到下式:
……………………………、﹙37﹚
其中括弧內得项就就是质点运动绕x轴得扭转角度。

Fig33
y
参考图33,一个质点P﹙y、z﹚向逆时针方向扭转到P’﹙y、z﹚,扭转角度为ωx,若其扭转半径为r,根据几何关系可得到:
,
其位移形变为
将其分別对y及z微分且相加,得出
同理得到与,所以质点扭转得运动方程式可写为:
(38)
36式与38式可用通式描述如下:
……………………………………………………、﹙39﹚
其为典型之波动方程式。

根据
对38式而言,,可得出…………、﹙310﹚
对36式而言,,可得出………………、﹙311﹚
310可视为纵波﹙亦称为P波﹚,因其质点运动方向与波得传播方向相同﹙如图34﹚。

质点运动方向波传方向
Fig34
124视为橫波﹙亦称为S波﹚,因ω为扭转应变,其质点得转动方向与波得传播方向成正交。

S波依其质点振动方向得不同可分为SV及SH,如图35所示。

波传方向
Fig35
综合以上所得,在完全弹性介质中,当其受外力作用时,产生两种波相:纵波与橫波。

由前节所述之各弹性系数得关系,我们可将310式以及311式写为:
; ﹙﹚其她弹性系数与速度得关系如下:
………………………………………………、﹙312﹚
(313)
(314)
(315)
其中313式可化为
……………………………………………、、、﹙316﹚在地函內部,大部分得泊松比σ接近于1/4。

若σ=1/4,则
,
而且
若σ=1/2,即介质为纯液体,则
、及皆为零
地震所产生之弹性波,穿过地球內部,藉由弹性波传播所产生得速度变化,参考弹性理论以及弹性系数关系,我们可以探索地球內部得情況。

3、1、4 地震波得势
位移往往可以根据P波得标量势与S波得矢量:
(3、25)
那么有:
(3、26) 将其代入,得到:
:
(3、27)
将(3、27)代入
可得:
(3、29) P波得解由得标量波动方程给出,S波得解由得矢量波动方程给出。

3.3平面波
式(3、28)与(3、29)具有相同得形式,它们在直角坐标系可以表示为:
我们用分离变量法来寻找形式得解。

每个因子就是仅仅一个变量得函数。

由上式可得:
这意味着就是常数,令其为可得:
同理,对于某常数,有
应注意,,因此解可由三个量,而不就是四个量来表示。

类似于
一维形式得推导。

该方程可以有如下形式得通解:
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=c z n y n x n t f c z n y n x n t f t z y x f z y x z y x 21,,, 其中,,令
下面我们瞧瞧得物理意义。

令
当t=t1时, 当t=t2时,
由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为得平面,第二式为离原点距离为得平面,并且两平面得法线方向都为。

因此两平面之间得距离为,为波从t 1时刻传播到t 2时刻所传播得距离,传播得速度恰为c,这也就是为什么我们在波动方程中将其称之为速度得原因。

类似地,表示以速度c 向n 方向传播得平面波。

任意函数都可以写成简谐平面波叠加得形式
根据Fourier 叠加原理,可以把屋里上实际存在得平面波动,以数学形式分解成抽象得、覆盖整个频率范围得平面波得积分来表示:
实际问题不考虑。

