1.简谐振动解析

2 T
注意：T,υ,ω只由振动系统自身的性质决定 .
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k 例：弹簧振子: 圆频率 m 1 k 频率 ν 周期 T 2 m 2π m k 4 相位和初相 (t + ) --- 相位 决定t 时刻物体的运动状态 --- 初相位, t = 0时的相位 决定t=0时物体的运动状态 例： (t + ) π 2 x0 v0 x 0 v 0 π 2 状态不同
J 2π J L' T= = 2π = 2π ω mgL g
dt
2
+
θ =0
ω =
mL 等效摆长
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L' =
9
L
x
T
由上 x = Acos(t+) ω = k m (1) t=0, x0=L v0=0 → A = x 0 = L , =0 ∴振动方程 x=L cos( t) k m t) Lcos(ω (2) t=0, x0=0, v0<0
2 v 2 A x0 02 v0 tg , x0
第九章 机械振动
机械振动? 物体在一定位置附近来回往复运动. 广义振动? 物理量在某一数值附近作周期性 的变化. 如: 交流电, 无线电波. 最简单,最基本的振动------简谐振动 任何振动都可看成是简谐振动的迭加! 一切复杂的振动都可以分解为一系列的 简谐振动。
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§9-1. (简)谐振动
一.谐振动的定义
O
解: mg-T= m d x 2 dt x0 T=k(x+x T=kx 0) 2 mg-kx-kx0= m d x 2
2 2
T0
dt mg d x kx m 2 mg dt d2x k x 0 ω2 = k m X 2 dt m 平衡: T0=mg=kx0
x = Acos(t+) 选平衡处为坐标原点
若t=0,φ=0, φ=π
xA v0 x A v 0
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5. A和的计算 法1：由初始条件求
x0 = Acos , t＝ 0 v = -ω A sin(ω t +φ ) v0= -Asin
x = Acos(t+)
v 2 A x0
1 2 2 1 2
2 0 2
v0 tg , x0
2 1 2 2
法2：由机械能守恒求
mv0 + kx0 = mv + kx 2 2 v v 2 2 A x0 02 = x + 2 ω
2
1 2
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例1:轻弹簧k,重物m,平衡后再拉下L米,放 手后任其自由振动.求振动方程？ (1) t=0,x0=L,v0=0; (2) t=0, x0=0, v<0;
x
1. f = -kx 胡克定律 特征: f x,
2
d x 2. f ma m 2 = -kx dt 2 d x 2 k 2 令： x0 2 m dt 3.微分方程的解: x A cos( t )
方向与位移相反.
0
X
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二. 谐振动的运动规律 1. 位移
dx A sin(t ) 2.速度 v dt 2 dx 3. 加速度 2 a 2 ω A cos(ω t φ ) dt 2 图示 ω x xt x
振动方程
x A cos( t )
k m
2
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由初始条件定A,Φ
单摆与复摆
单摆与复摆的结 构 如图所示 . 它 们的受力都可以 用简谐振动方程 描 述 . 其运 动 都 可以用简谐运动 方 程表示 , 都 是 谐振子的一种.

mg
mg 单摆 复摆
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§9-3 单摆
设单摆摆长为L,求摆动很小(θ<5°)时,振动 的角频率和周期. 解:重力的切向分力(回复力) L F=-mgsin -mg 负号表示回复力的方向与角位移反.
设 φ=0
x A cos( t )
o
v
a
vt
at
5
t
三 描述谐振动的物理量 1 振幅A---离开平衡位置的最大距离.(A恒>0) 2 周期T---物体一次完全振动所经历的时间
x = Acos(t+) = Acos[( t +T )+]
T = 2
3 频率υ---单位时间内物体作完全振动的次数 1 2π ω-圆频率 ν ω 2π ν (角频率) T T
2
2
dθ d x mg m 2 = mL 2 at L dt dt 2 2 g d d 0 mg g L 2 2 dt L dt g L 周期 : T 2 角频率: g L
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*复摆: 质心在c处， oc=L 转动惯量J ( 5 ) 重力矩 M＝- mgLsinθ≈- mgL θ 负号表示回复力矩M的方向始终 o L 与角位移θ方向反。 θ c 由转动定律 M=Jα 2 dθ - mgL θ= Jα = J 2 dt 2 mg mgL d θ mgL 2
0 = Acos, =±/2 T v =-Asin <0 取= /2 sin >0 =/2 mg ∴振动方程 x = L cos( k m t + π 2)
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ห้องสมุดไป่ตู้
讨论:如图示 如何判定谐振动? x 选平衡位置为坐标原点o
o k
m x 0
θ
平衡时 mgsinθ= kx0 为坐标o m在任意位置 受合力 F=-k(x+x0)+ mgsinθ= -kx 谐振动
课序
•本学期讲授内容：下册(第9,10,11,13章)
•教参:本科工科类教材,教辅
要求：态度正 方法好 良性循环 •作业：周二上课前交 （作业真正搞懂）
•答疑：周二下午 3:30 – 4:30
•地点：第一教学楼 319
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第九章教学基本要求
1 掌握描述简谐运动的各个物理量（特别 是相位）的物理意义及各量间的关系. 2 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表 示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析. 3 掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐 运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一 维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义. 4 理解同方向、同频率简谐运动的合成规 律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点. 5 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生 2 条件及规律.