(完整版)一般形式的柯西不等式
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一般形式的柯西不等式 课件
答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
即 1 n
a1 a2 ... an
2
a12 a22 ... an2
.
例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明 a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.
分析
上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的 式子，特别是右边式子的字母排列顺序启 发我们，可以用柯西不等式进行证明.
此时，有唯一实数x0，使aix0+bi=0(i=1,2,…,n).
若若xx00=≠00，，则则有b1k=b2=…abii =，bn=总0之,(*，)式当成且立仅；
当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时， 等号成立.
定理（一般形式的柯西不等式）
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得 ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.
2
ab
bc
cd
da
2
,
即a2 b2 c2 d 2ab bc cd da
例3
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式，联 系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32） 作为一个因式而解决问题.
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
一般形式的柯西不等式
+
n
2 1
2 2
2 n
课堂练习: 课堂练习: P 41 6. 设 x1 , x2 ,L xn ∈ R+ , 且x1 + x2 + L + xn = 1, 练习
2 2 xn x12 x2 1 ≥ + +L + 求证: 1 + x1 1 + x 2 1 + xn n+1
2 2 xn x12 x2 (n 证明： 证明： + 1) ⋅ ( 1 + x + 1 + x + L + 1 + x ) n 1 2 2 x12 x2 = (1 + x1 + 1 + x2 + L + 1 + xn ) ⋅ ( + + 1 + x1 1 + x2 2 xn x1 x2 ) ≥ ( 1 + x1 ⋅ L+ + 1 + x2 ⋅ 1 + xn 1 + x1 1 + x2
(2)若 a1 , a 2 , L , a n中至少有一个不为0 则a + a + L + a > 0
2 1 2 2 2 n
又f ( x ) = (a1 x + b1 ) 2 + (a 2 x + b2 ) 2 + L + (a n x + bn ) 2 ≥ 0
∴ 二次函数 f ( x )的判别式 ∆ ≤ 0 , 即
一般形式的柯西不等式
研究柯西不等式可以抓住“数形结合” 研究柯西不等式可以抓住“数形结合”的思 想
（1）从柯西不等式的代数形式出发，寻找它的几何背景； ）从柯西不等式的代数形式出发，寻找它的几何背景；
一般形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
人教版高中数学选修4-5课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式ppt课件
4.经历由二维形式的柯西不等式向 n 维形式的柯西不 等式的类比过程，发现柯西不等式的实质(难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．
2．定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 是两个向量，则|α· β|≤|α||β|，当且仅当 β 是 零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．
2 2 a2 ＋ a ＋„＋ a 1 2 n .( n
)
解析：由定理 1 易知(1)(2)正确．由一般形式的柯西 不等式可知：当 ai，bi 取特殊值时，可得(3)(4)，故(3)(4) 正确． 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．若 a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则 ax＋by 的最大值为 ( ) A． 1 B． 2 C. 2 D． 4
第三讲
柯西不等式与排序不等式
3． 1 3． 2
二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式
[学习目标]
1.认识二维形式的柯西不通过对二维柯西不等式多种形式的证明， 掌握它们之间的 关系，进一步理解柯西不等式的意义(重点)． 3.认识柯
西不等式的一般形式， 理解它的几何意义， 能利用柯西不 等式解决问题(重点、难点)．
[ 变式训练 ]
(1) 已知函数 f(x) ＝ （x－1）2＋1 ＋
（x＋1）2＋1，则 f(x)的最小值为________． (2)设 a， b， c 为正数， 且 a＋2b＋3c＝13， 求 3a＋ 2b ＋ c的最大值． (1)解析：f(x)＝ （x－1）2＋1＋ （x＋1）2＋1＝
（x－1）2＋（0－1）2 ＋ ≥
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
高考数学 一般形式的柯西不等式
柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的
目的.在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成
立的条件，而且要善于构造，技巧如下：
①巧拆常数；
②重新安排某些项的次序；
③结构的改变从而达到使用柯西不等式；
④添项.
