无轴承开关磁阻电机麦克斯韦应力法数学模型

第 29 卷 第 3 期
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2009 年 1 月 25 日
中国电机工程学报 ProceediBaidu Nhomakorabeags of the CSEE
Vol.29 No.3 Jan. 25, 2009 ©2009 Chin.Soc.for Elec.Eng.
文章编号：0258-8013 (2009) 03-0078-06 中图分类号：TM 301 文献标志码：A 学科分类号：470⋅40
(2)
图 1 为电机的定、转子磁极相对位置示意图，
其中曲线 1→7 为积分路径，则积分路径垂直于磁 场时产生的法向力：
∫∫ Fn
=
1 2μ0
S Bn2dA
(3)
积分路径平行于磁场时产生的法向力：
∫∫ Fn
=
−
1 2μ0
S Bt2dA
(4)
根据图 1 所示的积分路径，可得电机转子磁极
受到的径向力 Fr 和切向力 Ft 分别为
(13)
其中悬浮力系数
K
f
(θ
)=
μ0hrNm
( π −12 θ Nb[ 6l02
)
+
32θ (4l0 +πr
θ
)2
]
(14)
1.4 BSRM 电磁转矩计算
电磁转矩计算公式为
Ta
=Ta1
+Ta2
+Ta3
+Ta4
=
Jt
(θ
)(2Nm2 im2a
+
Nb2
2
isa1
+
Nb2is2a2
)
(15)
电机产生正转矩时，有
第 29 卷
边缘磁通路径选取为圆形轨迹，则边缘磁通平
均长度为 lf =l0 +πr θ /4 ，可得气隙 a1 边缘磁密：
( Bfa1 =[μ0 Nmima + Nbisa1)]/(l0 +πr θ / 4)
(9)
式中：Nm 为主绕组匝数；Nb 为悬浮绕组匝数；isa1 为 A 相在α轴上的悬浮绕组电流；l0 为平均气隙长 度；θ为转子磁极偏离定子磁极角度，以逆时针为
1 基于麦克斯韦应力法的数学模型
1.1 麦克斯韦应力法
麦克斯韦应力法将给定体积 V 的磁质内的合力
和力矩等效为包围 V 表面的 S 面上各张力的合力。
其法向力 Fn 和切向力 Ft 的计算公式[18-20]：
∫∫ Fn
=
1 2μ0
S (Bn2 − Bt2 )dA
(1)
∫∫ Ft
=
1 μ0
S Bn BtdA
3
5
6
∫ ∫ ∫ Fr = h( Bm2 dl + Bm2 dl + Bf22dl)/2μ0 =
2
4
5
h[Bm2 (l23 +l45 )+ Bf22l56 ]/ 2μ0
(5)
2
4
∫ ∫ Ft =h( Bf21dl − Bm2 dl)/ 2μ0
(6)
1
3
因此，产生的电磁转矩为
T = Ft r = hr(Bf21l12 − Bm2 l34 )/ 2μ0
无轴承开关磁阻电机麦克斯韦应力法数学模型
曹鑫，邓智泉，杨钢，杨艳，王晓琳
(南京航空航天大学自动化学院电气工程系，江苏省 南京市 210016)
Mathematical Model of Bearingless Switched Reluctance Motors Based on Maxwell Stress Tensor Method
的一种，日本学者于 20 世纪 90 年代开始进行多项 BSRM 方面的研究，它是继同步电机、异步电机的 无轴承化之后，无轴承技术在旋转电机中的又一成 功应用[1-16]。将无轴承技术应用于开关磁阻电机中， 不仅丰富了无轴承电机的研究理论，也拓宽了开关 磁阻电机的应用领域。BSRM 是在普通开关磁阻电 机定子上增加一套悬浮绕组，其产生的悬浮磁场与 原有主绕组产生的主磁场叠加。通过调节悬浮绕组 电流以改变气隙磁场的分布，利用转子一对极两侧 的气隙磁场不平衡作用产生转轴上的径向悬浮力， 以保证转轴的径向悬浮[1-12]。
