位移影响线

13 结构位移影响线得计算及应用

结构力学教科书中对静定结构得得内力与支座反力作法及计算有详尽得叙述,对超静定结构得内力与支座反力影响线得计算也作了简要得介绍,但就是对结构位移影响线得计算却没有提及。本文推导了简支梁与多跨超静定连续梁截面位移与转角影响线得计算公式,并介绍了结构位移影响线在工程中得应用。 1、 简支梁在支座移动与杆端弯矩作用下得位移

简支梁在支座移动、以及杆端弯矩、作用下,距点为处截面得竖向位移由四部分组成(如图13-1所示),即:

(13-1) 式中:、分别为支座移动与产生得位移,、分别为与产生得位移。

在处作用单位力,简支梁得支座反力与弯矩图见图13-,则可得、分别为:

(13-2)

(13-3)

在简支梁、两端分别作用与,梁得弯矩图分别见图13-、,弯矩图13-与图13-进行图乘得,弯矩图13-与图13-进行图乘得,即:

2

2331()2()23()()236A A M x L x L x

L x

x x y x L M EI L L L L L EI --⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=

-+⎢⎥⎣⎦ (13-4) 2341()()()236

B B M x L x L x

L x x y x L M EI L L

L L EI

-+⎡⎤=-⋅⋅⋅⋅=

-+⎢⎥⎣⎦ (13-5) 把式代入式得:

(13-6)

式中:

图 13-1

122223334()1()()23()()()()66x

x

x x L L

L x x x L x x x x L L L L L ϕϕϕϕ=-

=

⎡⎤

⎡⎤

=-+=-+⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦

，，

2、 简支梁任意截面竖向位移得影响线

简支梁在移动荷载作用下,点得挠度为,见图13-。就就是截面竖向位移得影响线。

(1)当作用在之间(即,见图13-)

此时,简支梁得段与图13-所示得简支梁等价,可以很容易算出图中得、、、。点得竖向位移可以用公式计算:

式中:,

把与得具体表达式代入上式得

220

1323

22222

3

23()()

(,)(,)(,)

3()()()(1)2336(1)(1)(1)2336111x L x x L x y x x x x x x EIL EIL

x L x x x x L x L x x x

x x x x EIL L x EIL L x L x L x L x x x x x x x x x x x x EI x x

x ϕϕ*

**********--=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-------=-+-+⎢⎥

⎪ ⎪----⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎛⎫------

⎪=-+-+ ⎪---⎝

⎭31

x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦

(13-7) 式中:

,。

(

2)当作用在之间

(即,见图13-)

图13-3

(a)

(b)

(a) (b)

(c)

图 13-2

此时,简支梁得段与图13-所示得简支梁等价,点得竖向位移仍可以用公式计算:

式中:。

把与得具体表达式代入上式得

(13-8)

式、就就是在单位移动荷载作用下点竖向位移得影响线。从式、还可以求得截面转角得影响线:

*0

*

*

2223223

32223

(,)

()(1)1(1)2()()6303611(1)(1)(1)(1)13136y x x x x x L x x x x x x x x x x EI x x x x L x x x x x x x EI x x θ*****∂=

∂⎧⎡⎤⎡⎤----⎪⎢⎥-+-+≤≤⎢⎥⎪----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦⎪=⎨

⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪--⎢⎥⎢⎥ ⎪+-+≤≤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩

o ，（）（）(13-9)

3、 多跨连续梁任意截面位移得影响线

下面以图13-5所示三跨连续梁为例说明。若要计算跨截面得竖向位移得影响线,首先利用位移法计算杆端弯矩与得影响线。

(1) 当在与段上移动

此时,可以利用公式计算:

(13-10)

图13-

5

(b)

(a)

图13-4

式中: ,

。

(2)当在段上移动

取跨为隔离体,其受力如图13-所示,它可以分解成图13-与图13-两种情况得叠加。其中图13-中截面得竖向位移影响线可由式13-计算,图13-就就是简支梁截面得竖向位移影响线,两者叠加得:

(13-11)

上式中由式、计算。式、就就是多跨连续梁任意截面竖向位移得影响线计算公式。还可以求出任意截面转角得影响线:

**

*

34*3

4*(,)

()()()((1()()(,)((1BC CB P BC CB P y x x x x x M x M x x x F AB CD EI EI

M x M x y x x x x F BC EI EI x θϕϕϕϕ**

**∂=

∂⎧''+=⎪⎪=⎨

∂⎪''++=⎪∂⎩

o ，））（在和段上移动）））（在段上移动）(13-12)

式中: , ,同式。 4、 计算实例

例13-1 求简支梁跨中截面C 竖向位移影响线及转角影响线。 按公式(13-7)(13-8),取或,可得截面得竖向位移影响线及转角影响线: 当或时

23

232

301

111(1)(1)2222(,)(1)232361111C x x x x L L x x x x y x EI x

x x x ⎡⎤

⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣

⎦

(a) (b) (c)

图13-

6