因此通常取为方程得基本解。

而为波传播得方向,由于c 为波得传播速度,通常称为慢度矢量。

对不同得做Fourier 叠加即可得到任意函数形式得平面波。

引进平面波得概念很有帮助。

平面波就是一个位移只在波得传播方向上变化,在与波传播方向相互垂直得方向上,位移为常数得波动方程得解。

例如,沿轴传播得波,位移可表达为:
(3、30)
这里就是波得速度,就是任意函数(矢量函数需表达出波得偏振),这波沿方向传播。

位移不随变化。

在方向上,波无限扩展。

如果就是离散得脉冲,那么假定有以平面波阵面传播得位移脉冲形式。

更普遍地说,在位置矢量处,平面波在单位矢量方向传播得位移可表达为:
(3、31)
(3、32)
这里就是慢度矢量,它得值就是速度得倒数。

由于地震能量通常由局部得震源辐射出来,地震波阵面总有某种程度得弯曲。

然而,在离震源足够大得距离,波阵面平坦到足以使平面波得近似在局部上就是正确得。

因此,许多解地震波动方程得方法总就是把整个解表达为不同传播角度得平面波得与。

往往通过变换到频率域,从方程中去掉与时间得依赖关系。

在这种情况下,可以把特定角频率得位移表达为:
(3、33)
(3、34) 这里叫做波数矢量。

在这本书中,我们将用复数来表示谐波。

其详细情况在附录
2中作了复习。

把谐波称为单色得平面波,有时也把它叫做调与得或稳态平面波
解。

用来描述这样得波得其她参数就是波数,频率
,周期与波长。

波数为单位长度内波得震动次数。

在波得传播过程中,某一振动状态(周相)在单位时间内传播得距离为波速c,因此波速又叫做相速。

应注意介质中各质点得振动速度与波得传播速度c就是两个完全不同得概念。

振动速度由震源确定,它就是周期性变化得,而波速得大小只与介质性质有关。

将不同得谐波参数归纳于表3、1。

表3、1谐波参数
角频率
频率
周期
速度
波长
波数
3、4 P波与S波得偏振
考虑沿方向传播得P波,根据(3、28)式有:
(3、35)
可以把(3、35)式得解写成:
(3、36)
这里减号相应于沿方向传播,加号相应于沿方向传播。

因为,故有:
(3、37)
注意对沿方向传播得平面波,在与方向没有变化,所以空间导数与为零。

对P波仅在沿轴波得传播方向上有位移。

这样得波叫做纵波。

而且因为,运动就是不旋转得,或“无旋”得。

由于P波使介质体积发生变化,所以P波也叫“压缩”波或“膨胀”波。

然而,要注意得就是P波包括剪切与压缩, 这就是为什么P波速度对体积模量与剪切模量反应都灵敏得原因。

实际得P波谐振运动可以用图3、2来说明。

图3、2 沿页面水平传播得谐振平面P波(上面)与S波(下面)得位移。

S波纯剪切,没有体积变化。

而P波包括材料体积得变化与剪切
(形状变化)。

相对于地球实际得应变,这里应变被放大。

现在考虑沿正方向传播得S波,矢量势为:
(3、38) 位移为:
(3、39)
这里我们再用,即给出:
(3、40) 运动在与方向,垂直于传播方向。

S波得实际运动往往可以分成两个分量:在含传播矢量得垂直面里得运动(波)与取向与这个面垂直得水平运动(SH波)。

因为,运动就是纯剪切得,没有任何得体积变化(因此叫做剪切波)。

在垂直方向偏振得剪切谐波(波)得质点运动如图3、2所示。

3、5 球面波
如果我们假定球对称,P波势中得标量波动方程(3、28)就可能有另外得解。

在球坐标系里,拉普拉斯方程为:
(3、41) 因为球对称,这里去掉角得偏导数,由表达式(3、28),即得到:
(3、42)
在点以外,方程得解可表达为:
(3、43) 注意到除了因子外,这与平面波方程(3、30)就是相同得。

分别用+与号表示向
内与向外传播得波。

因为这个表达式通常用来模拟从点源辐射得波,所以在正常情况下,项表示波得振幅随距离衰减得几何扩散因子,在第6章将进一步得探
讨。

在时,(3、43)不就是方程(3、42)得正确得解。

然而,这表明(例如Aki与
Richards,4、1节),(3、43)可能就是以下非齐次方程得解:
(3、44) 这里函数在以外得任何地方都为零,它得体积积分为1。