目前国内外关于 BSRM 的研究多集中在数学 模型建立和控制方法的探索上[1-12]。其中，文献[1] 建立的数学模型保证了定、转子磁极对中位置时电 磁转矩的连续性，描述了α、β方向径向悬浮力之间 的耦合关系；文献[2]建立的数学模型，电感和悬浮 力系数在定、转子齿极对中位置有塌陷，且转矩系 数在该处不连续，增加了附加的转矩脉动；文献[3] 在文献[2]基础上做了改进分析，考虑了α、β方向径 向悬浮力之间的耦合；文献[4]在考虑磁饱和的前提 下，对数学模型作了进一步改进，其思想是通过对 绕组感应磁势差的修正和控制，实现无轴承电机的 悬浮控制；文献[5]通过建立两相同时导通时的磁路 方程，利用虚位移法分析了电机双相导通时的悬浮 力和电磁转矩特性；文献[6-7]主要研究 BSRM 的控 制策略，提出了一种基于超前角控制的平均转矩和 径向悬浮力的控制算法，建立各控制参数间的关系 式并确定各参数的优化设计流程，实现了电机在空 载、负载状态下的稳定悬浮；文献[8-9]研究了实现 BSRM 稳定旋转、悬浮的软硬件实验平台；文献[10]
电机内的电磁力计算有 3 种方法，包括安培定 律、麦克斯韦应力法和虚位移法。虚位移法是在以 磁链和位移为独立变量时求磁共能对位移的偏导 数，或在以电流和位移为独立变量时求磁能对位移 的偏导数。虚位移法在工程应用上很广，但算出的 结果是一种总体结果，得不到力的分布。麦克斯韦 应力法是用等效的磁张力(面积力)来代替体积力， 该方法对确定交界面上的电磁力比较方便[17-20]。从 已发表的文献来看，BSRM 数学模型的建立均是基 于虚位移法。由于 BSRM 中有 2 套绕组，因而为求 得磁场储能所建立的电感矩阵大，若电机两相或多 相导通则工作量更大。
CAO Xin, DENG Zhi-quan, YANG Gang, YANG Yan, WANG Xiao-lin
(Department of Electrical Engineering, College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, Jiangsu Province, China)
意图。假设忽略转子的偏心位移，则在线性状态下，
气隙 a1 磁场主磁密 Bma1 为
Bma1 =[μ0 (Nmima + Nbisa1)]/l0
(8)
气隙 a4
气隙 a3
主绕组
气隙 a1
悬浮绕组
β
气隙 a2
α
图 2 定、转子结构图
Fig. 2 Structure of the motor
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中国电机工程学报
本文从麦克斯韦应力法出发，在考虑磁饱和的 前提下，建立了无轴承开关磁阻电机数学模型。同时， 对麦克斯韦应力法的应用为普通开关磁阻电机数学 模型的建立和振动控制的研究提供了很好的理论参 考。另外，该方法的引入也为研究 BSRM 的数学模 型及其特性提供了另一途径。文章介绍了麦克斯韦应 力法的基本原理。在恰当选取积分路径的基础上，分 析了电机转子所受到的径向力和切向力关于气隙磁 密的表达式。在建立定、转子磁极的气隙主磁密和边 缘磁密的简化公式后，推导出径向悬浮力和电磁转矩 的计算公式。分析比较了基于麦克斯韦应力法的数学 模型与采用虚位移法的数学模型。在考虑磁饱和的前 提下，确定了气隙磁密饱和矫正公式。有限元分析结 果和试验结果均证实了基于麦克斯韦应力法的 BSRM 数学模型的有效性和可行性。
KEY WORDS: bearingless switched reluctance motor; mathematical model; maxwell stress tensor method; virtual work method
摘要：针对已有基于虚位移法的无轴承开关磁阻电机数学 模型推导复杂的缺限，从麦克斯韦应力法角度出发，建立 了考虑电机磁饱和特性的数学模型。在大电流饱和状态 下，该模型有效地描述了电机产生的径向悬浮力和电磁转 矩。利用有限元分析的方法验证了该模型的优良特性。试 验结果显示利用该模型能够很好地实现电机稳定悬浮，表 明采用麦克斯韦应力法建模的正确性和可行性。该方法的 应用为研究无轴承开关磁阻电机电磁力分布提供了新的 思路。
(Bfa12 − Bfa32 )r θ ]/ 2μ0
(10)
Fβ = Fa2 − Fa4 = h[(Bma22 − Bma42 )(πr /12− r θ )+
(Bfa22 − Bfa42 )r θ ]/ 2μ0
(11)
在气隙磁场未达到饱和时，有：
Fα = K f (θ )imaisa1
(12)
Fβ = K f (θ )imaisa2
(7)
式中：h 为转子叠片长度；r 为转子半径；μ0 为真
空磁导率。
定子 Bf2
