质心 质心运动定理 动量守恒定律
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两小孩在纯Байду номын сангаас力作用下，将在他们共同的质心 相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。
动量守恒定律
例 一质量m1 50kg 的人站在一条质量为 m2 200kg ， 长度 l 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
设 cb 表示 船本身的质心
i
Fi 0
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
4. 火箭飞行
前 苏 联 东 方 1 号 火 箭
长 征 三 号 运 载 火 箭
M mi
直角坐标系中
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
rc mi ri / M
质 心
对于质量连续分布的物体
rc r d m / M xc x d m / M 分量形式 yc y d m / M zc z d m / M
动量守恒定律
x1 x10 v1dt
t 0
(1) (2)
x2 x20 v2dt
t 0
在相遇时，x1=x2=xc，于是有
x10 v1dt x20 v 2dt
t t 0 0
即
x10 x20 (v 2 v1 )dt
t 0
(3)
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（3）得
xc
x1
m1 x1 m2 x 2 m1 m2
x1
cb cb
x
x2 x2
d
xc xc
动量守恒定律
d m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 l-d m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2 )
d
y
m1 m1 m2
180
0
v2 0 因 tg 1, 45 , 所以 v1
0 即 v1 和 v3及 v2都成 135 且三者都在同一平面内
1350
动量守恒定律
例题3-10 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将 在何处相遇？
火 箭 发 射
4. 火箭飞行
设在某一瞬时 t ，火箭的 ，在其 质量为 m ，速度为 v 后 t 到 t d t 时间内，火箭喷 出了质量为 d m 的气体， m 是 d 质量 m 在 d t 时间内的增量， 喷出的气体相对于火箭的速 ，使火箭的速度增加 度为 u 了d v 。 喷气前总动量为：mv
x10 x20
m1 m1 m2 － ( 1)v1dt 0 m2 m2
t
－v dt
t 0 1
动量守恒定律
即
m2 x20 m2 x10 0 v1dt m1 m2
t
代入式（1）,并令x1=xc得
m2 x20 m2 x10 m2 x20 m1 x10 (4) xc x10 m1 m2 m1 m2
l 0.8(m)
x1
cb cb
x
x1
o
x2 x2
d
动量守恒定律
d m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 l-d m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2 )
d
y
m1 m1 m2
l 0.8(m)
x1
cb cb
x
x1
M
M-dm
v
v dv
t时刻
u
dm t+dt时刻
喷气后火箭的动量为： (m d m)(v d v ) 所喷出燃气的动量为： ( d m)(v u )
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv (m d m)(v d v) ( d m)(v u )
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn ui ln N i
i 1 n
ui
Ni
第i级火箭喷气速率
第i级火箭质量比
人造卫星
第一宇宙速度
人造卫星
星下点轨迹
人造卫星
多颗卫星组成的全球定位系统（GPS)
动量守恒定律
例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律
1. 质心
质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
Y
C
O
抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
质 心
对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,mN
r1 , r2 ,, ri , rN
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0），
3. 动量守恒定律
则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒 定律。 条件
mi vi =常矢量 定律 vc M P mi vi m v c =常矢量
0
O
x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
质 心
例1：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 Y
dy
已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为dy的 薄圆盘为质量微元。
R
X
O
d m R y d y
2 2
yc
ydm
m
质 心
yc
ydm
R
m
0
y( R
质心运动定理
质心的加速度为
ac
d vi mi d vc d t mi ai dt mi mi
由牛顿第二定律得
d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 22 f 23 f 2 n dt d vn mn an mn Fn f n 2 f n 3 f nn dt
m2
C x10
m1
O x20
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不 受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右 为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2，相应坐标为x1和x2，由运动学公式得
质心运动定理
对于内力 f12 f 21 0,, f in f ni 0, mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac 质心运 mi 动定理 Fi Mac
它的水平分量为
ux v cos V
于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而 炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理 有
MV mv cos V 0
m V v cos m M
由此得炮车的反冲速度为
动量守恒定律
例题3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等， 且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块 的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速 度（大小和方向）。 解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此 可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍 m1 v 1 m2 v 2 m3 v 3 0 等于零，即 所以，这三个动量必处于 同一平面内，且第三块的动量 必和第一、第二块的合动量大 小相等方向相反，如图所示。 因为v1和v2相互垂直所以