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课堂讲义
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跟踪演练 3 已知 a、b、c、d∈R＋，且 a＋b＋c＋d＝1，求 证：a2＋b2＋c2＋d2≥14. 证明 根据柯西不等式，有 (a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2＝1， ∴a2＋b2＋c2＋d2≥14. 当且仅当 a＝b＝c＝d＝14时，等号成立.此时，a2＋b2＋c2 ＋d2 取到最小值14.
≥
ba×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a2 c
＝(1＋1＋1)2＝9.∴原不等式成立.
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要点二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋
5z＋6的最大值. 解 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1× 2x＋1＋ 1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30. 当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即 x＝367，y＝298，z＝2125时等号成立，此时 umax＝2 30.
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2.在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件 记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？ 提示 不可以.不仅仅当ai＝kbi(i＝1，2，…，n) 时，等号成立，当bi＝0(i＝1，2，…，n)时等 号也成立.
2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
选修4 5 一般形式的柯西不等式
欧氏空间形式：对于任意的向量x和y，有|x*y| ≤ ||x|| * ||y||
概率形式：对于任意的概率分布P(x)和Q(y)，有∑P(x)Q(y) ≥ ∑min(P(x), Q(y))
柯西不等式的应用场景
数学分析：用于 证明不等式和求 极值
线性代数：用于 判断向量线性相 关性和矩阵特征 值
概率论与数理统 计：用于估计概 率分布和统计推 断
添加标题
证明方法：利用向量的点积性质和向量模长的性质进行证明。
添加标题
应用场景：在数学、物理、工程等领域中，高维形式的柯西不等式有着广泛的应用。
添加标题
注意事项：在使用高维形式的柯西不等式时，需要注意其适用条件和限制，避免出现错误的应 用。
柯西不等式的应用
05
举例
在数学领域的应用
线性代数：柯西不等式在向量和矩阵运算中的应用 概率论：在估计概率分布和计算期望值中的应用 微积分：在求函数极值和积分运算中的应用 复变函数：在处理复数域中的问题时可以发挥重要作用
概率证明方法
柯西不等式的概率证明方法是通过构造概率空间和随机变量实现的。 概率证明方法利用了数学期望和方差的性质，以及概率的归一化性质。 概率证明方法的关键在于构造合适的概率空间和随机变量，使得不等式的两边达到最优。 概率证明方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，是解决优化问题的一种重要工具。
01
添加章节标题
02
柯西不等式的定义
柯西不等式的数学表达
\((\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i b_i)^2\)
其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是实 数序列
序列的长度必须相等
柯西不等式的形式分类
概率形式：对于任意的概率分布P(x)和Q(y)，有∑P(x)Q(y) ≥ ∑min(P(x), Q(y))
柯西不等式的应用场景
数学分析：用于 证明不等式和求 极值
线性代数：用于 判断向量线性相 关性和矩阵特征 值
概率论与数理统 计：用于估计概 率分布和统计推 断
添加标题
证明方法：利用向量的点积性质和向量模长的性质进行证明。
添加标题
应用场景：在数学、物理、工程等领域中，高维形式的柯西不等式有着广泛的应用。
添加标题
注意事项：在使用高维形式的柯西不等式时，需要注意其适用条件和限制，避免出现错误的应 用。
柯西不等式的应用
05
举例
在数学领域的应用
线性代数：柯西不等式在向量和矩阵运算中的应用 概率论：在估计概率分布和计算期望值中的应用 微积分：在求函数极值和积分运算中的应用 复变函数：在处理复数域中的问题时可以发挥重要作用
概率证明方法
柯西不等式的概率证明方法是通过构造概率空间和随机变量实现的。 概率证明方法利用了数学期望和方差的性质，以及概率的归一化性质。 概率证明方法的关键在于构造合适的概率空间和随机变量，使得不等式的两边达到最优。 概率证明方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，是解决优化问题的一种重要工具。
01
添加章节标题
02
柯西不等式的定义
柯西不等式的数学表达
\((\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i b_i)^2\)
其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是实 数序列
序列的长度必须相等
柯西不等式的形式分类
柯西不等式 柯西不等式
柯西不等式柯西不等式柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1) =(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所以(a^2+b^2+c^2) =1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b| |a*b| ,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2 (x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1](a1 b1+a2 b2+a3 b3+...+an bn)^2(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式(a^2+b^2)+ (c^2+d^2) [(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：表示根向量形式| || | | |， =(a1，a2，，an)， =(b1，b2，...，bn)(n N，n 2)等号成立条件：为零向量，或 = ( R)。
一般形式( (ai^2))( (bi^2)) ( ai bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2= =an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+ )(x2+y2+ ) (xn+yn ) [( x)^(1/n)+( y)^(1/n)+ ]^n注： x 表示x1，x2，，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式E(X) E(Y) ∣E(XY)∣二维形式的证明(a +b )(c +d ) (a,b,c,d R)=a c +b d +a d +b c=a c +2abcd+b d +a d -2abcd+b c=(ac+bd) +(ad-bc)(ac+bd) ，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
10一般形式的柯西不等式
小结作业
1.柯西不等式反映了两组实数的平方和之积 与两两之积的和的平方的大小关系。它在证 明不等式和求组合变量的最值问题中有广泛 的应用.
