位移影响线

13 结构位移影响线得计算及应用
结构力学教科书中对静定结构得得内力与支座反力作法及计算有详尽得叙述,对超静定结构得内力与支座反力影响线得计算也作了简要得介绍,但就是对结构位移影响线得计算却没有提及。

本文推导了简支梁与多跨超静定连续梁截面位移与转角影响线得计算公式,并介绍了结构位移影响线在工程中得应用。

1、 简支梁在支座移动与杆端弯矩作用下得位移
简支梁在支座移动、以及杆端弯矩、作用下,距点为处截面得竖向位移由四部分组成(如图13-1所示),即:
(13-1) 式中:、分别为支座移动与产生得位移,、分别为与产生得位移。

在处作用单位力,简支梁得支座反力与弯矩图见图13-,则可得、分别为:
(13-2)
(13-3)
在简支梁、两端分别作用与,梁得弯矩图分别见图13-、,弯矩图13-与图13-进行图乘得,弯矩图13-与图13-进行图乘得,即:
2
2331()2()23()()236A A M x L x L x
L x
x x y x L M EI L L L L L EI --⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=
-+⎢⎥⎣⎦ (13-4) 2341()()()236
B B M x L x L x
L x x y x L M EI L L
L L EI
-+⎡⎤=-⋅⋅⋅⋅=
-+⎢⎥⎣⎦ (13-5) 把式代入式得:
(13-6)
式中:
图 13-1
122223334()1()()23()()()()66x
x
x x L L
L x x x L x x x x L L L L L ϕϕϕϕ=-
=
⎡⎤
⎡⎤
=-+=-+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
，，
2、 简支梁任意截面竖向位移得影响线
简支梁在移动荷载作用下,点得挠度为,见图13-。

就就是截面竖向位移得影响线。

(1)当作用在之间(即,见图13-)
此时,简支梁得段与图13-所示得简支梁等价,可以很容易算出图中得、、、。

点得竖向位移可以用公式计算:
式中:,
把与得具体表达式代入上式得
220
1323
22222
3
23()()
(,)(,)(,)
3()()()(1)2336(1)(1)(1)2336111x L x x L x y x x x x x x EIL EIL
x L x x x x L x L x x x
x x x x EIL L x EIL L x L x L x L x x x x x x x x x x x x EI x x
x ϕϕ*
**********--=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-------=-+-+⎢⎥
⎪ ⎪----⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫------
⎪=-+-+ ⎪---⎝
⎭31
x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(13-7) 式中:
,。

(
2)当作用在之间
(即,见图13-)
图13-3
(a)
(b)
(a) (b)
(c)
图 13-2
此时,简支梁得段与图13-所示得简支梁等价,点得竖向位移仍可以用公式计算:
式中:。

把与得具体表达式代入上式得
(13-8)
式、就就是在单位移动荷载作用下点竖向位移得影响线。

从式、还可以求得截面转角得影响线:
*0
*
*
2223223
32223
(,)
()(1)1(1)2()()6303611(1)(1)(1)(1)13136y x x x x x L x x x x x x x x x x EI x x x x L x x x x x x x EI x x θ*****∂=
∂⎧⎡⎤⎡⎤----⎪⎢⎥-+-+≤≤⎢⎥⎪----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎪=⎨
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪--⎢⎥⎢⎥ ⎪+-+≤≤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩
o ，（）（）(13-9)
3、 多跨连续梁任意截面位移得影响线
下面以图13-5所示三跨连续梁为例说明。

若要计算跨截面得竖向位移得影响线,首先利用位移法计算杆端弯矩与得影响线。

(1) 当在与段上移动
此时,可以利用公式计算:
(13-10)
图13-
5
(b)
(a)
图13-4
式中: ,。

(2)当在段上移动
取跨为隔离体,其受力如图13-所示,它可以分解成图13-与图13-两种情况得叠加。

其中图13-中截面得竖向位移影响线可由式13-计算,图13-就就是简支梁截面得竖向位移影响线,两者叠加得:
(13-11)
上式中由式、计算。

式、就就是多跨连续梁任意截面竖向位移得影响线计算公式。

还可以求出任意截面转角得影响线:
**
*
34*3
4*(,)
()()()((1()()(,)((1BC CB P BC CB P y x x x x x M x M x x x F AB CD EI EI
M x M x y x x x x F BC EI EI x θϕϕϕϕ**
**∂=
∂⎧''+=⎪⎪=⎨
∂⎪''++=⎪∂⎩
o ，））（在和段上移动）））（在段上移动）(13-12)
式中: , ,同式。

