分形艺术欣赏2
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其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的 发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的 引入而取得显著进展。
美国著名物理学家惠勒说过：“今后谁不熟 悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”
由维数与测量尺度的密切关系而得的启示
当我们测量几何图形的长度、面积和体积时， 分别用单位长线段、单位面积正方形和单位体积 正方体来度量。若用单位长线段来测量面积，而 用单位面积正方形来测量体积，其结果皆为无穷， 说明所用的尺度太“细”；反之，若用单位面积 正方形来测量长度，用单位体积正方体来测量面 积，则所得的结果皆为 0，说明所用的尺度太 “粗”。因此，选取的尺度必须与所测对象相匹 配。
答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所 得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者 说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海 岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何研究规则图形， 平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和 曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理， 我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。
2.2 分形几何的产生
1973年，曼德尔布罗特在法兰西学院讲课时，首 次提出了分维和分形几何的设想。1975年，他在其 《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal）
这一概念。从字面意义上讲，fractal是碎块、碎片的意 思，然而这并不能概括他的分形概念。目前数学上大 家都认为分形有以下几个特点：
2、分形几何学
2.1 欧几里得几何的局限性
自公元前3世纪欧几里得几何基本形成至今已有 2000多年。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中 得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点、线 面之间的关系。这种观念与特定时期人类的实践、认 识水平是相适应的。
20世纪以后，科学的发展极为迅速，有些研究对 象已经很难用欧氏几何来描述了。
谢氏海绵
1.4 勾股树
1.5 二元树
1.6 英国的海岸线有多长？
1967年法国数学家 B.B.Mandelbrot提出了“英国的 海岸线有多长？”的问题，这 好像极其简单，因为长度依赖 于测量单位，以1km为单位测 量海岸线，得到的近似长度将 短于1km的迂回曲折都忽略掉 了，若以1m为单位测量，则能 测出被忽略掉的迂回曲折，长 度变将大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这 些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是 海岸线的长度。
ln ln
2 3
0.6309.
例2 由于科赫曲线 K 每次迭代是由 4 个相似
比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(K
)
ln ln
4 3
1.2618
.
科赫曲线可作为一种海岸线模型的分形生成元。
科学家在对海岸线的形成经过分析后，发现 不同的分形生成元会产生形态各异的海岸线模型。 图 1 是除科赫曲线分形生成元以外其他几种海岸 线模型的分形生成元（第一步），其初始元皆为 单位长度的直线段。图 2 是分形元 F5 经四步迭 代后形成的海岸线模型。作为练习，请自己分别 计算出这五种分形元所生成的五条分形曲线的自 相似维数。
上述（1）、（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。 自相似性是分形的灵魂，自相似性使得分形的任何一个片段都 包含了整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性。第 （4）项则说明了分形的生成机制。
分形的直观描述
曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不 具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上， 提炼出 “在尺度变换下保持不变性” （即“无标 度性”）这一要素，于 1986 年给出分形概念以如 下的直观描述：
C 难以用经典的数学语言来描述，它既不
是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是
任何简单方程的解集；
C 是无限不可数集，但其长度为
l (C )
lim
n
l
(Cn
)
lim
n
2 n 3
0.
