初等模型
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A 0
yo
.
.
B
p
.
C
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
xo x
2.4 交通流与道路通行能力
现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象， 背 景
在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长
的汽车队伍等待放行.通过信号灯控制等管理手 段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程 面临的重要课题之一.
模型 np fv, f 建立 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n sv2, v n1/9
pw
v (n/s)1/3 s n2/3
比赛成绩 t n – 1/9
模型检验
n 1 2 4 8 t 7.21 6.88 6.32 5.84
利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验.
流量q
qm
0
速度v vf vm
0
km
kj
vf
vm km kj 密度k
0
km=kj / 2 ~最大流量时的密度 vm=vf / 2 ~最大流量时的速度 qm 流量q
城市干道的通行能力
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. • 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态； • 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交
t
7.21 6.88 6.32 5.84
•
• •
4
•
8 n
t an
线性最小二乘法
b
1
2
logt a b logn
t 7.21n
0.11
与模型吻合！
划艇比赛的成绩
• 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. • 利用物理基本知识分析问题. • 模型假设比较粗糙. • 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模 (只考虑各种艇的相对速度).
N 1000 v / d
• d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关.
d d1 d 2 d 3 d 4 vt0 cv2 d 3 d 4
d1~刹车时司机在反应时间t0 内汽车行驶的距离.
d2~刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.
c~与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数.
x
.
p2
x
• 单调减(x增加, y减小) • 下凸(凸向原点) • 互不相交 在 p1 点占有 x 少、 y 多， 宁愿以较多的 y 换 取较少的 x; 在 p2 点占有 y 少、 x 多， 就要以较多的 x换取 较少的 y.
分析与建模
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具 有相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c1 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x'O'y', 且反向）
Q1
墙 单 层 2d
•材料均匀，热传导系数为常数.
室 外 T2
T 热传导定律 Q k d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
室 内 T1
Ta T b
d l d
室 外 T2
Q1
墙
T1 Ta Ta Tb k Tb T2 Q1 k1 k2 1 d d l T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
• 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; • 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通 题 行能力. 问
交通流的基本参数及其特性
交通流~ 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形 成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响 . 借用物理学概念 , 将交通流看作一辆辆汽车组成的连
续流体, 用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.
• 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！)
2.3
实物交换
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案.
y 用 x, y分别表示甲 (乙 )占有 yo• X, Y 的数量。设交换前甲 占有X的数量为x0, 乙占有Y y 的数量为y0, 作图：
.
p
• 0 x xo x 若不考虑双方对X, Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)
前进 动力 浸没 面积 前进 阻力
赛艇 速度
艇 重
赛艇 速度
• 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 . • 运用合适的物理定律建立模型.
模型假设
符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W. 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 艇的静态特性 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 3）w相同，p不变，p与w成正比 艇的动态特性 桨手的特征
都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).
分析与建模
甲的无差别曲线
M
如果甲占有 (x1, y1) 与占有 y yo (x2, y2) 具有同样的满意程 度,即p1, p2对甲是无差别的. y1
.
M1
p1
将所有与p1, p2无差别的点 N 2 y2 连接起来, 得到一条无差别 N 0 x1 x2 xo x 曲线MN. 线上各点的满意度相同, 线形状反映对X,Y的偏爱程度.
交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间t0 =1s，系数c=0.01, 安全距离 d3=2m，小型车辆的标准长度d4=5m.
v N 10 958 20 30 40 50 60 70 928 80 858 90 797 100 742 1208 1233 1173 1090 1006
当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小.
信号灯控制的十字路口的通行能力
典型的十字路口
北 西
东西方向有3条车道：左 转、直行、直右混行 南北方向有2条车道：左 转、直右混行
信号灯控制采用4相位方案
东 南
相位A
相位B
相位C
相位D
信号灯控制的十字路口的通行能力 • 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后 第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时 间间隔通过停止线.
2.1 双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失.
•热量传播只有传导，没有对流.
