结构动力学-第十章-随机振动激励响应关系

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ch
0 0
0
kh(t)dt
0
0
(t)dt
0
或: m h(0 ) h(0 ) c h(0 ) h(0 ) kh( )(0 0 ) 1
即: mh(0) ch(0) 1 (1)
积分两次:
0
dt
t mhdt
0
dt
t chdt
0
dt
t
kh(t)dt
0
t
dt (t)dt
t
x(t) h(t )y( )d y(t) * h(t)
卷积积分
此式也可以由上页的(*)式推出:
y(t)
y( )
t
t
此式也可以由上页的(*)式推出:
x(t) 1
2
H
(
)
y(t)eit dteit d
1
2
H
(
)
y( )ei d eit d
1
2
y( )
H
(
)e
当t 0时, (t)=0,故有
mh ch kh 0 或 h 2nh n2h 0
其通解为: h(t) en t ( A cosd t B sin d t)
积分常数A和B由初始条件确定
则: mh ch kh (t) (*)
对(*)式两边从0-到0+积分两次
积分一次:mh 0 0
2
或: 1 e-itdt 2 ()
故: 1
2
() 或:1
2 ()
同样: 1 ei0 t
2
( 0 )
1 ei0 t
2
( 0 )
(3)脉冲响应函数
实际上,在第四章瞬态振动一章已经求过h(t)。 求h(t)的步骤如下: ①建立系统运动微分方程
②用脉冲响应函数δ(t)代替微分方程中的激励,并对方程 两边从0-到0+进行积分,得到等效的初始条件 ③ 求满足初始条件的齐次微分方程的解,即为h(t)
A 1 c
h(t
)
0 1 c
e
k c
t
t0 t0
h(t)eit dt
1
e
k c
t
e
i
t
dt
1
e
(
k c
i )t
dt
0c
0c
1
( k i )t
ec
1
H ()
k ic
k ic
0
由留数定理,有
R(x)eiaxdx=2 i
Res[R(z)eiaz , zk ] (a 0) zk为R(z)在上半平面的奇点
则输出: x(t) x0 sin(t ) Im( x0ei(t ) ) y0 Im( H ()eit ) x0ei y0 H ()
因而若激励 y(t) y0eit
则响应: x(t) y0 H ()eit 由此可得求H(ω)的具体步骤如下:
①建立系统运动微分方程,明确什么是输入,什么是输出
② 设输入:y(t) eit 输出:x(t) H ()eit
③ 将y(t)和x(t)及其导数代入运动微分方程,即可得到系统 对应于激励y(t)和响应x(t)的频响函数。 [注意]: y(t)和x(t)可以是力、压力、位移、速度和加速度 等,故同一系统可有多个频响函数(取决于输入输出是什么)
[例]已知:m,k,c,无重板,受位移激扰y(t),系统 输出为位移x(t),求相应的频响函数H(ω)。
解:运动微分方程
cx kx y(t)
令 y(t) eit x(t) H ()eit
k
x(t)
y(t)
C
H ()
1
k ic
k
k ic
ick
ic
k ic k 2 c2 2
A() iB()
H ()
1
k 2 c2 2
tan c
k
所以: H ()= H () ei
k2
1
c2 2
第十章 随机振动激励与响应关系
§10-1 线性时不变系统动态特性的频域与时域描述
对于振动系统,不管是已知激励求响应或是已知响应 求激励,都必须知道系统的动态特性。
动态特性:指系统随频率、惯性、刚度和阻尼而变化 的特性
系统动态特性用H(ω)和h(t)来描述
a)频域内的“频率响应函数”H(ω) b)时域内的“脉冲响应函数”h(t) 1、 频率响应函数(复频响应函数或简称频响函数) 单度线性系统在激励y(t)=y0sinωt作用下,其稳态响应 必定是x(t)=x0sin(ωt-θ)
c
1
1 eizt dz
2 ic(z k i)
c
(令 z,d dz)
0 (上半平面无奇点)