4、 计算实例
例13-1 求简支梁跨中截面C 竖向位移影响线及转角影响线。

按公式(13-7)(13-8),取或,可得截面得竖向位移影响线及转角影响线: 当或时
23
232
301
111(1)(1)2222(,)(1)232361111C x x x x L L x x x x y x EI x
x x x ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦
(a) (b) (c)
图13-
6
22
2230
2311()(1)1(1)222()()6323611(1)(1)C x x L L x x x x x EI x
x
x x θ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--=-+-+⎢
⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
， 当或时
截面C 竖向位移影响线及转角影响线如图13-7所示。

图 13-7
若要计算距A 点为得任意截面得竖向位移影响线及转角影响线可用以下Matlab 程序实现。

clear
x=0:0、01:1; % x 表示文中得 xx=0、25; % xx 表示文中得 for i=1:length(x) if x(i)<=xx
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*、、、
x (L )
θ0 (L 2/E I )
00.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
1
x (L )
0.005
0.010.0150.020.025
y 0 (L 3/E I )
(2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); st(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(-1)/(1-x(i))+x(i)*(1-x(i))^3/6*、、、 (2/(1-x(i))-6*(xx-x(i))/(1-x(i))^2+3*(xx-x(i))^2/(1-x(i))^3); else
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3); st(i)=x(i)*(1-x(i))^2/3-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-1/x(i)+3*xx^2/x(i)^3); end end
%%%%%%%%%% figure plot(x,y) figure plot(x,st)
利用以上Matlab 程序,图13-8中给出了截面得竖向位移影响线及转角影响线。

图 13-8
例13-2 求图13-9所示三跨连续梁截面E 、F 竖向位移影响线。

x (L )
θ0 (L 2/E I )
-0.05
-0.025
0.025
0.05
x (L )
y 0 (L 3/E I )
(1)截面E 竖向位移影响线及转角影响线 当在AB 段上移动,由公式(13-11)得
式中:*
2**222
*3*33411()()()26662216
L L x x L L L x x L L ϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦;可由以上所给得
Matlab 程序实现;已由前面章节计算,为
当在BC 、CD 段上移动,由公式(10)得
344()()()(,)(((2222
AB BA BA E M x M x M x L L L L
y x EI EI EI ϕϕϕ=+=）））
式中:以由前面章节计算,为
32322232
3222
15127512711515
()1(32)32)11515P BA P L x Lx L x x x x F BC L M x L x Lx L x x x x F CD L ⎧-+-+=⎪⎪=⎨
⎪--+=--+=⎪⎩（）=（） （在段上移动）（（在段上移动）
截面E 竖向位移影响线影响线如图13-10所示。

图 13-10
x (L )
y (L 3/E I )
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3
图13-
9
若要计算距A 点为得任意截面得竖向位移影响线可用以下Matlab 程序实现。

clear
x=0:0、01:1; % x 表示文中得 xx=0、25; % xx 表示文中得 for i=1:length(x) if x(i)<=xx
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*、、、 (2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); else
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3); end end
%%%%%%%%%%
fai4=(-xx+xx^3)/6; % fai4表示文中得 yE_AB=fai4、*(-4/15)、*(x 、^3-x)+y;
yE_BC=fai4、*(1/15)、*(5、*x 、^3-12、*x 、^2+7、*x); yE_CD=fai4、*(-1/15)、*(x 、^3-3、*x 、^2+2、*x); %%%%%%%%%% figure
plot([x,x+ones(1,101),x+2、*ones(1,101)],[yE_AB,yE_BC,yE_CD]) %%%%%%%%%%
利用以上Matlab 程序,图13-11中给出了距A 点为截面得竖向位移影响线。

图 13-11
(2)截面F 竖向位移影响线及转角影响线 当在AB 与CD 段上移动,由公式(13-10)得
式中:;; 与已由前面章节计算,为
x (L )
y 0 (L 3/E I )
-3
332232
32224411515
()1(32)32)11515P BC P L x L x x x F AB L M x L x Lx L x x x x F CD L ⎧--=⎪⎪=⎨⎪-+=-+=⎪⎩（）=（） （在段上移动）（（在段上移动）A
332
2323222
111515
()44(32)32)11515P CB P L x L x x x F AB L M x L x Lx L x x x x F CD L
⎧--=⎪⎪=⎨⎪-+=-+=⎪⎩（）=（） （在段上移动）（（在段上移动）A
当在BC 段上移动,由公式(13-11)得
式中:可由以上所给得Matlab 程序实现;已由前面计算,为
32322
2
1()512751271515
BC L M x x Lx L x x x x L =--+=--+（）（） 32322
2
1()5325321515
CB L M x x Lx L x x x x L =---=---（）（） 截面F 竖向位移影响线如图13-12所示。