室 内 T1
双层 d l d
室 外 T2
假 •T1,T2不变，热传导过程处于稳态. 设 建 模
室 Q ~单位时间单位面积传导的热量 内 T1 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数
结果分析
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数 k2极低, 而 这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、…损 失的热量更多.
实际上双层窗的功效不会如此之大!
2.2
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人
划艇比赛的成绩
对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立 数学模型揭示这种关系.
流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h ) 速度v ~某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km )
3个参数之间的基本关系
q vk
交通流的基本参数及其特性 1935年，Greenshields 速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 线性模型 v v f (1 k / k j ) vf ~畅行车速(k=0时) 对数模型 v v1 ln(k j / k ) 司机被迫减速
d3~两车之间的安全距离，d4~车辆的标准长度.
制动距离与车速的模型
d 2 cv 2
制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候…
设计制动器的合理原则：
常数
最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.
模型假设
刹车时使用最大制动力 F ， F 作的功等于汽车动能的改变，
且F与车的质量m成正比.
第二章
初等模型
2.1 双层玻璃窗的功效 2.2 划艇比赛的成绩 2.3 实物交换 2.4 交通流与道路通行能力
2.5 核军备竞赛
2.6 天气预报的评价
初 等 模 型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 尽量采用简单的数学工具来建模
3600 t g t0 某一相位下每小时通过停止线 S ( 1) T ts 的最大车辆数(单行道) S (辆/h)
Fd2=
mv2/2
Fm
d 2 cv
2
城市干道的通行能力
N 1000 v / d
1000 N t0 d3 d4 cv 3.6 v
Nm 1000 t0 2 c(d 3 d 4 ) 3 .6
d vt0 cv d3 d4
2
v
d3 d4 c
最大通 行能力
守的估计，取k1/k2=16
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材料的单 层玻璃窗相比，可减少97%的热 量损失.
适合车流密度适中的情况 kj~阻塞密度(v=0时) 车流密度较大时适用
v1~ k=kj/e时的车速(理论上), 由观测数据确定.
指数模型 v v f exp(k / k j ) 车流密度较小时适用
交通流的基本参数及其特性
q vk
q k j v(1 v / v f )
v v f (1 k / k j ) q v f k (1 k / k j )
y
g(x,y)=c2
c2
O
x
O'
两族曲线切点连线记作AB
x' y
yo
双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上!
因为在AB外的任一点p', (双方)满意度低于AB上的点p.
O
•p
A
B
P'
•
f=c1
xo x y'
g=c2
交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x, y) 0 x x0, 0 y y0 交换路 AB与CD 的交点p 矩形内任一点 径AB 等价交 双方的无差别曲线族 换原则 y X,Y 用货币衡量其价值，设 D 交换前 x0, y0 价值相同，则 等价交换原则下交换路径为 (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD.
2000m成绩 t (分) 艇长l 1 2 3 4 平均 (m) 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b (m) 0.293 0.356 0.574 0.610
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 Q2 k1 2d
T1 T2 Q1 k1 d ( s 2)
室 内 T1
2d
室 外 T2
双层与单层窗传导的热量之比
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
对Q1比Q2的减少量作最保
Q1 Q2
k1=4~8 10-3 (J/cm· s· kw· h), k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
通拥堵.
饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度. 城市干道的通行能力 ~ 在理想的道路和交通条件下， 当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小 车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的 最大车辆数N (辆/h).
城市干道的通行能力 单位时间内通过的最大车辆数N v~车速 (km/h)， d~最小车头间隔(m)
l/ b 27.0 27.4 21.0 30.0
空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
准 调查赛艇的尺寸和质量 备
l /b, w0/n 基本不变
问题分析 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:
• 前进动力 ~ 桨手的划桨功率
• 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 浆手 数量 划桨 功率
1
. p .
P3(x3,y3)
比 MN 各点满意度更高的点如 p3 ，在另一条无差别曲 线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.
甲的无差别曲线 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度
wenku.baidu.com
y
f(x,y)=c1
y
.
x
p1
c1
（f ~等满意度曲线） 无差别曲线族的性质：
0
y
yo
.
