抛物线的几何性质PPT教学课件
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2021/4/11
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2021/4/11
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
3、注重数形结合的思想。
2021/4/11
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂
盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油
的光。
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。
焦点到准线的距离
想 选择不同的位置建
一 想 ？
立直角坐标系时, 情况如何?
？
2021/4/11
﹒ 图 形 y
焦点
ox
﹒y
﹒o x y
ຫໍສະໝຸດ Baiduox
﹒y o x
2021/4/11
准线
标准方程
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2021/4/11
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2021/4/11
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2021/4/11
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 X点 只有一个顶点
2021/4/11
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2021/4/11
复习：
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
秋天，橘子树结出 了肥实的青色果子， 一串串压弯了树枝， 谁见了谁爱，但这时 吃起来还又酸又涩。
十一月左右，果 实成熟了，绿叶丛 中露出了一盏盏红 色的小灯笼。
它们有的两个一排，有 的三个一束，有的四五 个抱成团……沉甸甸的， 把枝条儿越压越弯。
走近细看，红橘的 皮上还有一个个的 小窝窝呢。
2021/4/11
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2021/4/11
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
求它的标准方程。
标准方程为 : x2 8y
2021/4/11
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9
．y A
4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2021/4/11
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
2021/4/11
复习：
油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
我的家乡在 长江边上，那里 有成片的橘园。
家乡的红橘， 真让人喜爱呀！
2021/4/11
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 3 ,0 准线方程 : x 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 0, 1 准线方程 : y 1
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
2021/4/11
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2021/4/11
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2021/4/11
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16 y
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2021/4/11
练（1习）5y2填= 表20x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
（2）顶点在原点，准线是x＝4
y2 16 x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20 y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2021/4/11
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2021/4/11
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
3、注重数形结合的思想。
2021/4/11
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂
盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油
的光。
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。
焦点到准线的距离
想 选择不同的位置建
一 想 ？
立直角坐标系时, 情况如何?
？
2021/4/11
﹒ 图 形 y
焦点
ox
﹒y
﹒o x y
ຫໍສະໝຸດ Baiduox
﹒y o x
2021/4/11
准线
标准方程
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2021/4/11
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2021/4/11
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2021/4/11
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 X点 只有一个顶点
2021/4/11
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2021/4/11
复习：
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
秋天，橘子树结出 了肥实的青色果子， 一串串压弯了树枝， 谁见了谁爱，但这时 吃起来还又酸又涩。
十一月左右，果 实成熟了，绿叶丛 中露出了一盏盏红 色的小灯笼。
它们有的两个一排，有 的三个一束，有的四五 个抱成团……沉甸甸的， 把枝条儿越压越弯。
走近细看，红橘的 皮上还有一个个的 小窝窝呢。
2021/4/11
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2021/4/11
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
求它的标准方程。
标准方程为 : x2 8y
2021/4/11
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9
．y A
4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2021/4/11
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
2021/4/11
复习：
油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
我的家乡在 长江边上，那里 有成片的橘园。
家乡的红橘， 真让人喜爱呀！
2021/4/11
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 3 ,0 准线方程 : x 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 0, 1 准线方程 : y 1
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
2021/4/11
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2021/4/11
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2021/4/11
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16 y
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2021/4/11
练（1习）5y2填= 表20x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
（2）顶点在原点，准线是x＝4
y2 16 x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20 y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2021/4/11
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程