人教版高中数学课件：分布列

是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次
数。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率.
练习：
4.袋A和B中装有白球和黑球若干，从A中任
取1个球白球的概率都是为1/3，从A中任取 1个球白球的概率都是为P, 甲先取，乙后取，
然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有 一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取
1 6
)4

5 6

25 , 7776
P ( ζ
5 )
C55(．16 )5

1 7776
所
以P
(
ζ
3 )
P
(
ζ
4 )
P
( ζ
5
)
13 388
8
练习：
1.一个袋中有6个同样大小的小球，编号为
1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，
以ξ表示取出的最大号码，求ξ的分布列.
练习：
2.设随机变量ξ的分布 P( k ) ak (k 1,2,3,4,5)
P其(中Xm=mkin){M,nC},且M k CCnNnNNn,MkMN, k,n,M,N0,1N,*2., , m,
称分布列
X
0
1
…
m
P
CM0
C n0 N M
CM1
C n1 N M
…
CMm
C nm N M
CNn
CNn
CNn
为超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称 随机变量X服从超几何分布.
解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的 子块数目ξ的分布列为：
ξ 2 4 8 16 … 2n …
P
1 2
1 1 1…1
22 23 24
2n
…
所以，P（ξ≤10）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝4）
+P（ξ＝8）＝
1 1 1 7 2 22 23 8
2、两点分布列
如果利随用机分变布量列X和的概分率布的列性为质两，点可分以布计列算，能就由称X服 从随两机点变分量布表，示而的称事p=件P的(X概=1率)为. 成功概率.
0.095
P ( ζ
2 )
C22

5 10
2
0

0.0025
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
P 0.9025
1 0.095
2 0.0025
例4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数 记为ξ，求P(ξ>3)．
解：依题意，随机变量ξ～B (5, 1) 6
所 以 P(ζ
4 )
C54(
出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要
的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；AAABBBBB
（3）求甲取到白球的概率.
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分 布列.
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）Ｐｉ≥0，ｉ＝1，2，……； （2）Ｐ1+Ｐ2+……＝1
例2.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二， 两次分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止， 设分裂n次终止的概率是 1/2n（n=1，2，3，……） 记ξ 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目, 求P（ξ ≤10）．
a （1）求常数 的值；
5
（2）求 P( 3);
5
（3）求 P( 1 7 ) .
10 10
练习：
3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个 球都是白球的概率为1/7，现有甲、乙两人从 袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再 取……，取后不放回，直到两人中有一人取到 白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会
例3.（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产 品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续 取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P ( ζ
0 )
C02

95
2

1 0 0

0.9025,
P(ζ 1)
C12
5 95 100100

随机变量：如果随机试验的结果可以用 一个变量来表示，那么这样的变量叫做随 机变量。 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量。
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间 内的一切值，这样的随机变量叫作连续型随 机变量。
抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可 能取的值有：1，2，3，4，5，6.由概率 知识可知，ξ取各值的概率都等于1/6
例1、在掷一枚图钉的随机实验中，令
1，针尖向上 X 0，针尖向下
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X 的分布列. 解：根据分布列的性质，针尖想下的概率是 （1- p ）.于是，随机变量X的分布列是
x01 P 1-p p
3、超几何分布列
例2、在含有5件次品的100件产品中，
任取3件，试求：
例3、某年级的联欢会上设计了一个摸 奖游戏，在一个口袋中有10个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同.一次 从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中 奖.求中奖的概率.
中奖的概率为：C130 C220 C140C210 C150C200 C350
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发 生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ 是一个随机变量．
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么
在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的
概率是
Pn (

k)

C
k n
pk qnk
(其中k＝0,1,2,…，n， q 1 p)
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ0
1…k …n
… … P
Cn0 p0qn
C
1 n
p1q
n 1
C
k n
pk qnk
（1）取到的次品数的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.

0
1
2
3
C50C935 C51C925 C52C915 C53C905
P
C3 100
C1300
C1300
C1300
(2)P(
1) 1 P(

0)

1

C935 C1300
0.144
3、超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件， 其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为
例1：一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，
已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个
数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得1分，
取出绿 球得0分，取出黄球得-1分，试写出从该盒内随
机取出一球所得分数ξ的分布列.
解：设黄球的个数为ｎ，则绿球的个数为2ｎ，红球的个
数为4ｎ，盒中球的个数为7ｎ，所以 4n 4
2n 2
P（ξ＝1）＝ 7n ＝ 7 ，P（ξ＝0）＝
＝
7n
7，
n1
P（ξ＝-1）＝ 7n＝ 7 ． ξ
1
0
-1
所以从该盒中随机取出一球
42 1
所得分数ξ的分布列为：
P
7
7
7
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值
为：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．ξ取 每一个ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率 P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，则称表：
Cnn p n q 0
由于
C
k n
p
kq
nk
恰好是二项展开式
(q p)n C0np0qn C1np1qn1
C
k n
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kqnk

C
n n
p
nq0
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从
二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，
并记
C
k n
p
kq
nk＝b(k；n，p)．
ξ123456
11 1 1 1 1
p 66 6 6 6 6
此表从概率的角度指出了随机变量在随机 试验中取值的分布情况，称为随机变量ξ的 概率分布.
例如：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ，则ξ可 能取的值有：2，3，4，……，12. ξ的概率分布为：
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 234 5 6 5 4 32 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36