.
B
p
.
C
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
xo x
2.4 交通流与道路通行能力
现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象， 背 景
在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长
的汽车队伍等待放行.通过信号灯控制等管理手 段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程 面临的重要课题之一.
模型 np fv, f 建立 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n sv2, v n1/9
pw
v (n/s)1/3 s n2/3
比赛成绩 t n – 1/9
模型检验
n 1 2 4 8 t 7.21 6.88 6.32 5.84
利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验.
流量q
qm
0
速度v vf vm
0
km
kj
vf
vm km kj 密度k
0
km=kj / 2 ~最大流量时的密度 vm=vf / 2 ~最大流量时的速度 qm 流量q
城市干道的通行能力
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. • 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态； • 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交
t
7.21 6.88 6.32 5.84
•
• •
4
•
8 n
t an
线性最小二乘法
b
1
2
logt a b logn
t 7.21n
0.11
与模型吻合！
划艇比赛的成绩
• 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. • 利用物理基本知识分析问题. • 模型假设比较粗糙. • 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模 (只考虑各种艇的相对速度).
N 1000 v / d
• d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关.
d d1 d 2 d 3 d 4 vt0 cv2 d 3 d 4
d1~刹车时司机在反应时间t0 内汽车行驶的距离.
d2~刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.
c~与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数.
x
.
p2
x
• 单调减(x增加, y减小) • 下凸(凸向原点) • 互不相交 在 p1 点占有 x 少、 y 多， 宁愿以较多的 y 换 取较少的 x; 在 p2 点占有 y 少、 x 多， 就要以较多的 x换取 较少的 y.
分析与建模
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具 有相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c1 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x'O'y', 且反向）
Q1
墙 单 层 2d
•材料均匀，热传导系数为常数.
室 外 T2
T 热传导定律 Q k d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
室 内 T1
Ta T b
d l d
室 外 T2
Q1
墙
T1 Ta Ta Tb k Tb T2 Q1 k1 k2 1 d d l T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
• 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; • 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通 题 行能力. 问
交通流的基本参数及其特性
交通流~ 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形 成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响 . 借用物理学概念 , 将交通流看作一辆辆汽车组成的连
续流体, 用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.
• 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！)
2.3
实物交换
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案.
y 用 x, y分别表示甲 (乙 )占有 yo• X, Y 的数量。设交换前甲 占有X的数量为x0, 乙占有Y y 的数量为y0, 作图：
.
p
• 0 x xo x 若不考虑双方对X, Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)
前进 动力 浸没 面积 前进 阻力
赛艇 速度
艇 重
赛艇 速度
• 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 . • 运用合适的物理定律建立模型.
模型假设
符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W. 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 艇的静态特性 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 3）w相同，p不变，p与w成正比 艇的动态特性 桨手的特征
都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).
分析与建模
甲的无差别曲线
M
如果甲占有 (x1, y1) 与占有 y yo (x2, y2) 具有同样的满意程 度,即p1, p2对甲是无差别的. y1
.
M1
p1
将所有与p1, p2无差别的点 N 2 y2 连接起来, 得到一条无差别 N 0 x1 x2 xo x 曲线MN. 线上各点的满意度相同, 线形状反映对X,Y的偏爱程度.
交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间t0 =1s，系数c=0.01, 安全距离 d3=2m，小型车辆的标准长度d4=5m.
v N 10 958 20 30 40 50 60 70 928 80 858 90 797 100 742 1208 1233 1173 1090 1006
当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小.
信号灯控制的十字路口的通行能力
典型的十字路口
北 西
东西方向有3条车道：左 转、直行、直右混行 南北方向有2条车道：左 转、直右混行
信号灯控制采用4相位方案
东 南
相位A
相位B
相位C
相位D
信号灯控制的十字路口的通行能力 • 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后 第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时 间间隔通过停止线.
2.1 双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失.
•热量传播只有传导，没有对流.
