第17讲 直角三角形与锐角三角函数

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直角三角形的性质和判定
例2(2018广西柳州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则
sin B= ���������=���������������(
)
A.35
B.45
C.37
D.34
答案:A
解析:∵∠C=90°,BC=4,AC=3,
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30°角所对直角边是斜边的一半 含30°角的直角三角形具有特殊的性质:在直角三角形中,30°角所 对的直角边等于斜边的一半. 此结论是由等边三角形的性质推出,它在解直角三角形的相关问 题中常用来求边的长度和角的度数.
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解法
∠B=90°-∠A,c=������������a������A,b=������������a������ A(或 b= c2-a2)
已知斜边和一个 锐角(c,∠A)
∠B=90°-∠A,a=c·sin A,b=c·cos A(或 b= c2-a2)
已知两直角边 (a,b)
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锐角三角函数值的求法
例3(2018山东德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形
的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值
c= a2 + b2 ,由 tan A=ab求∠A,∠ B=90°-∠A
已知斜边和一条 直角边(c,a)
b= c2-a2,由 sin A=ac求∠A,∠ B=90°-∠A
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(2)解直角三角形的实际应用:
仰角、俯 角 坡度(坡 比)、坡 角
方向 角
在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的 角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角(如图①)
坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫坡度(坡比), 用字母 i 表示;坡面与水平线的夹角 α 叫坡角,i=tan α=hl (如图②) 一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐 角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,如图③,A 点位 于 O 点的北偏东 30°方向,B 点位于 O 点的南偏东 60°方向,C 点位于 O 点的北偏西 45°方向(或西北 方向)
(5)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么
这条直角边所对的锐角等于 30°
判 定
(1)有一个角为 90°的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:若 a2+b2=c2,则以 a,b,c 为边的三角形 是直角三角形
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Biblioteka Baidu考点二解直角三角形
注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊性 质,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用;②应用时,要注
意找准30°的角所对的直角边,以及斜边.
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例1(2018广西)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是
1.锐角三角函数
(1)三角函数的定义及关系
锐角三角函数的定义:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠
C 的对边分别为 a,b,c,正弦 sin A=������;余弦 cos A=b;正切 tan A=a;互余
������
c
b
两角的三角函数关系:sin(90°-A)=cos A ;cos(90°-A)=sin A .
∴AB=5, ∴sin B=������������������������ = 35,
故选A.
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方法点拨直角三角形中线段和角之间的数量关系 (1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的重要 工具,有时也用于证明线段相等;(2)角:直角三角形的两锐角互余,可 用来计算角的大小,也是证明角相等的重要工具;(3)斜边中线:直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工 具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另 外还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则 ∠C=90°;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个 三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用.
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方法点拨在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”. 在题中如果有一个30°的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质 特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关系.
30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高
AB是120 m,则乙楼的高CD是
m(结果保留根号)
答案:40 3
解析:由题意可得:∠BDA=45°,
则AB=AD=120 m,
又∵∠CAD=30°, ∴在Rt△ADC中,
tan ∠CAD=tan 30°=������������������������ = 33, 解得:CD=40 3(m).
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考点一直角三角形的性质及判定
(1)两锐角之和等于 90° ;
(2)斜边上的中线等于斜边的一半 ;
性 质
(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半 ; (4)勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为 a,b,斜边为 c, 则有 a2+b2=c2;
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(2)特殊角的三角函数的值:
角度 三角 30° 函数
1 sin α
2
cos α 3
2
tan α 3 3
45°
2 2 2 2 1
60°
3 2 1 2 3
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2.解直角三角形及其应用 (1)解直角三角形的类型:
已知条件
图形
一直角边和一锐 角(a,∠A)