图13-12
若要计算距B 点为得任意截面得竖向位移影响线可用以下Matlab 程序实现。

clear
x=0:0、01:1; % x 表示文中得 xx=0、25; % xx 表示文中得 for i=1:length(x) if x(i)<=xx
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*(1-(xx-x(i))/(1-x(i)))+x(i)*(1-x(i))^3/6*、、、 (2*(xx-x(i))/(1-x(i))-3*((xx-x(i))/(1-x(i)))^2+((xx-x(i))/(1-x(i)))^3); else
y(i)=x(i)^2*(1-x(i))^2/3*xx/x(i)-x(i)^3*(1-x(i))/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i))^3);
x (L )
y (L 3/E I )
-5
5
10
-3
end end
%%%%%%%%%%
fai3=(2*xx-3*xx^2+xx^3)/6; % fai3表示文中得 fai4=(-xx+xx^3)/6; % fai4表示文中得
yF_AB=fai3、*(4/15)、*(x 、^3-x)+fai4、*(1/15)、*(x 、^3-x);
yF_BC=fai3、*(-1/15)、*(5、*x 、^3-12、*x 、^2+7、*x)+fai4、*(-1/15)、*(5、*x 、^3-3、*x 、^2-2、*x)+y;
yF_CD=fai3、*(1/15)、*(x 、^3-3、*x 、^2+2、*x)+fai4、*(4/15)、*(x 、^3-3、*x 、^2+2、*x); %%%%%%%%%% figure
plot([x,x+ones(1,101),x+2、*ones(1,101)],[yF_AB,yF_BC,yF_CD])
利用以上Matlab 程序,图13-13中给出了距B 点为截面得竖向位移影响线。

图 13-13
5、 位移影响线得应用
随着城市建设得快速发展,城市道路网中高架路与立交桥日益增多,同时车辆载重日益加大,且数量也日益增多,很多现役桥梁出现安全隐患,桥梁损伤检测成为桥梁发展过程中必不可少得一部分,以保证桥梁在使用期限内有足够得安全储备。

本文针对某区间存在局部损伤得简支梁,利用有限元分析软件ANSYS 得到任意对称测点得竖向位移影响线。

利用两条位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值(SDDIL ),可用判断简支梁发生局部损伤得位置。

5、1 SDDIL 指标
建立如图13-14所示存在局部损伤得简支梁结构模型:该结构观测点为,点 与点关于跨中截面对称,损伤区间为,荷载加载位置。

整体刚度为 ,损伤区间处得刚度为,其中为刚度折减系数。

x (L )
y 0 (L 3/E I )
-3
图13-14
设对称测点得位移影响线方程分别为,将在荷载位置处得值减去在荷载位置处得值,即可得到对称测点位移位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值SDDIL
(13-13)由对称性可知,当刚度折减系数,即简支梁不存在损伤时,SDDIL得值恒为0。

5、2 利用ANSYS求解位移影响线
如图13-15所示,为了求梁上任意一点得位移影响线,将梁分解成段;然后将单位荷载沿着点逐步施加在梁上,利用ANSYS求解单位荷载施加在各结点时点得位移;以各结点所在位置为横坐标,单位荷载施加在各点时点得竖向位移为纵坐标,可以得到点得竖向位移得影响线。

图13-15
5、3 利用SDDIL指标进行损伤定位
以图13-14中简支梁为例进行分析,其中令,梁截面为矩形截面,宽,高,弹性模量,观测点,。

若该简支梁在区间内刚度存在损伤,刚度折减系数。

将梁等分成40段,每段长,利用ANSYS求解对称测点、得位移影响线如图13-16所示。

由测点、得位移影响线可以利用式(13-13)得到在区间内存在刚度折减时,荷载对称位置、得位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值(SDDIL)如图13-17所示。

图 13-17
出图可见,SDDIL 指标在附近(即损伤位置附近)出现正得峰值,而在其对称位置出现负峰值。

由此可以瞧出,可以利用SDDIL 指标进行简支梁得局部损伤位置识别。

S D D I L (m )。