2.使用柯西不等式时，要注意它的外在形式. 当所研究的代数式与柯西不等式的左边或右 边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西 不等式对这个代数式进行放缩，其中正确配 奏柯西不等式的外在形式是解题的关键.
迁移应用
例1 已知a1, a2, …, an都是实数,n∈N*.
求证：1 n
(a1
a2
L
an )2
a12 a22 L
an2
例2 已知a，b，c，d是不全相等的正 数，证明：
a2＋b2＋c2＋d 2＞ab＋bc＋cd＋da.
例3 已知x＋2y＋3z＝1，求x2＋y2＋ z2的最小值.
1
14
(a1b1 a2b2 L anbn )2
思考4：上述不等式可抽象为AC≥B2，即 (2B)2－4AC≤0，联想到判别式，如何构 造二次函数证明上述猜想？
f (x) (a12 a22 L an2 )x2
2(a1b1 a2b2 L anbn )x (b12 b22 L bn2 )
定理2(柯西不等式的向量形式）设α, β是两 个向量,则有|α·β|≤|α||β|, 当且仅当β 是零向量, 或存在实数k,使α=kβ时, 等号 成立.
思考2：由向量形式联想到空间向量,从 三维的角度思考问题，关于柯西不等式 有什么结论？
定理:(三维形式的柯西不等式[向量形式]) 若α,β为空间向量,设α＝(a1,a2,a3), β＝(b1,b2,b3)，则|α·β|≤|α||β|即：
(a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3)2
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个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积之和 最小？
选用：例5、已知 a1, a2 ,L , an 都是正实数，且
a12 a22 L an2 b12 b22 L bn2
2
2
2
a1 b1 a2 b2 L an bn
例 1 已知 a1 , a2 ,L , an 都是实数，求证：
1 n (a1 a2 L
an )2 ≤ a12 a22 L
an2
证明：
(12 12 L 12 )(a12 a22 L an2 )
(当 a12 且a22仅 L当bian2)(0b1(2 ib221,2L,bn2
)
,
≥n)或 (a1b存1 在a2b一2
个 L a数nbb
Hale Waihona Puke )2k, 使 得ai kbi (i 1,2, , n)时, 等 号 成 立。
即
n
ak 2
n
bk 2
n
ak bk
2
k 1
k 1
k 1
思考：一般形式的三角形不等式及其证明
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
∴二次函数 f x 的判别式 △≤0 ,
即 4(a1b1 a2b2 L anbn )2 4(a12 a22 L an2 ) (b12 b22 L bn2 ) ≤ 0
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数,则
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
几何意义
y
P1(x1, y1)
g P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
g
O
x
P2 (x2 , y2 )
P2 (x2 , y2 )
成立.∴ (a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
练习讨论：若 a,b, c, d 是正数，求证：
a b
b c
c a
b a
c b
a c
9
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
≥ (1 a1 1 a2 L 1 an )2
n(a12 a22 L an2 ) ≥ (a1 a2 L an )2
1 n (a1 a2 L
an )2 ≤ a12 a22 L
an2
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
继续
2答案
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明：
(a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2
∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不 bcd a
这两个结论也是非常有用的.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
三角不等式
（用柯西不等式证明）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(a12
a22
a32u)r(bu12r
b22
b32
)≥ (a1b1
a2b2
a3ubr3
)2
,
r
当且仅当 , 共线时,等号成立.即 0, 或存在一
个实数 k ,使得 ai kbi (i 1, 2, 3) 时,等号成立.