3
2 Bm
5 4
6
Bf1 转子
1
7
图 1 麦克斯韦应力法积分路径示意图 Fig. 1 Integral paths of Maxwell stress tensor method
1.2 BSRM 气隙磁密计算 图 2 为无轴承开关磁阻电机定、转子结构示
ABSTRACT: In the light of complexity in derivation of the mathematical model of bearingless switched reluctance motors (BSRM) based on the virtual work method, the paper builds a mathematical model considering the characteristic of magnetic saturation with Maxwell stress tensor method. The model can depict radial force and electromagnetic torque generated in the motor more accurately in the region of magnetic saturation. The fine characteristics of this model are verified in finite element analysis method. The experimental results show that the motor can levitate steadily in this model. The adoption of Maxwell stress tensor method can find alternative means of analysis of electromagnetic force for BSRM.
J tp
(θ
)
θ
≤0
=
μ0
hr[
1 l0
−
16(l0 (4l0 −
−rθ ) πrθ )2
]
(16)
电机产生负转矩时，有
J tn
(θ
) θ ≥0
=
μ0hr[−
1 l0
+
16(l0 (4l0 +
+rθ ) πrθ )2
]
(17)
2 分析比较数学模型特性
图 3、4 分别为本文模型与文献[1-2]得到的无 轴承开关磁阻电机的悬浮力系数 Kf 和转矩系数 Jt。 可以看出，本文推导的悬浮力系数解决了文献[2] 模型在θ=0 处的塌陷问题。同时，本文模型保证了 在θ=0 处瞬时转矩的连续性，消除了文献[2]模型在 θ=0 处由于瞬时转矩不连续导致的附加转矩脉动。 但是，本文得到的悬浮力系数和转矩系数与文献模 型相比，有一个向下的偏移量。一方面与麦克斯韦 应力法积分路径的选取有关[17,20]，另一方面源于虚 位移法中磁能的求取过程。在无轴承开关磁阻电机 虚位移法建模时忽略了电机漏磁的影响，因而所求
关键词：无轴承开关磁阻电机；数学模型；麦克斯韦应力法； 虚位移法
0 引言
无 轴 承 开 关 磁 阻 电 机 (bearingless switched reluctance motors，BSRM)是无轴承电机诸多种类中
基金项目：航空基础科学基金(05F52040)；高等学校博士学科点专 项科研资助课题 (20060287010)；新世纪优秀人才支持计划资助。
正。同理，气隙 a2、a3、a4 处的主磁密 Bma2、Bma3、 Bma4 和边缘磁密 Bfa2、Bfa3、Bfa4 可分别求出。 1.3 BSRM 径向悬浮力计算
基于上述分析，可得α、β方向的径向力分别为
Fα = Fa1 − Fa3 = h[(Bma12 − Bma32 )(πr /12−r θ )+
第3期
曹鑫等： 无轴承开关磁阻电机麦克斯韦应力法数学模型
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通过比较分别采用非线性磁化曲线和线性磁化曲 线得到了有限元分析结果，研究了电机磁饱和的影 响；文献[11]在有限元仿真的基础上，基于虚位移 法分析了α、β方向径向耦合时的数学模型；文献[12] 推导了定转子齿极非交叠区间的数学模型，完成了 BSRM 数学模型的全角度拓展。