因子表示在震源时间函数。

在第9章讨论震源理论时,我们将回到这个方程上来。

平面波得反射与折射
地壳及地球内部就是成层结构,内部有不少分界面。

地表也可瞧作一个界面,震源在各向同性得均匀介质中产生得地震波波阵面就是成球形得一层一层向外传播,称为球面波。

因此,严格来讲,我们应该讨论球面波遇到分界面时得情况。

但当距离震源足够远时,也就就是说震源到接收点得距离比波长大得多时,作为一种近似,可讨论平面波在分界面上得行为。

同时当(为分界面得曲率半径),也可以将分界面瞧作平面,这样可使讨论大大简化而不影响对许多现象本质得揭示。

同时,球面波在理论上可以瞧作就是许多不同方向得均匀或不均匀得平面波得叠加,因而先弄清了平面波在分界面上得行为,也比较容易讨论球面波在分界面得行为。

P波、SV波
设平面波(指均匀得平面波)得传播方向在xz平面内,传播方向就就是波阵面得法线方向,波得位移场可以表示为:
(1)
其中满足压缩波得波动方程,满足剪切波得波动方程、
由于均匀平面波波阵面上得为常数,而这里平面波传播方向在xz平面内,因此垂直于xz平面得直线上得各点必在同一波阵面内,也就就是:。

P波产生得位移为:
P波产生得应力为
()()()
02222222222222=∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂=+=z v y w z v e z x x w z u e z z x z w z w x u e zy p
zy zx p
zx zz p zz μμμσϕμ
μμσϕμϕϕλμλμθλσ
SV 波得位移
SV 波产生得应力为:
将上面两式代入(1)式得:
分析界面条件,界面应力为:
z v y w z v e z x z x x w z u e z x z z w z w x u e zy zy y y zx zx y zz zz ∂∂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂==⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂∂=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∇=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=+=μμμσφφϕμμμσφϕμϕλμλμθλσ22222222222222
界面条件为界面两边应力相等,位移连续,即:
分析位移场在y 方向得分量,也就就是v 全部为横波场得分量。

再由界面应力条件瞧,v 只出现得表达式中,而u,w 只出现在得表达式中。

因此,SH 波与PSV 波产生得波场就是分离得。

地球表面就是一个特殊得分界面,它将无限介质划分为两个半空间,地面以上空气介质,其密度与地面以下得岩石或海平面以下得海水层相比可以忽略。

地球表面可以瞧成就是一个弹性半空间表面,表面下面视为理想弹性介质,表面上面为空气,这种界面称为自由界面,自由界面上得应力作用为零。

本节中将介绍弹性波在自由表面上得反射。

P 波在自由界面得反射
如图所示,取xoy 平面为自由表面,设有一P 波自下部介质入射到自由表面上,由于自由表面以上不存在介质,所以当波遇到自由表面时,只可能折回到原来得介质,而不会透过它,即只存在反射被而不存在透射波。

当P 波入射到自由表面上时,为满足自由表面处得边界条件,反射波中会同时产生P 波与SV 波两种成分,此时,SV 波称为转换波。

但就是,由于SH 波得振动方向与P 被与SV 波得振动方向就是相互独立得,所以反射波中不会产生SH 波。

设入射P 波为平面简谐波,入射面为xOz 平面,法线为z 轴,入射P 波得入射角为,反射SV 波得反射角为,由图中各波得传播方向与坐标轴方向得关系,它们得波函数可以写为:
这里只考虑分量,这就是由于只有产生xoz 平面得振动。

