黎卡提方程与最优控制
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Riccati
最优控制
变分法
• 控制系统的状态可由观测决定，而观测值 总是近似的，若要求近似值能任意逼近准 确值，需要在状态之间定出距离量度，以 便确切规定“任意逼近”。
泛函
• 函数的函数J=J[x(t)]， 最优控制问题中的性 能指标，取决于 n x x ( t ) x 0 ( t ), x ( t ), x 0 ( t ) R u(t),x(t),必定也是个泛 函，所以上式称为性 能泛函。x(t)是宗量
因为下式满足极值条件
H
2
u
正则方程
2
R (t ) 0
x (t )
H
A(t ) x (t ) B (t ) R
1
(t ) B (t ) (t )
T
(5-18) (5-19)
(t ) H Q (t ) x (t ) A(t ) (t ) x
J
tf
L ( x , x , t ) dt
t0
• 若 • 则
J
L x
tf
L ( x x , x x , t ) dt L x x dt
t0
tf
x
t0
欧拉方程
• 无约束及有约束泛函 极值的必要条件—— 欧拉方程。使泛函取 极值的必要条件是：
横截条件
(t f )
x (t f ) 2
[
1
x ( t f ) Fx ( t f )] Fx ( t f )
(5-20) (5-21) (5-22) (5-23)
协态方程（5- ( t ) P ( t ) x ( t ) 19）的解
求导 ( t ) P ( t ) x ( t ) P ( t ) x ( t )
J [ x ( t f ), t f ]
tf
L ( x , u , t ) dt
t0
用变分法解最优控制问题
• u(t)不受约束，设要求的，目标集为
[ x ( t f ), t f ] 0
• 需求一个最优的控制和状态使得目标集达到极值。上 式问题可表述为：
min
u(t)
J [ x (t
J 1 2 x ( t f ) Fx ( t f )
T
1 2
tf
[ x ( t ) Q ( t ) x ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt
T T
t0
证明：
H 1 2 x ( t )Q ( t ) x ( t )
T
1 2
u (t ) R (t )u (t ) (t ) A(t ) x (t ) (t ) B (t )u (t )
T T T
由于u(t)不受约束，所以极小值条件是哈密顿函数对 u(t)取条件极小，根据驻值条件
H u
R (t )u (t ) B (t ) (t ) 0
T 1
u (t) R
(t ) B (t ) (t )
T
由于R ( t ), ( t ) 是伴随变量，实际系统中不存在，自然也检测不到，工程中 很难实现，所以我们把u(t)表示成x(t)的函数
tf
T [ H ( x , u , , t ) ( t ) x ( t )] dt
t0
• 泛函极值条件
J a x ( t f )[
T
x (t f )
T
x (t f )
( t f ) ( t f )]
tf
t0
H H [ x u ] dt x u
• 2.边界条件
x ( t0 ) x 0
(t f )
x (t f )
T
x (t f )
(t f )
• 3.极值条件
[ x ( t f )] 0
H u 0
状态调节问题
• 状态方程
X(K+1)=AX(K)+BU(K),x(t0)=x0 要求确定最优控制u(t),使得下列性能指标极小：
泛函的变分
J ( x ) J ( x x ) J ( x ) L ( x,x ) r ( x,x )
泛函极值
• 设J(x)是线性赋泛空间 R上的连续泛函，在x0 处可微，其变分为 J ( x
0
,x )
J ( x 0 , x )
0
,0 1
把（5-21）代入（5-19），协态方程又可以表示为
( t ) [ Q ( t ) A ( t ) P ( t )] x ( t )
T
两式对应相等，使得P(t)满足黎卡提方程
T 1 T P (t ) P (t ) A(t ) A (t ) P (t ) P (t ) B (t ) R (t ) B (t ) P (t ) Q (t )
f
), t
f
]
t
f
L ( x , u , t ) dt
t0
s . tf ( x , u , t ) x ( t ) 0 , x ( t 0 ) x ( 0 )
[ x ( t f )] 0
构造广义泛函
J a [ x ( t f )] ( t ) [ x ( t f )]
T
tf
{ L ( x , u , t ) ( t )[ f ( x , u , t ) x ( t )] dt
T
t0
引入哈密顿函数：
H ( x, u , , t ) L ( x, u , t ) (t ) f ( x, u , t )
T
因为上式中最后一个积 -
分项
T tf t0
T
T
欧拉方程
(t ) H x H u
(t f )
0
x (t f ) x (t f )
横截条件
(t f )
引入哈密顿函数后，似的极值必要条件的两个正则 方程
最优控制问题
• 1.满足正则方程
x (t ) H (t ) H x
由（5-21），令t=tf，可得
(t f ) P (t f ) x (t f )
wenku.baidu.com黎卡提方程应满足的边界条件
P (t f ) F
解得P后代入控制u(t)
u (t ) R
1
(t ) B (t ) P (t ) x (t )
T
L R
1
(t ) B (t ) P (t )
T
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tf
( t ) x ( t ) dt ( t ) x ( t )
T
t0
tf
( t ) x ( t ) dt
T
t0
则广义泛函可表示为： J a [ x ( t f )] [ x ( t f )] ( t ) x ( t )
T T tf t0
x (t ) [ A(t ) B (t ) R
1
5-21带 入5-18
B ( t ) P ( t )] x ( t )
T
把（5-23）代入（5-22），协态方程为
1 T ( t ) [ P ( t ) P ( t ) A ( t ) P ( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P ( t )] x ( t )
L x
d L dt x
0
横截条件：
L x x
T
tf t0
0
用变分法解最优控制问题
• 对于时变非线性系统，状态方程及初始条件如下：
x ( t ) f [ x ( y ), u ( t ), t ]