1.3 谢尔宾斯基三角
E1 E2
E3 E5
谢尔平斯基垫片 E 前五步的构造
谢氏地毯
三维谢氏自相似结构
对 K1 的每条线段都重复上述过程来构造 K2 ，它包含 边长为 1 32 的16条线段；
如此继续下去，于是得到一个曲线序列{Kn}，其中 Kn是将Kn-1的每条线段上中间1/3部分用底边为这1/3部分 的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的；
当 n 充分大时，曲线 Kn 和 Kn-1 只在精细的细节上不 同；而当 n→∞ 时，曲线序列 {Kn} 的极限
曼德尔布罗特集图
曼德尔布罗特集图
曼德尔布罗特集 逐步放大图
曼德尔布罗特集逐步放大图
曼德尔布罗特集逐步放大图
细，而 2 维尺度太粗；
对于谢尔平斯基垫片 E 和谢尔平斯基毯
片 F ，情况也是如此。
对于谢尔平斯基海绵 S ，可以算得
m2 (S) , m3 (S) 0,
所以在测量谢尔平斯基海绵 S 时，2 维尺度太 细，而 3 维尺度太粗。
显然，当 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体
积几何”对象为的0
或 “
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者 说分形集具有无限精细的结构；
（2）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自 相似或都统计的自相似；
（3）一般，分形集的“分形维数”，严格大于分形 集相应的拓扑维数；
（4）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常 简单的方法定义，可能以变换的迭代产生等。
分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形 （A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。亦即：如果一个图 形其组成部分以某种方式与整体相似，则称该图形 为分形。
2.3 为什么要研究分形？
首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究 分形，是探讨自然界的复杂事物 的客观规律及其 内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。
1
31
1
3
1 维情形下维数与相似比关系示意图
在二维面积情形，若记
A ,a 分别为原图形与对应的 3
1
第二个自相似图形的面积，则
1
3
有
p2 A a;
1 2
32
1
3
2 维情形下维数与相似比关系示意图
在三维体积情形，若记 V,v 分别为原图形与对应的第
二个自相似图形的体积，则有
p3V v.
1
3
11
3 3
1
3
33
1
3
3 维情形下维数与相似比关系示意图
一般地，对于一个 D f 维的自相似几何对象 F，若每
个独立方向都缩小到原来的 1/r ，则相似比（或比例因子）
为 1/r 的两个自相似对象的测度 M 与 m 之间应满足
1Df
F
M
m,
r
于是得
ln m
Df (F)
M ln 1
;
按照曼德尔布罗特的思想，可以视前述 的 C，K，S 分别是一个介于 0 维与 1 维 ， 1 维与 2 维，2 维与 3 维之间的几何对象。
3.自相似维数与豪斯道夫维数
自相似维数
由于分形集的复杂奇异性，对于不同的测量对象 需用不同的测量方法。关于分形维数，已有多种定义 和计算方法，包括较易理解的自相似维数、容量维数、 信息维数、盒子维数等和深奥的豪斯道夫维数等，用 不同方法计算出的分形维数值稍有不同。这里只介绍 自相似维数概念的建立和计算的方法。
对于分形这类复杂奇异的的几何对象， 上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征 量了。事实上：
对于康托三分集 C ，由于
m0 (C) , m1(C) 0,
所以在测量康托三分集 C时，0 维尺度太 细，而 1 维尺度太粗。
对于科赫曲线 K ，由于
m1(K ) , m2 (K ) 0,
所以在测量科赫曲线 K 时，1 维尺度太
K
Kn
就称为科赫曲线。
n0
科赫曲线 K 的特性
科赫曲线 K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四
个部分与整体的相似比例均为1/3 ；
K 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整
体特征；
K 是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来
越好的近似 Kn；
K 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些
可贵的是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括 海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海 岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。换言之，海岸 线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定量地分析 像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的。经典维数都是 整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形维数可以取 分数，简称分维。
康托三分集是指由所有 Cn的公共点构成的集，即
C Cn ， n0
C 实际上是集序列 Cn 当 n 趋于无穷时的极限。
康托三分集 C 的特性
康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步
所保留的两个部分与整体的相似比例均为 1/3 ；
C 具有精细结构，即在任意小的比例尺度
内都包含整体特征；
C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程 可得到C之越来越好的近似 Cn ；
分形艺术欣赏
1、从数学怪物谈起
1.1 冯·科克（von Koch）曲线
A
B
A
B
A
B
A
B
E
A C
B D
E
A C
B D
E
A C
B D
操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难 以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
科赫曲线（1904年）
设 K0 是单位长直线段； K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以 底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所 得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段；
假设一个图形的一边具有长度 L，对应的第二个
自相似图形的边具有长度 l ,则定义
p l L
为第二个图形对第一个图形的相似比（或比例因子）。
为定义自相似维数，先来考察整数维情形下维数、两个自
相似对象的测度与相似比之间的关系，如图所示（图示中的 p
= 1/3）。 在一维长度情形，有
p1L l;
3
1
1
r
进而若记 N(r) M / m, 它表示相示比为 1/r 时每次迭代所
得到的相似形的个数，则
ln N (r) Df (F ) ln r ,
称之为分形 F 的自相似维数。
计算分形维数的典型例子
例1 由于康托三分集 C 每次迭代是由 2 个相
似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(C)
得的然4 后个从子构区成间构C成1的C22个，子即区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所
C2 0，1/ 92/ 9，1/ 32/ 3，7 / 98/ 9，1 ；
间的如1/此3 继部续分下而去得，到C的n长是度从为构3成n
Cn1 的每个区间中分别去掉中
的 2n 个子区间之并集；
n 当 充分大时，Cn 与 Cn1之间只在精细的细节上不同；
代后所保留下的部分。作为练习，请自己分别计算出这两种
分形元所生成的两条分形曲线的自相似维数。
例5 对于谢尔平斯基海绵 S ，由于每次迭代是由 20 个 相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Байду номын сангаас
Df
(S)
ln 20 ln 3
2.7628
.