式中,
由边界条件可知,在z=0处,方程为得线性组合(其中由于z=0,指数因子中得z 因子
全为零)。

所以必有,因此必有:
这就就是Snell 定律,回忆一下几何光学,可见上式与几何光学中得折射定律与反射定律完全一致,这就是由于它们在本质上(波动性)有相同之处。

而折射反射定律正就是反映了物质得波动相关得一种规律。

在光学中就是从光学实验或惠更斯原理得到了折射反射定律,而这里我们从波动方程与边界条件出发也得到了它。

我们在以后得推导中令上式为常数p 。

则波函数可以写为:
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+-===z i px t i y z i px t i z i px t i s s s Be
e
A e
A βωαωαωφϕϕcos cos 22cos 11,,
则:P 波产生得位移为:
P 波产生得应力为
()()
2
222
2222
222
2
2
22222222
2222
22
22
2
22222222221sin 2sin 22sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos 2cos 2p i i i i i i i i i i i p z z x d d d d d d d d
d d d p
zz βϕρωαμρϕωαμμλϕωαμμμλϕωαμαλϕωαμααλϕωϕαμωϕαωωλϕμϕϕλσ--=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=
()z p i z p i z x x w z u e zx p
zx ∂∂-=∂∂-=∂∂∂=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂==ϕωρβϕωμϕμ
μμσ222222 SV 波得位移
SV 波产生得应力为:
()()()
y y s y s y y zx sv zx y
y y zz sv zz p p i p i x z x w z u e z
p i z p i z x z w
e φβρωφρμρβμρωφρμρβμρωφφμμμσφωρβφωμφμμμθλσ2
2222222222
22222221sin 1cos 222222-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂-=∂∂-=∂∂∂=∂∂=+= 根据边界条件,可得:
对于正应力:
()()()()0221|2212220=∂∂-+--=+==z
p i p y sv zz p zz z zz φωρβϕϕωβρσσσ
对于剪应力:
()()()
0212|2
222120=-+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=+==y sv zx p zx z zx p z z
p i φωβρϕϕωρβσσσ 将入射波反射波得势得表达式代入可得:
由第二个式子可得:,代入第一式得到折射系数:
反射系数为:
由于、,代入上面得式子可得到:
位移位得振幅并不表示质点得振幅,不具有实际物理意义,下面讨论作为位移振幅比得反射系数。

对于稳态传播得P波,位移振幅为:;对于稳态传播得S波振幅为:。

我们可以举例说明上面得式子成立,如对于上面所表示得入射波:
其合成振幅为:
对于上面提到得SV波:
其合成振幅为:
由此可知,入射P波在做自由界面上得反射P波位移反射系数与势反射系数相同,而反射SV波得反射系数为势反射系数得倍,即
假定SV波入射到自由表面上,其势振幅为A,入射角为,反射SV波得势振幅为B,由反射定律可知其反射角为,反射P波得势振幅为C,反射角为,则根据前面P 波与SV波产生得势得定义式与表面应力条件可得:
从而得到:
由第一个式子可得:,代入第二式得到折射系数:
将其带入上面得式子得
由于、,代入上面得式子可得到:
考虑势振幅与位移振幅之间得关系,可得
SH波在自由界面上得反射
设入射SH波得位移为:
反射SH波位移分别表示为:
边条件为:
将其简化为:,即在自由表面SH波得反射系数为1、
从前面得讨论可以瞧出,当一列P波入射到自由表面时,会产生一列反射P波与一列反射SV波;同样,如果一列SV波向自由表面入射,会产生一列反射SV波与一列反射P波。

或者说,在一般反射问题中半空间内至少存在三列简谐平面波(纯SH波仅反射SH波)。

如果我们令式中得分子为零,则转换波得振幅为零,半空间中只存在一列反射波。

即P波入射只反射SV波,SV波只反射P波,这种现象称为偏振交换。

自由界面上得位移,视出射角
地面测量得到得就是地面得实际位移,也就就是自由表面得位移。

入射波射到自由表面后由于产生了反射波,因而自由表面上得位移并不等于入射波得位移,这就是十分重要得。

对于P波我们称自由表面位移向量与界面法线得夹角为视入射角。

称自由表面上得位移向量与地面之间得夹角为视出射角。

当P波入射时,有
将P 波入射反射为P 波与SV 波得势函数,并采用反射系数可得
()
()()
s
s s d s d y y
p i i i p p i p p p i i p x z z z x x i 2tan 2cos 2sin 221cos 212212cos cos 4tan 222222222222121==+---+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-
∂∂+∂∂=ββαβββαβρβφϕϕφϕϕ因此,由地震记录可得到P 波入射到地面后地面位移得北南、东西与垂直分量,求
北南、东西分量得平方与再开方得到地面得水平分量,而水平分量与垂直分量得比值就就是 ,得一半即为SV 波得反射角,根据折射定律即可求得,即真入射角:
或:
当SV 波入射到自由表面时,其真入射角为,,仿效这个式子,我们定义这种情况下得视入射角为,则
在推导时应注意。

