数学模型_ 马尔可夫链_

i 1
i i 11
i 1i 1
n
n
nn
nn
xi1 yi =0 xi1 +11 xxi21i21+ 2 2 xix1 xi1ix2 i2 0
i 1
i 1
i i11
i 1i 1
n
n
nn
nn
xi2 yi 0 xi2 +11 xxi1i1xxi2i2+ 2 2 xi2x1 i21 0
i 1
这时预测值与真实值的差为 i , 且误差服从均值为零的正态分布。
i yi (0 1 xi1
i N (0, 2 )
m xim )
如何来确定这样的一组数
0，
1，
，
2
，
，
m
使得其误差最小。
二、原理及推导
i yi 0 1 xi1 2 xi2
n
n
Q i2 ( yi 0 1 xi1 2 xi2 )2
二、问题分析
分析： 北京租的车每天约有40%概率还到天津,天津租的车约有30%的概率还到北京
汽车的分布状态是随机的， 用 Xn 表示第 n 天汽车所在位置，Xn 1 表示在北京，
Xn 2 表示在天津，
记 ai (n) P( X n i). pij P( X n1 j | X n i) 表示第 n 天处于状态 i 第 n 1
3 3
/ /
7 7
4 / 7
4
/
7
3
/
7
T
4
/
7
0.3
天津
北京
0.7
0.4
0.6
0.6
这一状态概率与初始状态概率无关，称为稳态概率。
对于这一转移矩阵，存在正整数 N ,使得 P N 0 说明从任意状态出发都可以经过有限次的转移达到 另外的任意状态，则称这类马氏链为正则链。
数学模型
线性回归模型
二、问题分析
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
a1 (n) a2 (n)
T
0.6 0.3
0.4
0.7
lim
n
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
lim
n
a1 (0) a2 (0)
T
0.6 0.3
0.4 n
0.7
a1 a2
(0) (0)
T
j
天处于状态 j 的概率，称之为转移概率。
0.3
天津
北京
0.7
0.4
0.6
0.6
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
二、问题分析
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
Andrei Markov 1856-1922
二、问题分析
分析：
汽车的分布状态是随机的， 用 Xn 表示第 n 天汽车所在位置，Xn 1 表示在北京，
Xn 2 表示在天津， 这体现了汽车在这一出租过程中所在的状态。
用 a1 (n) 表示汽车第 n天在北京的概率， a2 (n) 表示汽车第 n天在天津的概率。
i 1
i 1
Q
0
2
n
( yi
i 1
0 1 xi1 2 xi2 ) 0
Q
1
2
n i 1
xi1 ( yi
0
1 xi1
2 xi2 ) 0
Q
2
2
n i 1
xi2 ( yi
0
1 xi1
2 xi2 ) 0
整理后可得：
n
nn
nn
yi nn00 +11 xxi1i1+2 2 xix2i2 0
，
2
， m
称为回归系数。
Francis Galton 1822-1911
二、原理及推导
给定一组数据集 D {( xi , yi )}in1，其中 xi {xi1, xi 2 , , xim}, yi R
线性回归希望找到
0，
，
1
， m
f ( xi ) 0 1 xi1 m xim
使得 f ( xi ) yi
数学模型
马尔可夫链
北京科技大学
一、问题提出
在外地旅游时，为了出行方便，许多游客会选择 租车出行。某公司在北京和天津两地开展汽车租赁业务, 共投入7000辆车。消费者可以从两地租车，也可以在任 何一家公司还车。
据数据统计，北京租的车每天约有40%的概率还到天 津，天津租的车约有30%的概率还到北京。建立模型描述 该公司的车辆分布情况。
i 1
n
xi2
i 1
n
xi1 xi2
i 1
n xi22
i 1
0
1
1
1
X
1
1
x11 x21
xn1
x12
x22
xn
2
二、原理及推导
i yi 0 1 xi1 2 xi2
X T X X TY
ˆ ( X T X )1 X TY
n
yi n
i1
nBaidu Nhomakorabea
n
xi1 yi xi1
i1
i1
n
n
xi2 yi xi2
i1
i1
n
xi1
i 1
n
xi21
i 1
n
xi1 xi2
a1 (n
a2
(n
1)
T
1)
=
a1 a2
(n) (n)
T
0.6
0.3
0.4
0.7
状
转
态
移
概
概
率
率
向
矩
量
阵
0.3
天津
北京
0.7
0.4
0.6
0.6
n 0,1, 2,
时间的离散化
Xn 1, 2, , k
离散的值
这里 X n1 的取值只取决于 Xn 的取值及转移 概率，而与以前的状态无关，这种离散状态按照 离散时间的随机转移过程称为马尔可夫链。
i 1
i i11
i 1i 1
n
yi
n
i1
n
n
xi1 yi xi1
i1
i1
n
n
xi2 yi xi2
i1
i1
n
xi1
i 1
n
xi21
i 1
n
xi1 xi2
i 1
n xi 2
i 1
n
xi1 xi2
i 1
n xi22
i 1
0
1
1
北京科技大学
一、线性回归模型
线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上 变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
线性多元线性回归的模型是
y 0 1 x1 m xm
N (0, 2 )
这里
0，1，
，
2
， m，
2
都是与
x1，x2， ，xm
无关的未知参数， 0， 1，
记 ai (n) P( X n i). pij P( X n1 j | X n i) 表示第 n 天处 于状态 i 第n 1 天
j
处于状态 j 的概率，称之为转移概率。
天津
p22
p12
北京
p21
p11
a1 (n 1) p11a1 (n) p21a2 (n) a2 (n 1) p12a1 (n) p22a2 (n)