解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所 以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标 轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元，由于 面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。 设 薄板每单位面积的质量为 ，则此面积元的质量
y a
dm 2 xdx 三角形质心坐标xc是 a/ 2 2 xdm 0 2x dx 2 a xc a/ 2 3 dm 2xdx
线分布 面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
质 心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
质 心
例题3-7求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
化简
dm d v u m dm v1 d v m1 u m m1 v2 v1 u ln m2
v2 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M 0 ，燃 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v M 0 u u ln m M
M
m
v
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖 直方向上的外力有重力 G和地面支持力 N ，而 且 G N ，在发射过程中 G N并不成立 （想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为 零，所以这一系统的总动量不守恒。
动量守恒定律
经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速 度 u ，按速度变换定理为 u v V
o
x2 x2
d
x1
o
x1
cb cb
x
x2 x2
d
动量守恒定律
当人站在船的左端时
xc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
当人站在船的右端时
对船和人这一系 统，在水平方向上不 y 受外力，因而在水平 方向的质心速度不变。 又因为原来质心静止， 所以在人走动过程中 质心始终静止，因而 o 质心的坐标值不变。
2
2
y )d y
2
R
R 0
2R 3 / 3
y2 d y2
3
4R
/3
R 0
3( R 2 y 2 y 4 / 2) 4R3
4
3R / 2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球 心3R/8处。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 的位矢是：
n个质点组成，它的质心
mi ri rc mi m1r m2 r2 mn rn 1 m1 m2 mn 质心的速度为 d ri mi d rc d t mi vi vc dt mi mi
m3v3 m1v1
m2v2
动量守恒定律
( m3v 3 ) 2 ( m1v1 )2 ( m2 v 2 )2
由于 m1 m2 m, m3 2m ,所以 v 3 的大小为
1 1 2 2 v3 v1 v 2 30 2 302 21.2m / s 2 2 由于 v 1和 v 3 所成角由下式决定：
动量守恒定律
例 一质量m1 50kg 的人站在一条质量为 m2 200kg ， 长度 l 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
设 cb 表示 船本身的质心
i
Fi 0
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
4. 火箭飞行
前 苏 联 东 方 1 号 火 箭
长 征 三 号 运 载 火 箭
M mi
直角坐标系中
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
rc mi ri / M
质 心
对于质量连续分布的物体
rc r d m / M xc x d m / M 分量形式 yc y d m / M zc z d m / M
动量守恒定律
x1 x10 v1dt
t 0
(1) (2)
x2 x20 v2dt
t 0
在相遇时，x1=x2=xc，于是有
x10 v1dt x20 v 2dt
t t 0 0
即
x10 x20 (v 2 v1 )dt
t 0
(3)
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（3）得
xc
x1
m1 x1 m2 x 2 m1 m2
x1
cb cb
x
x2 x2
d
xc xc
动量守恒定律
d m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 l-d m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2 )
d
y
m1 m1 m2
180
0
v2 0 因 tg 1, 45 , 所以 v1
0 即 v1 和 v3及 v2都成 135 且三者都在同一平面内
1350
动量守恒定律
例题3-10 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将 在何处相遇？
火 箭 发 射
4. 火箭飞行
设在某一瞬时 t ，火箭的 ，在其 质量为 m ，速度为 v 后 t 到 t d t 时间内，火箭喷 出了质量为 d m 的气体， m 是 d 质量 m 在 d t 时间内的增量， 喷出的气体相对于火箭的速 ，使火箭的速度增加 度为 u 了d v 。 喷气前总动量为：mv
x10 x20
m1 m1 m2 － ( 1)v1dt 0 m2 m2
t
－v dt
t 0 1
动量守恒定律
即
m2 x20 m2 x10 0 v1dt m1 m2
t
代入式（1）,并令x1=xc得
m2 x20 m2 x10 m2 x20 m1 x10 (4) xc x10 m1 m2 m1 m2
l 0.8(m)
x1
cb cb
x
x1
o
x2 x2
d
动量守恒定律
d m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 l-d m1 ( x1 x1 ) m2 ( x2 x2 )
d
y
m1 m1 m2
l 0.8(m)
x1
cb cb
x
x1
M
M-dm
v
v dv
t时刻
u
dm t+dt时刻
喷气后火箭的动量为： (m d m)(v d v ) 所喷出燃气的动量为： ( d m)(v u )
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv (m d m)(v d v) ( d m)(v u )
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn ui ln N i
i 1 n
ui
Ni
第i级火箭喷气速率
第i级火箭质量比
人造卫星
第一宇宙速度
人造卫星