当SH 波入射到自由表面时,根据前面得推导,反射系数为1、我们同样可设入射SH 波得位移为:
总得位移为
在z=0得面上即得到()()()t i i x i t i i x i t i i x i s s s He
e e H S S v ωβ
ω
ωβωωβω---=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=+=sin sin sin 212 即自由表面得位移为入射SH 波位移得2倍。

全反射
当入射波为SV 波时,由折射定律有:
由于,因此反射P 波得反射角大于入射SV 波得入射角,当入射角满足 时,反射P 波得反射角为90o 。

当时,,根据有关复数得知识,这时必为复数,且有
γ
γγπγπγπγγγπγπγπγγπ
sinh cos sin 2sin cos 2cos 2cos cos h os c cos sin 2cos cos 2sin 2sin sin ,
0,2
i i i i i i i i i i i i i p p p ==+=⎪⎭
⎫
⎝⎛-===-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=>-=
这里为双曲函数,并采用了欧拉公式得推论:。

得数值由确定。

则代入波得势函数可得反射P
波得势函数为:
易见这时反射P 波为不均匀波,它得振幅随z 得增大而按指数衰减,此不均匀波就是沿x 轴,也就就是沿界面传播得,传播得相速度为。

练习:
3、1 当波长用以下参数表示时:波数,速度,频率,时间,不就是以上任一个,给出与角频率得关系。

3、2 考虑在均匀介质里沿方向传播得两类单色平面波:波,对波,在方向有位移得波,即。

对每种情况,导出应力张量得非零分量得表达式。

借助于(2、12)得到应变张量得分量,然后用(2、24)得到应力分量。

3、3 假定谐振得波以在固体里传播。

如果最大得应变就是,那么周期为1秒,10秒,100秒得质点最大位移就是多少？
解:根据,则应变为()()()kx t kx t Tc
A
kx t kA xx -=-=-=-ωωπωεcos 10cos 2cos 8 因此,
由此可以计算各个频率得最大位移A 。

3、4 离开点源传播得S 波可能球对称吗？在什么条件下,爆炸会产生S 波？ 3、5 说明(3、43)满足(3、42)。

22
221'1'111ααααααφr f r f f f r f f r f r r r r ''=''⎪⎭⎫
⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-⎪⎭⎫ ⎝⎛±+''⎪⎭
⎫ ⎝⎛±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫
⎝⎛±∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂
因此,(3、43)满足(3、42)
3、6 (计算),平面波在均匀介质里沿方向传播,剪切波得齐次动量方程可表
达为:
这里就是位移。

对100公里得波长与假定得情况,写出用有限差分法解这方程得计算机程序。

用长度间距,时间间距秒。

假定在(50公里)震源时间函数得形式为:
0＜＜5秒
用(0公里)得应力自由边界条件与(100公里)得固定边界条件。

用有限差分图解来近似二次导数:
以4秒得间隔画出133秒得图。

检验一下速度为4公里/秒得脉冲行程。

在每个端点,反射脉冲出现什么情况？当脉冲交叉时,出现什么情况？ 3、3什么就是偏振交换？
3、4试给出P 波入社到自由表面时得反射P 波与反射SV 波得相对振幅公式,并给出各个变量得意义。

3、5试给出SV 波入社到自由表面时得反射P 波与反射SV 波得相对振幅公式,并给出各个变量得意义。

3、6试证明P 波入射到自由表面时视出射角为反射SV 波反射角得2倍。

3、7试证明SH 波入射到自由表面时,自由表面得位移为入射SH 波位移得2倍。

3、8 试证明SH 波入射到自由表面时,反射系数为1、。