3、分形艺术欣赏
三维谢氏塔的自相似结构
图5 谢尔宾斯基/门格尔海绵
例3 对于谢尔平斯基垫片 E ，由于每次迭代是由 3
个相似比为 1/2 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(E)
ln ln
3 2
1.5849
.
例4 对于谢尔平斯基毯片 F ，由于每次迭代是由 8
个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(F
)
ln ln
8 3
1.8927
.
图 3 是两种分形曲线的生成元，其中阴影部分是每次迭
+ 长度
时，使用价值不大，只有 ”、“ 面积 ”、“ 体
积 ” 为有限数时，才能比较集合的大小。
德尔布罗曼特的创新思维
将 m0(F)，m1(F)，m2(F)，m3(F) 中的 0，1，2，
3 用分数甚至无理数 来代替，使得
0 m (F) ,
从而用 m (F)来表示 F 的度量！
（牢记：启迪乃教学之本，创新为科研之魂）
简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；
K 的长度为
l(K
)
lim
n
l(Kn
)
lim
n
4 3
n
,
而面积为 0 。
1.2 康托尔集合
康托三分集（1872年）
记 C0 是单位长直线段 [0，1] ；
设 C1是去掉 C0中间的 1/3 部分所得到的集，即
C1 0,1/ 32 / 3,1 ；
美国著名物理学家惠勒说过：“今后谁不熟 悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”
由维数与测量尺度的密切关系而得的启示
当我们测量几何图形的长度、面积和体积时， 分别用单位长线段、单位面积正方形和单位体积 正方体来度量。若用单位长线段来测量面积，而 用单位面积正方形来测量体积，其结果皆为无穷， 说明所用的尺度太“细”；反之，若用单位面积 正方形来测量长度，用单位体积正方体来测量面 积，则所得的结果皆为 0，说明所用的尺度太 “粗”。因此，选取的尺度必须与所测对象相匹 配。
答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所 得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者 说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海 岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何研究规则图形， 平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和 曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理， 我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。
2.2 分形几何的产生
1973年，曼德尔布罗特在法兰西学院讲课时，首 次提出了分维和分形几何的设想。1975年，他在其 《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal）
这一概念。从字面意义上讲，fractal是碎块、碎片的意 思，然而这并不能概括他的分形概念。目前数学上大 家都认为分形有以下几个特点：
2、分形几何学
2.1 欧几里得几何的局限性
自公元前3世纪欧几里得几何基本形成至今已有 2000多年。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中 得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点、线 面之间的关系。这种观念与特定时期人类的实践、认 识水平是相适应的。
20世纪以后，科学的发展极为迅速，有些研究对 象已经很难用欧氏几何来描述了。
谢氏海绵
1.4 勾股树
1.5 二元树
1.6 英国的海岸线有多长？
1967年法国数学家 B.B.Mandelbrot提出了“英国的 海岸线有多长？”的问题，这 好像极其简单，因为长度依赖 于测量单位，以1km为单位测 量海岸线，得到的近似长度将 短于1km的迂回曲折都忽略掉 了，若以1m为单位测量，则能 测出被忽略掉的迂回曲折，长 度变将大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这 些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是 海岸线的长度。
ln ln
2 3
0.6309.
例2 由于科赫曲线 K 每次迭代是由 4 个相似
比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(K
)
ln ln
4 3
1.2618
.