§10-2 系统对任意输入的响应 褶积及其傅里叶变换
1、系统对任意输入的响应 褶积积分
设任意激励y(t)满足绝对可积,即
y(t) dt
由于 Y () y(t)eitdt
且:X ()=H ()Y ()
[例]已知:m,k,c及力激励F(t),响应是位移x(t),求h(t) 。
解:(1)运动微分方程为
mx cx kx F(t)
(2)令F(t)=δ(t) x(t)=h(t)
F (t )
mx kc
(比较求H(ω)是令F(t)=eiωt x(t)= H(ω) eiωt)
则: mh ch kh (t) (*)
1 1 eitd 1
1
eit d
2 k ic
2 ic( k i)
c
0
1 2
2
i
lim
k c
i
(
k c
i)
ei t ic( k
c
i)
t0
t
0
0 1 c
k
ec
t
t0 t0
实际上,当t<0时,有
1 1 eit d 1
1
eit d
2 k ic
2 ic( k i)
i
(t
)
d
d
(交换积分次序)
y(
)
1
2
H
(
)e
i
(t
)
d
d
y( )h(t )d
t
y( )h(t )d
0 h( ) y(t )d
h( ) y(t )d
(t : h(t ) 0) (令 =t ) (上式中: 0时,h( ) 0)
2、褶积的傅里叶变换
若 y(t) Y () h(t) H ()
e i
[例]图示系统,杆重不计,已知:m,k,c及力激励
F(t)=f0sinωt,响应是AB杆转角 ,用频率响应函数方
法求响应θ(t) 。 解:运动微分方程
Aa
a
a
B
ma 2 F(t)a c(2a)2a k(3a )3a
或:ma 4ac 9ak F(t)a A
F(t) c
k
θ
令 F (t) f 0eit * (t) H () f 0eit
y0
A()
H () H () ei A2+B2 cos i A2+B2 sin A() iB()
A()
A2+B2 cos
B()
A2+B2 sin
|H(ω)|称为频响函数的模,又称为系统的增益因子,起放 大作用;θ(ω)称为频响函数的相角或系统的相位因子。
H(ω)的具体求法:
若输入y(t) y0 sin t y0 Im( eit )
0
0
0
0
0
0
0
0
或:
0mh(t)dt
0
ch(t)dt 0
0
dt
0
0
0
即: mh(0) 0 (2)
由(1)与(2)得: h(0) 0
h(0) 1 m
代入通解表达式可得:
h(t)
1
md
e nt
sin dt
t0
0
t0
3、频率响应函数与脉冲响应函数之间的关系 可以证明:H(ω)与δ(t)是互为傅里叶变换的关系,即
x的静态分量 y的静态分量
②自相关Rx(τ)
x(t) h(1 ) y(t 1 )d1
x(t ) h(2 ) y(t 2 )d2
所以:Rx ( )
Ex(t)x(t )
E
h(1) y(t 1)d1
h(2 ) y(t
2
)d2
E
h(1 )h(2
ma 2 i4ac 9ak H () f0eit f0eit
F(t)
c2a k3aθ
H
()
9ak
1
ma 2
i4ac
* (t)
H () f0eit
9ak
f 0eit ma 2 i4ac
* (t) Im *
f0
sin(t )
(9ak ma 2 )2 (4ac)2
f 0ei(t ) (9ak ma 2 )2 (4ac)2
k
x(t)
令 y(t) eit x(t) H ()eit
y(t)
C
H () 1 k ic
ch kh (t)
ch kh 0
c dh kh dt
齐次解为:
h(t )
k t
Ae c
微分方程积分:
ch
0 0
0
kh(t)dt
0
0
(t)dt
0
即: ch(0) 1 或:h(0) 1 c
h(t) H ()
或:H () h(t)eit dt h(t) 1 H ()eit d
2
对任意激励y(t)和响应x(t),都有
H () X () Y ()
重要关系式
式中:X () x(t)eit dt Y () y(t)eit dt
为输出的傅里叶变换 为输入的傅里叶变换