星下点轨迹
人造卫星
多颗卫星组成的全球定位系统（GPS)
动量守恒定律
例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
§3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律
1. 质心
质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
Y
C
O
抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
质 心
对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,mN
r1 , r2 ,, ri , rN
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0），
3. 动量守恒定律
则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒 定律。 条件
mi vi =常矢量 定律 vc M P mi vi m v c =常矢量
0
O
x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
质 心
例1：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 Y
dy
已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为dy的 薄圆盘为质量微元。
R
X
O
d m R y d y
2 2
yc
ydm
m
质 心
yc
ydm
R
m
0
y( R
质心运动定理
质心的加速度为
ac
d vi mi d vc d t mi ai dt mi mi
由牛顿第二定律得
d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 22 f 23 f 2 n dt d vn mn an mn Fn f n 2 f n 3 f nn dt
m2
C x10
m1
O x20
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不 受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右 为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2，相应坐标为x1和x2，由运动学公式得
质心运动定理
对于内力 f12 f 21 0,, f in f ni 0, mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac 质心运 mi 动定理 Fi Mac
它的水平分量为
ux v cos V
于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而 炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理 有
MV mv cos V 0
m V v cos m M
由此得炮车的反冲速度为
动量守恒定律
例题3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等， 且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块 的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速 度（大小和方向）。 解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此 可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍 m1 v 1 m2 v 2 m3 v 3 0 等于零，即 所以，这三个动量必处于 同一平面内，且第三块的动量 必和第一、第二块的合动量大 小相等方向相反，如图所示。 因为v1和v2相互垂直所以
解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所 以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标 轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元，由于 面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。 设 薄板每单位面积的质量为 ，则此面积元的质量
y a
dm 2 xdx 三角形质心坐标xc是 a/ 2 2 xdm 0 2x dx 2 a xc a/ 2 3 dm 2xdx
线分布 面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
质 心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
质 心
例题3-7求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
化简
dm d v u m dm v1 d v m1 u m m1 v2 v1 u ln m2
v2 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M 0 ，燃 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v M 0 u u ln m M
M
m
v
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖 直方向上的外力有重力 G和地面支持力 N ，而 且 G N ，在发射过程中 G N并不成立 （想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为 零，所以这一系统的总动量不守恒。
动量守恒定律
经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速 度 u ，按速度变换定理为 u v V
o
x2 x2
d
x1
o
x1
cb cb
x
x2 x2
d
动量守恒定律
当人站在船的左端时
xc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
当人站在船的右端时
对船和人这一系 统，在水平方向上不 y 受外力，因而在水平 方向的质心速度不变。 又因为原来质心静止， 所以在人走动过程中 质心始终静止，因而 o 质心的坐标值不变。
2
2
y )d y
2
R
R 0
2R 3 / 3
y2 d y2
3
4R
/3
R 0
3( R 2 y 2 y 4 / 2) 4R3
4
3R / 2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球 心3R/8处。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 的位矢是：
n个质点组成，它的质心
mi ri rc mi m1r m2 r2 mn rn 1 m1 m2 mn 质心的速度为 d ri mi d rc d t mi vi vc dt mi mi
m3v3 m1v1
m2v2
动量守恒定律
( m3v 3 ) 2 ( m1v1 )2 ( m2 v 2 )2
由于 m1 m2 m, m3 2m ,所以 v 3 的大小为
1 1 2 2 v3 v1 v 2 30 2 302 21.2m / s 2 2 由于 v 1和 v 3 所成角由下式决定：