科赫曲线可作为一种海岸线模型的分形生成元。
科学家在对海岸线的形成经过分析后，发现 不同的分形生成元会产生形态各异的海岸线模型。 图 1 是除科赫曲线分形生成元以外其他几种海岸 线模型的分形生成元（第一步），其初始元皆为 单位长度的直线段。图 2 是分形元 F5 经四步迭 代后形成的海岸线模型。作为练习，请自己分别 计算出这五种分形元所生成的五条分形曲线的自 相似维数。
上述（1）、（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。 自相似性是分形的灵魂，自相似性使得分形的任何一个片段都 包含了整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性。第 （4）项则说明了分形的生成机制。
分形的直观描述
曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不 具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上， 提炼出 “在尺度变换下保持不变性” （即“无标 度性”）这一要素，于 1986 年给出分形概念以如 下的直观描述：
C 难以用经典的数学语言来描述，它既不
是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是
任何简单方程的解集；
C 是无限不可数集，但其长度为
l (C )
lim
n
l
(Cn
)
lim
n
2 n 3
0.
1.3 谢尔宾斯基三角
E1 E2
E3 E5
谢尔平斯基垫片 E 前五步的构造
谢氏地毯
三维谢氏自相似结构
对 K1 的每条线段都重复上述过程来构造 K2 ，它包含 边长为 1 32 的16条线段；
如此继续下去，于是得到一个曲线序列{Kn}，其中 Kn是将Kn-1的每条线段上中间1/3部分用底边为这1/3部分 的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的；
当 n 充分大时，曲线 Kn 和 Kn-1 只在精细的细节上不 同；而当 n→∞ 时，曲线序列 {Kn} 的极限
曼德尔布罗特集图
曼德尔布罗特集图
曼德尔布罗特集 逐步放大图
曼德尔布罗特集逐步放大图
曼德尔布罗特集逐步放大图
细，而 2 维尺度太粗；
对于谢尔平斯基垫片 E 和谢尔平斯基毯
片 F ，情况也是如此。
对于谢尔平斯基海绵 S ，可以算得
m2 (S) , m3 (S) 0,
所以在测量谢尔平斯基海绵 S 时，2 维尺度太 细，而 3 维尺度太粗。
显然，当 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体
积几何”对象为的0
或 “
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者 说分形集具有无限精细的结构；
（2）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自 相似或都统计的自相似；
（3）一般，分形集的“分形维数”，严格大于分形 集相应的拓扑维数；
（4）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常 简单的方法定义，可能以变换的迭代产生等。
分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形 （A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。亦即：如果一个图 形其组成部分以某种方式与整体相似，则称该图形 为分形。
2.3 为什么要研究分形？
首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究 分形，是探讨自然界的复杂事物 的客观规律及其 内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。
1
31
1
3
1 维情形下维数与相似比关系示意图
在二维面积情形，若记
A ,a 分别为原图形与对应的 3
1
第二个自相似图形的面积，则
1
3
有
p2 A a;
1 2
32
1
3
2 维情形下维数与相似比关系示意图
在三维体积情形，若记 V,v 分别为原图形与对应的第
二个自相似图形的体积，则有
p3V v.