室 内 T1
双层 d l d
室 外 T2
假 •T1,T2不变，热传导过程处于稳态. 设 建 模
室 Q ~单位时间单位面积传导的热量 内 T1 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数
结果分析
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数 k2极低, 而 这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、…损 失的热量更多.
实际上双层窗的功效不会如此之大!
2.2
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人
划艇比赛的成绩
对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立 数学模型揭示这种关系.
流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h ) 速度v ~某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km )
3个参数之间的基本关系
q vk
交通流的基本参数及其特性 1935年，Greenshields 速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 线性模型 v v f (1 k / k j ) vf ~畅行车速(k=0时) 对数模型 v v1 ln(k j / k ) 司机被迫减速
d3~两车之间的安全距离，d4~车辆的标准长度.
制动距离与车速的模型
d 2 cv 2
制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候…
设计制动器的合理原则：
常数
最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.
模型假设
刹车时使用最大制动力 F ， F 作的功等于汽车动能的改变，
且F与车的质量m成正比.
第二章
初等模型
2.1 双层玻璃窗的功效 2.2 划艇比赛的成绩 2.3 实物交换 2.4 交通流与道路通行能力
2.5 核军备竞赛
2.6 天气预报的评价
初 等 模 型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 尽量采用简单的数学工具来建模
3600 t g t0 某一相位下每小时通过停止线 S ( 1) T ts 的最大车辆数(单行道) S (辆/h)
Fd2=
mv2/2
Fm
d 2 cv
2
城市干道的通行能力
N 1000 v / d
1000 N t0 d3 d4 cv 3.6 v
Nm 1000 t0 2 c(d 3 d 4 ) 3 .6
d vt0 cv d3 d4
2
v
d3 d4 c
最大通 行能力
守的估计，取k1/k2=16
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材料的单 层玻璃窗相比，可减少97%的热 量损失.
适合车流密度适中的情况 kj~阻塞密度(v=0时) 车流密度较大时适用
v1~ k=kj/e时的车速(理论上), 由观测数据确定.
指数模型 v v f exp(k / k j ) 车流密度较小时适用
交通流的基本参数及其特性
q vk
q k j v(1 v / v f )
v v f (1 k / k j ) q v f k (1 k / k j )
y
g(x,y)=c2
c2
O
x
O'
两族曲线切点连线记作AB
x' y
yo
双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上!
因为在AB外的任一点p', (双方)满意度低于AB上的点p.
O
•p
A
B
P'
•
f=c1
xo x y'
g=c2
交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x, y) 0 x x0, 0 y y0 交换路 AB与CD 的交点p 矩形内任一点 径AB 等价交 双方的无差别曲线族 换原则 y X,Y 用货币衡量其价值，设 D 交换前 x0, y0 价值相同，则 等价交换原则下交换路径为 (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD.
2000m成绩 t (分) 艇长l 1 2 3 4 平均 (m) 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b (m) 0.293 0.356 0.574 0.610
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 Q2 k1 2d
T1 T2 Q1 k1 d ( s 2)
室 内 T1
2d
室 外 T2
双层与单层窗传导的热量之比
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
对Q1比Q2的减少量作最保
Q1 Q2
k1=4~8 10-3 (J/cm· s· kw· h), k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
通拥堵.
饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度. 城市干道的通行能力 ~ 在理想的道路和交通条件下， 当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小 车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的 最大车辆数N (辆/h).
城市干道的通行能力 单位时间内通过的最大车辆数N v~车速 (km/h)， d~最小车头间隔(m)
l/ b 27.0 27.4 21.0 30.0
空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
准 调查赛艇的尺寸和质量 备
l /b, w0/n 基本不变
问题分析 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:
• 前进动力 ~ 桨手的划桨功率
• 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 浆手 数量 划桨 功率
1
. p .
P3(x3,y3)
比 MN 各点满意度更高的点如 p3 ，在另一条无差别曲 线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.
甲的无差别曲线 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度
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y
f(x,y)=c1
y
.
x
p1
c1
（f ~等满意度曲线） 无差别曲线族的性质：
0
y