实际上对x(t) = H(ω) y(t)两边进行傅里叶变换,有
x(t)eit dt H () y(t)eit dt 即:X ()=H ()Y ()
[例]已知:k,c,无质量小车,激励是力y(t),响应是位移 x(t),验证脉冲响应函数和频率响应函数为傅里叶变换对。
解:运动微分方程
cx kx y(t)
tan 1
4ac 9ak ma
2
2、脉冲响应函数
稳态的静止系统在受到单位脉冲δ(t)激励后产生的响 应称为系统的脉冲响应函数,记为h(t)。 (1)单位脉冲δ(t)(狄拉克δ函数)
(t)
0, ,
t 0 (t)dt 1
t 0
(t
)
0, ,
t
f (t) (t )dt f ( )
解:运动微分方程
mx cx kx k y(t) 令 y(t) eit x(t) H ()eit
m 2 H () icH () kH() eit keit
H ()
k
k m 2 ic
[例](纽兰P58)已知:k,c,无质量小车,激励是力y(t), 响应是位移x(t),求相应的频率响应函数H(ω)。
t
设同时进行着无限个实验,每个实验系统是线性且动态 特性相同,脉冲响应函数为h(t),频响函数为H(ω),激 励是y(t),响应是x(t)。我们的目的是找出激励、响应的 统计特性与系统的动态特性H(ω)或h(t)之间的关系。
1、响应的均值和自相关函数
①均值μx
对任意激励y(t),响应x(t)为
x(t) y( )h(t )d h() y(t )d
)
y(t
1 )
y(t
2
)d1d2
h(1
)h(2
)
E
y(t
1
)
y(t
2 )d1d2
对平稳过程,有:
Ey(t 1) y(t 2 ) Ry ( 1 2 )
于是:Rx ( )
h(1 )h(2 )Ry ( 1 2 )d1d2
若系统动态特性和激励的自相关函数已知,则可由上式求 出响应的自相关函数,并且可知,若输入是平稳过程,则 输出也是平稳过程。特别,当τ=0时,可得响应均方值:
故:x(t) 1 X ()eit d 1 H ()Y ()eit d
2
2
1
2
H
(
)
y(t)eit dteit d
(*)
一般地,上述积分难以求解,很少采用。
下面采用脉冲响应方法求x(t) 在τ处作用的脉冲y(τ)Δτ的响应为:
0
x(t)
h(t
)
y(
)d
t t
所有脉冲引起的时刻t的总响应为:
于是: x=Ex(t )
E
h() y(t
)d
Ey(t
)h(
)d
(对时间t求平均)
若激励y(t)是一平稳随机过程,则平均值E[y]与采样时 刻(t-λ)无关,于是有:
x=Ex(t )
Ey
h()d
y
h()d
y H (0)
(H () h(t)eit dt)
其中:H (0)
则:y(t)*h(t) Y ()H ()
y(t)h(t) Y()* H()
式中:y(t) * h(t)
y( )h(t )d
Y () * H () Y ( )H ( )d
§10-3 单输入单输出线性系统的随机振动
yi(t)
yi(t)
h(t)
xi(t)
H(ω)
t
xi(t) i=1,2,3,…
振幅比x0/y0 和相位差θ确定了系统在固定的激励频率 ω下的传递特性或传递函数。若不断改变ω,那么传 递函数作为ω的函数将形成一条曲线,这条曲线就确 定了系统的动态特性。
振幅比x0/y0 和相位差θ用复函数H(ω)来表示:
H () x0 ei A() iB()
y0
复频响应函数
显然:H () x0 A2+B 2 () arctg B()
t
(2)δ函数的傅里叶变换
(a)时域δ函数的傅里叶变换
(t)eit dt ei0 1
1 1 eit dt (t)
2
时移性:
(t
t0 )eit dt
e it0
(b)频域δ函数的傅里叶逆变换
()eit d ei0t 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ()eit d 1
2
2
所以: 1 eitdt ()
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