矩阵求逆中的上三角阵求逆

矩阵求逆中的上三角阵求逆

1．背景

• 常见方法：

– 伴随矩阵法 – 初等行变换法

– Gauss-Jordan 消元法 – 矩阵分解法

• L-U 分解法 • QR 分解法 • SVD 分解 • 满秩分解 • Jordan 分解

• 矩阵分解后再求逆矩阵的优点：

– 三角阵大量元素为0，

– 正交阵的逆是其转置矩阵， – 酉矩阵的逆是其共轭转置矩阵， 这些特性利于求得逆矩阵。

2．L-U 矩阵分解法

• 分三个步骤：

– L-U 分解

– 上三角阵求逆

– 矩阵乘法

3．上三角阵求逆

我们采用初等行变换先得到三角矩阵逆矩阵的一般公式。对于n 阶上三角矩阵U ，得到增广矩阵如下：

1112121

22212

11.1n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

1112131411

12131422232422

2324133

3433

3444441111u u u u v v v v u u u v v v U U u u v v u v -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣

⎦⎣

⎦111.

A U L ---=

1112122

21

01(|)001n n nn

U U U U U U I U ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

L L M M O M O L

在求逆过程中，先计算逆矩阵主对角线上得元素值，即取原矩阵主对角元素的倒数。然

后再求与矩阵主对角线平行且最接近的那一个斜列上元素值，接着依次求所有主对角线平行斜列的元素值。

由以上步骤可以给出U 逆矩阵V 的计算公式：

1

1(1,2,...,)

(1,2,...,1;1,...,)

ii ii

j kj ik k i ij ii v i n u v u v i n n j i n u =+⎧==⎪⎪⎪⎨

⎪

⎪=-=--=+⎪⎩

∑ 由上式及步骤分析可以得到逆矩阵求解流程如下：

1112

122200

0n n V V V V V V ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭

L L M M O M L

在流程图帮助下我们可以做出脉动阵列，方便于硬件处理。 对于下三角矩阵，我们可以做如下处理： ()()()()1

11

T

T

T T

L L L ---=

=

先计算下三角矩阵L 的转置，再求上三角矩阵T L 的逆，最后得到1L -。

4．上三角阵求逆的脉动结构

• 除法运算 乘加运算