• 性能泛函取为：
x ( t0 ) x ( 0 )
最优控制
变分法
• 控制系统的状态可由观测决定，而观测值 总是近似的，若要求近似值能任意逼近准 确值，需要在状态之间定出距离量度，以 便确切规定“任意逼近”。
泛函
• 函数的函数J=J[x(t)]， 最优控制问题中的性 能指标，取决于 n x x ( t ) x 0 ( t ), x ( t ), x 0 ( t ) R u(t),x(t),必定也是个泛 函，所以上式称为性 能泛函。x(t)是宗量
因为下式满足极值条件
H
2
u
正则方程
2
R (t ) 0
x (t )
H
A(t ) x (t ) B (t ) R
1
(t ) B (t ) (t )
T
(5-18) (5-19)
(t ) H Q (t ) x (t ) A(t ) (t ) x
J
tf
L ( x , x , t ) dt
t0
• 若 • 则
J
L x
tf
L ( x x , x x , t ) dt L x x dt
t0
tf
x
t0
欧拉方程
• 无约束及有约束泛函 极值的必要条件—— 欧拉方程。使泛函取 极值的必要条件是：
横截条件
(t f )
x (t f ) 2
[
1
x ( t f ) Fx ( t f )] Fx ( t f )
(5-20) (5-21) (5-22) (5-23)
协态方程（5- ( t ) P ( t ) x ( t ) 19）的解
求导 ( t ) P ( t ) x ( t ) P ( t ) x ( t )
J [ x ( t f ), t f ]
tf
L ( x , u , t ) dt
t0
用变分法解最优控制问题
• u(t)不受约束，设要求的，目标集为
[ x ( t f ), t f ] 0
• 需求一个最优的控制和状态使得目标集达到极值。上 式问题可表述为：
min
u(t)
J [ x (t
J 1 2 x ( t f ) Fx ( t f )
T
1 2
tf
[ x ( t ) Q ( t ) x ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt
T T
t0
证明：
H 1 2 x ( t )Q ( t ) x ( t )
T
1 2
u (t ) R (t )u (t ) (t ) A(t ) x (t ) (t ) B (t )u (t )
T T T
由于u(t)不受约束，所以极小值条件是哈密顿函数对 u(t)取条件极小，根据驻值条件
H u
R (t )u (t ) B (t ) (t ) 0
T 1
u (t) R
(t ) B (t ) (t )
T
由于R ( t ), ( t ) 是伴随变量，实际系统中不存在，自然也检测不到，工程中 很难实现，所以我们把u(t)表示成x(t)的函数
tf
T [ H ( x , u , , t ) ( t ) x ( t )] dt
t0
• 泛函极值条件
J a x ( t f )[
T
x (t f )
T
x (t f )
( t f ) ( t f )]
tf
t0
H H [ x u ] dt x u
• 2.边界条件
x ( t0 ) x 0
(t f )
x (t f )
T
x (t f )
(t f )
• 3.极值条件
[ x ( t f )] 0
H u 0
状态调节问题
• 状态方程
X(K+1)=AX(K)+BU(K),x(t0)=x0 要求确定最优控制u(t),使得下列性能指标极小：
泛函的变分
J ( x ) J ( x x ) J ( x ) L ( x,x ) r ( x,x )
泛函极值
• 设J(x)是线性赋泛空间 R上的连续泛函，在x0 处可微，其变分为 J ( x
0
,x )
J ( x 0 , x )
0
,0 1
把（5-21）代入（5-19），协态方程又可以表示为
( t ) [ Q ( t ) A ( t ) P ( t )] x ( t )
T
两式对应相等，使得P(t)满足黎卡提方程
T 1 T P (t ) P (t ) A(t ) A (t ) P (t ) P (t ) B (t ) R (t ) B (t ) P (t ) Q (t )
f
), t
f
]
t
f
L ( x , u , t ) dt
t0
s . tf ( x , u , t ) x ( t ) 0 , x ( t 0 ) x ( 0 )
[ x ( t f )] 0
构造广义泛函
J a [ x ( t f )] ( t ) [ x ( t f )]
T
tf
{ L ( x , u , t ) ( t )[ f ( x , u , t ) x ( t )] dt
T
t0
引入哈密顿函数：
H ( x, u , , t ) L ( x, u , t ) (t ) f ( x, u , t )
T
因为上式中最后一个积 -
分项
T tf t0
T
T
欧拉方程
(t ) H x H u
(t f )
0
x (t f ) x (t f )
横截条件
(t f )
引入哈密顿函数后，似的极值必要条件的两个正则 方程
最优控制问题
• 1.满足正则方程
x (t ) H (t ) H x
由（5-21），令t=tf，可得
(t f ) P (t f ) x (t f )
wenku.baidu.com黎卡提方程应满足的边界条件
P (t f ) F
解得P后代入控制u(t)
u (t ) R
1
(t ) B (t ) P (t ) x (t )
T
L R
1
(t ) B (t ) P (t )
T
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tf
( t ) x ( t ) dt ( t ) x ( t )
T
t0
tf
( t ) x ( t ) dt
T
t0
则广义泛函可表示为： J a [ x ( t f )] [ x ( t f )] ( t ) x ( t )
T T tf t0
x (t ) [ A(t ) B (t ) R
1
5-21带 入5-18
B ( t ) P ( t )] x ( t )
T
把（5-23）代入（5-22），协态方程为
1 T ( t ) [ P ( t ) P ( t ) A ( t ) P ( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P ( t )] x ( t )
L x
d L dt x
0
横截条件：
L x x
T
tf t0
0
用变分法解最优控制问题
• 对于时变非线性系统，状态方程及初始条件如下：
x ( t ) f [ x ( y ), u ( t ), t ]
• 性能泛函取为：
x ( t0 ) x ( 0 )