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不
等式吗？
猜想并证明
结论
猜想柯西不等式的一般形式
O
| x1 - x2 |
x
当三角形P1P2 P3在任意位置时 P1 x1, y1 , P2 x2, y2 , P3 x3, y3
显然有：
x1 x3 2 y1 y3 2 x2 x3 2 y2 y3 2
2
2
x1 x2 y1 y2
ur ur ur ur
探究 :从平面向量的几何背景能得到 ≥ ,
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )≥ (a1b1 a2b2 L anbn )2 ②
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2，不等式②就是AC ≥ B2
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x2 2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b12 b22 bn2 )
一般形式的柯西不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不
等 式 : (a12 a22 ) (b12 b22 ) ≥ (a1b1 a2b2 )2 , 当 且 仅 当
a1b2
a2b1
时,等号成立 . ur ur ur
类似地,从空间向量的几何 ur
背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
化简后 得三维形式的柯西不等式:
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
选用：例5、已知 a1, a2 ,L , an 都是正实数，且
a12 a22 L an2 b12 b22 L bn2
2
2
2
a1 b1 a2 b2 L an bn
例 1 已知 a1 , a2 ,L , an 都是实数，求证：
1 n (a1 a2 L
an )2 ≤ a12 a22 L
an2
证明：
(12 12 L 12 )(a12 a22 L an2 )
(当 a12 且a22仅 L当bian2)(0b1(2 ib221,2L,bn2
)
,
≥n)或 (a1b存1 在a2b一2
个 L a数nbb
Hale Waihona Puke )2k, 使 得ai kbi (i 1,2, , n)时, 等 号 成 立。
即
n
ak 2
n
bk 2
n
ak bk
2
k 1
k 1
k 1
思考：一般形式的三角形不等式及其证明
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
∴二次函数 f x 的判别式 △≤0 ,
即 4(a1b1 a2b2 L anbn )2 4(a12 a22 L an2 ) (b12 b22 L bn2 ) ≤ 0
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数,则
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
几何意义
y
P1(x1, y1)
g P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
g
O
x
P2 (x2 , y2 )
P2 (x2 , y2 )
成立.∴ (a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
练习讨论：若 a,b, c, d 是正数，求证：
a b
b c
c a
b a
c b
a c
9
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
≥ (1 a1 1 a2 L 1 an )2
n(a12 a22 L an2 ) ≥ (a1 a2 L an )2
1 n (a1 a2 L
an )2 ≤ a12 a22 L
an2
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
继续
2答案
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明：
(a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2
∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不 bcd a
这两个结论也是非常有用的.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
三角不等式
（用柯西不等式证明）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(a12
a22
a32u)r(bu12r
b22
b32
)≥ (a1b1
a2b2
a3ubr3
)2
,
r
当且仅当 , 共线时,等号成立.即 0, 或存在一
个实数 k ,使得 ai kbi (i 1, 2, 3) 时,等号成立.
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不
等式吗？
猜想并证明
结论
猜想柯西不等式的一般形式
O
| x1 - x2 |
x
当三角形P1P2 P3在任意位置时 P1 x1, y1 , P2 x2, y2 , P3 x3, y3
显然有：
x1 x3 2 y1 y3 2 x2 x3 2 y2 y3 2
2
2
x1 x2 y1 y2
ur ur ur ur
探究 :从平面向量的几何背景能得到 ≥ ,
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )≥ (a1b1 a2b2 L anbn )2 ②
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2，不等式②就是AC ≥ B2
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x2 2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b12 b22 bn2 )
一般形式的柯西不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不
等 式 : (a12 a22 ) (b12 b22 ) ≥ (a1b1 a2b2 )2 , 当 且 仅 当
a1b2
a2b1
时,等号成立 . ur ur ur
类似地,从空间向量的几何 ur
背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
化简后 得三维形式的柯西不等式:
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一