射影平面

例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的 交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.
此步不可省！若不共线则交比无定义！
1 (P 1. 1P 2 , Q1Q2 ) 2
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 ,2,3,4), 并已知 定理1.7 设 P i l ( P) (i 1
此步不可省！若不共线则交比无定义！
1 (P 1. 1P 2 , Q1Q2 ) 2
§ 3.1 比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 ,2,3,4), 并已知 定理1.7 设 P i l ( P) (i 1
(P 1P 2, P 3P 4) k
(k 0,1, ).
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例3 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 由 解：设 P 3 P 1 1P 2, P 4 P 1 2 P 2 . 则显然2 1, 可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 3.1 交比
(1 3 )(2 4 ) (l1l2 , l3l4 ) 1 1 2(12 34 ) (1 2 )(3 4 ) (2 4 )(1 4 )
(*), (**)代入化简
a1b2 a2b1 2h1h2 0.
P 3 (0, , ), ( 0)
P3 (0,1,1)
P4 (6,5,3)
5 P4 (2 , , ), ( 0) 3 (2). 求直线 3x 4 y 1 0 上的无穷远点.
斜率 k 3 / 4 也就是(4, 3, 0).
3 代入 (1, k ,0) 所求无穷远点为 (1, ,0), 4 Ax By C 0 上的无穷远点为 ( B, A,0).
此步不可省！若不共线则交比无定义！
1 (P 1. 1P 2 , Q1Q2 ) 2
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 ,2,3,4), 并已知 定理1.7 设 P i l ( P) (i 1
1 1 (P 2. 1P 2, P 3P 4) 2 1
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 2、性质 3、特殊情况
(12,34) r
已知四点相异
1 1 (P 2. 1P 2, P 3P 4) 2 1
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 2、性质 3、特殊情况
(12,34) r
已知四点相异
(*)
12
2
a1 2h , 1 2 1 b1 b1
y y b2 2h2 a2 0 分解 x x
l3 : y 3 x 0 韦达定理 l4 : y 4 x 0
(**)
a2 2h2 34 , 3 4 b2 b2
§ 2 齐次坐标
二、二维齐次点坐标
例 1 求下列各点的齐次坐标. (1). 齐次坐标(一般形式) P P 1 (0,0) 1 (0,0, x3 ), ( x3 0)
特定一组
P 1 (0,0,1) P2 (1,0,1)
P2 (1,0)
P2 ( ,0, ), ( 0)
P3 (0,1) 5 P4 (2, ) 3
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
P 3 P 1 1P 2, P 4 P 1 2 P 2.
则显然 1 1,
由
1 1 ( PP r. 1 2, P 3P 4) 2 2
可得 2 1/ r , 从而P4的坐标为(r,1,0).
注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算.
1 1 (P 2. 1P 2, P 3P 4) 2 1
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 例4 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的 方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设
§ 2 齐次坐标
四、齐次线坐标
2. 点的齐次方程 例2 求下列各点的齐次方程. (1). x轴上的无穷远点 (1,0,0) u1 0. 思考：本例中这 些点的齐次方程分别 与哪些直线的齐次方 程形式上相同？
(2). y轴上的无穷远点 (0,1,0) u2 0.
(3). 原点 (4). 点(1,2,2)
例 3 已知共线三点 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求, 使得 c a b. 3 6 3 7 解 令 4 1 5 4 6 3 7 4 1 5 . 其中ρ为非零比例常数. 1 1 1 可解得=3.于是，可适当选取 a, b, c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.
§ 3.1 交比
例5 证明：两直线a1x2+2h1xy+b1y2=0调和分离两直线 a2x2+2h2xy+b2y2=0 a1b2+a2b1-2h1h2=0. 证. 将已知直线方程分别写为
y y b1 2h1 a1 0 分解 x x
2
l1 : y 1 x 0 韦达定理 l2 : y 2 x 0
(P 1P 2, P 3P 4) k
(k 0,1, ).
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例3 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 由 解：设 P 3 P 1 1P 2, P 4 P 1 2 P 2 . 则显然2 1, 可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
ba 1 2 , h
所求方程为
hx2 (b a) xy hy2 0.
§ 3.1 交比
例7 (P.59, Ex.10)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD交AB于G, H. 求证：GO=OH. 证明: 因为A, F, C, B为圆上四点,
E ( AF, CB) D( AF, CB). 以直线AB截这两个线束, 得 ( AG, OB) ( AO, HB). 利用交比的初等几何表示(2.3)式, 有
(P 1P 2, P 3P 4) k
(k 0,1, ).
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例3 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 由 解：设 P 3 P 1 1P 2, P 4 P 1 2 P 2 . 则显然2 1, 可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 2、性质 3、特殊情况
(12,34) r
已知四点相异
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
(0,0,1) u3 0.
u1 2u2 2u3 0.
1 的无穷远点 (3,–1,0) 3u1 u2 0. 3 (6). 无穷远直线上的点 ( x1 , x2 ,0) x1u1 x2u2 0.
(5). 方向为
§ 3对偶原理
二、有关齐次坐标的基本结论