数学概念的理解与教学

• 方程问题，从元的增加பைடு நூலகம்次数的增加两 个方向，依照由简到繁、由易到难顺次 展开。
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• 从代数式（符号代表数）、方程（符号 代表未知数）到函数（符号代表变数） 是一个飞跃，这是看问题角度的根本变 化——从变化过程中考察规律，函数是 研究变化规律的。
• 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映— —不仅明确x，y的意义，而且明确k，b 的意义——变化规律由k，b决定。
（2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。
从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例” 是数学研究的“基本套路”。
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用运算律对这些符号进行形式运算，
还可以归纳地得到：
(a2+ab+b2)(a－b) =a3－b3； (a3+a2b+ab2+b3)(a－b) =a4－b4；
n
…… anibi i0
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• 先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中， a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数 学中，经常要通过考察特殊情况来获得对 问题的进一步认识，例如在两条直线的位 置关系中，我们特别研究了平行、垂直两 种特殊的位置关系，得到了一些有用的结 论。类似的，在多项式乘法中，也有一些 特殊情形值得研究。
• 有些老师不知如何教概念．
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教概念的意义
• 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不 是玩技巧．技巧不足道也！
• 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离 了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在 数学上耗费大量时间、精力，结果可能是 对数学的内容、方法和意义知之甚少，“ 数学育人”终将落空．
ab
。 an1 bn1
(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3；
(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
n
……
ab
n
Cni anibi
i0
。
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教学过程设计
• 1．复习与引入 • 问题1 前面我们学习了单项式、多项式的
乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的 依据是什么？ • 设计意图：回顾运算法则，强化“用运算 律计算”的意识。
换律、结合律、分配律、指数法则； • 模式、关系、函数：“找规律”，用代数
符号表征和理解数学结构、数量关系、变 化规律。
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• 代数学的基本思想：有系统、有效力地运 用数系的加、乘和指数运算的运算律，去 解决各种各样的代数问题：
• 各种式（整式、分式、根式等）的运算— —用运算律进行“等价变换”；作为数及 其运算的推广。
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• 问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、 完全平方公式。
• 设计意图：帮助学生理解公式。
• 3．例题
• 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取 数、式等各种变形），让学生体会公式在 “形式化运算”中的作用。另外，通过适 当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让 学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或 (a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪 个代表a，哪个代表b。
• 方程——未知数、已知数之间的特定代数 关系；解方程——由代数方程式确定其中 的“未知数”的值；
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• 解方程的基本原理：运算律对任何数都 成立（通性），所以对“未知数”也成 立、可用。有系统地用运算律化简所给 的方程，从而确定其中的未知数——化 未知为已知。
• 一元一次方程是基础，其它都用消元、 降次转化为一元一次方程。
• 乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题， 是一个模式。
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乘法公式蕴含的思想方法
• 乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对 “特例”的考察，寻找一个模式：
• 在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b， c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即
（1）a=c，b=－d时有平方差公式；
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概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学概 念中的数学家的思维打开，以典型丰富的 实例为载体，引导学生展开观察、分析各 事例的属性、抽象概括共同本质属性，归 纳得出数学概念。
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概念教学的基本环节
• 典型丰富的具体例证——属性的分析、比 较、综合；
• 概括共同本质特征得到概念的本质属性； • 下定义（准确的数学语言描述）；
• 其他函数也类似。
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例2 乘法公式的理解及教学设计
• 多项式运算就是含有字母符号的算式之间 的运算（字母代表数，数满足运算律，所 以字母也满足运算律）；
• 两个多项式的乘积就是用分配律把它归于 单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积 是用乘法的交换律、结合律和指数法则来 计算——运算法则；
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• 概念的辨析——以实例（正例、反例）为 载体分析关键词的含义；
• 用概念作判断的具体事例——形成用概念 作判断的具体步骤；
• 概念的“精致”——建立与相关概念的联 系。
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例1 代数的核心概念、思想方法
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律：交
数学概念的理解与教学
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有效教学的关键
• 理解数学，理解学生，理解教学。
• “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学 科知识；初中数学课程结构体系、教学重 点的知识；学生数学学习难点的知识；关 于重点知识的教学解释的知识；关于评估 学生的知识理解水平的知识；等。
• 特别强调“内容所反映的数学思想方法” 的理解，决定了教学所能达到的水平和效 果。
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• 2．公式的探究
• 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结 果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪 些特殊情形？你能得到什么？
• 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从 一般到特殊，考察特例，深入认识数学对 象的方法；在让学生自主活动之前，先指 出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比 对象，明确思考方向。
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当前概念教学的问题
• 不重视章节起始课的教学，没有把本章节 要解决的主要问题、基本过程和主要思想 方法等纳入教学任务中；
• 概念教学走过场，常常采用“一个定义， 三项注意”的方式，在概念的背景引入上 着墨不够，没有给学生提供充分的概括本 质特征的机会，认为让学生多做几道题目 更实惠．