例谈如何证明正整数的连续分拆问题

正整数的分拆是一个并不十分古老的问题，18世纪的莱布尼茨首先对其进行了研究，后来欧拉将它发展成一套较完整的分拆理论，从此以后对正整数的分拆问题引起了许多研究者的兴趣。

如今正整数的分拆问题在平时的智力测验、数学竞赛以及一些招考考试的试题中，可以说是屡见不鲜，并且现在它也成了组合数学、数论以及图论研究的重要课题，近年来数学工作者在这方面已取得了丰硕的研究成果。

正整数的拆分过程就是将正整数n分解为若干个正整数的和，在不考虑求和顺序的情况下，一般假设n＝n1+n2+…+nk，n1≥n2≥…≥nk。

而所谓正整数的连续拆分是指将n表示为两个或者多个连续的正整数之和。

是不是所有正整数n都能拆分成连续正整数的和呢?如果不是，哪些能拆分成连续正整数的和，哪些又不能拆分成连续正整数的和呢？
在本文中用到的n，m，k，i这些量都是正整数。

下面我们首先给出文中的一个引理。

引理：设正整数n恰有m个不同的正奇约数，那么n拆分成连续正整数的和，共有m种拆法。

定理1：如果正整数n（n>1）为奇数，则n必能拆分成连续自然数之和。

证明：由于n为奇数，则为整数，那么和 +1
是两个连续正整数，且有+（+1）=n。

故结论成立。

定理2：若n为正偶数，并且它没有除1之外的正奇约数，则这样的n不能拆分成连续正整数之和。

即2i不能拆分成连续正整数之和。

证明：假设2i能拆分成连续正整数之和。

不妨设第一个数为k，共有m个，则最后一个为是k+m-1，那么 ?m=2i，
即[（2k―1）+m]?m=2i+1。

由于2k-1为奇数，若m为偶数，则[（2k-1）+m]为奇数，那么这表明2i+1含有不为1的正奇因数，但这是不可能的。

若m为奇数，同上也是不可能的。

综上所述，2i不能分拆成连续的正整数之和。

定理3：除了形如2i之外的任何正偶数n，都可以拆分成连续自然数之和。

证明：因为除了形如2i之外的任何正偶数都至少有一个除1之外的正奇因数，故由引理知道这种正偶数n是可以拆分成连续自然数之和的。

例如，当n为20时，20可以表示为2+3+4+5 +6；当n为36时，36可表示为11+12+13。

定理4：设n是奇数k的倍数，即n=k?m，当m≥时，n总可分成k个连续的整数和，且最中间的一个自然数为m。

证明：设n＝k?m，给出m个数：m-( )，…，m-1，m，m+1，…，m+（）则它们的和为 ?k =k?m故结论得证。

例如，取n=45，则45＝7+8+9+10+11，9的两侧对称的有两个连续正整数。