1
3
11
3 3
1
3
33
1
3
3 维情形下维数与相似比关系示意图
一般地，对于一个 D f 维的自相似几何对象 F，若每
个独立方向都缩小到原来的 1/r ，则相似比（或比例因子）
为 1/r 的两个自相似对象的测度 M 与 m 之间应满足
1Df
F
M
m,
r
于是得
ln m
Df (F)
M ln 1
;
按照曼德尔布罗特的思想，可以视前述 的 C，K，S 分别是一个介于 0 维与 1 维 ， 1 维与 2 维，2 维与 3 维之间的几何对象。
3.自相似维数与豪斯道夫维数
自相似维数
由于分形集的复杂奇异性，对于不同的测量对象 需用不同的测量方法。关于分形维数，已有多种定义 和计算方法，包括较易理解的自相似维数、容量维数、 信息维数、盒子维数等和深奥的豪斯道夫维数等，用 不同方法计算出的分形维数值稍有不同。这里只介绍 自相似维数概念的建立和计算的方法。
对于分形这类复杂奇异的的几何对象， 上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征 量了。事实上：
对于康托三分集 C ，由于
m0 (C) , m1(C) 0,
所以在测量康托三分集 C时，0 维尺度太 细，而 1 维尺度太粗。
对于科赫曲线 K ，由于
m1(K ) , m2 (K ) 0,
所以在测量科赫曲线 K 时，1 维尺度太
K
Kn
就称为科赫曲线。
n0
科赫曲线 K 的特性
科赫曲线 K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四
个部分与整体的相似比例均为1/3 ；
K 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整
体特征；
K 是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来
越好的近似 Kn；
K 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些
可贵的是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括 海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海 岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。换言之，海岸 线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定量地分析 像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的。经典维数都是 整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形维数可以取 分数，简称分维。
康托三分集是指由所有 Cn的公共点构成的集，即
C Cn ， n0
C 实际上是集序列 Cn 当 n 趋于无穷时的极限。
康托三分集 C 的特性
康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步
所保留的两个部分与整体的相似比例均为 1/3 ；
C 具有精细结构，即在任意小的比例尺度
内都包含整体特征；
C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程 可得到C之越来越好的近似 Cn ；
分形艺术欣赏
1、从数学怪物谈起
1.1 冯·科克（von Koch）曲线
A
B
A
B
A
B
A
B
E
A C
B D
E
A C
B D
E
A C
B D
操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难 以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
科赫曲线（1904年）
设 K0 是单位长直线段； K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以 底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所 得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段；
假设一个图形的一边具有长度 L，对应的第二个
自相似图形的边具有长度 l ,则定义
p l L
为第二个图形对第一个图形的相似比（或比例因子）。
为定义自相似维数，先来考察整数维情形下维数、两个自
相似对象的测度与相似比之间的关系，如图所示（图示中的 p
= 1/3）。 在一维长度情形，有
p1L l;
3
1
1
r
进而若记 N(r) M / m, 它表示相示比为 1/r 时每次迭代所
得到的相似形的个数，则
ln N (r) Df (F ) ln r ,
称之为分形 F 的自相似维数。
计算分形维数的典型例子
例1 由于康托三分集 C 每次迭代是由 2 个相
似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(C)
得的然4 后个从子构区成间构C成1的C22个，子即区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所
C2 0，1/ 92/ 9，1/ 32/ 3，7 / 98/ 9，1 ；
间的如1/此3 继部续分下而去得，到C的n长是度从为构3成n
Cn1 的每个区间中分别去掉中
的 2n 个子区间之并集；
n 当 充分大时，Cn 与 Cn1之间只在精细的细节上不同；
代后所保留下的部分。作为练习，请自己分别计算出这两种
分形元所生成的两条分形曲线的自相似维数。
例5 对于谢尔平斯基海绵 S ，由于每次迭代是由 20 个 相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Байду номын сангаас
Df
(S)
ln 20 ln 3
2.7628
.
3、分形艺术欣赏
三维谢氏塔的自相似结构
图5 谢尔宾斯基/门格尔海绵
例3 对于谢尔平斯基垫片 E ，由于每次迭代是由 3
个相似比为 1/2 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(E)
ln ln
3 2
1.5849
.
例4 对于谢尔平斯基毯片 F ，由于每次迭代是由 8
个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(F
)
ln ln
8 3
1.8927
.
图 3 是两种分形曲线的生成元，其中阴影部分是每次迭
+ 长度
时，使用价值不大，只有 ”、“ 面积 ”、“ 体
积 ” 为有限数时，才能比较集合的大小。
德尔布罗曼特的创新思维
将 m0(F)，m1(F)，m2(F)，m3(F) 中的 0，1，2，
3 用分数甚至无理数 来代替，使得
0 m (F) ,
从而用 m (F)来表示 F 的度量！
（牢记：启迪乃教学之本，创新为科研之魂）
简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；
K 的长度为
l(K
)
lim
n
l(Kn
)
lim
n
4 3
n
,
而面积为 0 。
1.2 康托尔集合
康托三分集（1872年）
记 C0 是单位长直线段 [0，1] ；
设 C1是去掉 C0中间的 1/3 部分所得到的集，即
C1 0,1/ 32 / 3,1 ；