2009年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2log 0a <，1()12

b >，则【 D 】

A ．1a >,0b >

B ．1a >,0b < C. 01a <<, 0b > D. 01a <<, 0b <2．对于非零向量,,a b

“0a b += ”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6

y x π

=-的

图象，则ϕ等于【 D 】

A ．

6

π

B ．56π C. 76π D.116π4．如图1，当参数12,λλλ=时，

连续函数0)y x =≥ 的

图像分别对应曲线1C 和2C , 则【 B 】A ．120λλ<< B ．21

0λλ<<

C ．120λλ<<

D ．210λλ<<5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．286．已知D 是由不等式组20,30

x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧

长为【 B 】

1 A．

4

π

B．

2

π

C．

3

4

π

D．

3

2

π

7．正方体

1111

ABCD A B C D

-的棱上到异面直线AB，C

1

C的距离相等的点的个数为【 C 】A．2 B．3 C． 4 D．5

8．设函数()

y f x

=在(,)

-∞+∞内有定义.对于给定的正数K，定义函

数

(),(),

()

,().

K

f x f x K

f x

K f x K

≤

⎧

=⎨

>

⎩

取函数()

f x=2x

x e-

--。若对任意的

(,)

x∈-∞+∞，恒有()

K

f x=()

f x，则【 D 】

A．K的最大值为2 B．K的最小值为2

C．K的最大值为1 D．K的最小值为1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡

．．．中对应题号后的横线上

9．某班共30

人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，

8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.

10．在333

(1)(1(1

x

+++的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答).

11．若(0,)

2

x

π

∈，则2tan tan(

)

2

x x

π

+-的最小值为

12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为

13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为

1

28

，则总体中的个体数为 40 。14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；

（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15．将正ABC

∆分割成2*

(2,)

n n n N

≥∈个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直

线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =

103 ，… ，()f n = 1

(1)(2)6

n n ++ .

C

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2

23AB AC AC BC

⋅⋅= ，求角A ，B ，C 的大小解： 设,

,BC a AC b AB c ===

由2AB AC AC ⋅=⋅

得2cos bc A =，所以cos A

=又(0,),A π∈因此6

A π

=

23AC BC ⋅=

得2bc =

，于是2

sin sin

C B A ⋅==所以5sin sin(

)6

C C π⋅-=

1sin (cos )2C C C ⋅+=

因此2

2sin cos 220C C C C C ⋅+==，既s i n (2)03

C π

-=.

由6A π

=

知506C π<<

，所以42333C πππ

-<-<，

从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,

3C π

= 故2,,,636A B C πππ===或2,,663

A B C πππ===

。17．（本小题满分12分）