2自然数序数理论

加法与乘法的五条运算律
• • • • • a+b=b+a a+(b+c)= (a+b)+c (a+b)c=ac+bc ab=ba a(bc)=(ab)c。 。
序数理论的运算律
• 例．自然数的加法满足结合律： 自然数的加法满足结合律： • 设a，b，c∈N，则a+(b+c)=(a+b)+c。① ， ， ∈ ， 。 • 证明加法交换律:a+b=b+a. 证明加法交换律:
三分性
• 例4．对任何 ∈N，在a<b,a=b,a>b中有 ．对任何a,b∈ ， 中有 且只有一个成立。 且只有一个成立。 • 思路：先证 思路：先证a<b,a=b,a>b至多有一种成立； 至多有一种成立； 至多有一种成立 • 用定义证。 用定义证。 • 再证在 再证在a<b,a=b,a>b中总有一个成立。 中总有一个成立。 中总有一个成立 • 用归纳公理证。 用归纳公理证。
数学归纳法的标准形式 也称第一数学归纳法） （也称第一数学归纳法）
是关于自然数n的命题 设P(n)是关于自然数 的命题，若 是关于自然数 的命题， • 10(奠基 奠基)P(n)在n=1时成立； 时成立； 奠基 在 时成立 • 2 0 (归纳 在 P(k)（k是任意自然数 ） 成立的 归纳)在 是任意自然数） 归纳 （ 是任意自然数 假定下可以推出P(k+1)成立， 成立， 假定下可以推出 成立 • 则P(n)对一切自然数 都成立。 对一切自然数n都成立 对一切自然数 都成立。 • 证明思路 ： 设集合 是使 证明思路： 设集合M是使 是使P(n)成立的所有 成立的所有 自然数n组成的集合 组成的集合， 即可。 自然数 组成的集合，证M=N即可。？？ 即可
• 设 A是自然数集 的非空真子集 ， 假设 内没 是自然数集N的非空真子集 是自然数集 的非空真子集， 假设A内没 有最小数， 不属于A. 有最小数，则1不属于 不属于 • 设T={x|x∈N，且对任意 ∈A，x<a},（关键） ∈ ，且对任意a∈ ， （关键） • 则1∈T。 ∈ 。 • 假设 ∈T，倘若 假设n∈ ，倘若n+1∈A，则n+1成为 中的最 成为A中的最 ∈ ， 成为 小数，与假设矛盾，所以n+1∈T. 小数，与假设矛盾，所以 ∈ • 由归纳公理知 由归纳公理知T=N，从而 非空矛盾。 ，从而A=ф，与A非空矛盾。 ， 非空矛盾 • 所以，N的任何非空子集都有一个最小值。 所以， 的任何非空子集都有一个最小值 的任何非空子集都有一个最小值。
证明加法交换律: 证明加法交换律:a+b=b+a. ①
• 1)首先证明对于任意的 ∈N,有a+1=1+a; 首先证明对于任意的a 首先证明对于任意的 有 • 2)取定 ，设M是使等式①成立的所有b的集合， 取定a， 是使等式①成立的所有 的集合 的集合， 取定 是使等式 那么当b=1时，由1)知1∈M； 那么当 时 知 ∈ ； • 假设 ∈M,即a+b=b+a， 假设b∈ 即 • 如何证明 / ∈M呢？ 如何证明b 呢 • 根据归纳公理，M=N. 根据归纳公理， • 即①对a，b∈N都成立。 ， ∈ 都成立
自然数的序数理论
序数理论
皮亚诺从“集合” 皮亚诺从“集合”、“后继” 后继” 是自然数” 及“1是自然数”这3个原始概 念和4条公理（即皮亚诺系统） 念和4条公理（即皮亚诺系统） 出发， 出发，运用公理化方法建立自 然数的序(顺序）数理论。 然数的序(顺序）数理论。
1．皮亚诺公理 ．
定义6：一个非空集合 的元素叫做自然数 的元素叫做自然数， 定义 ：一个非空集合N的元素叫做自然数， 如果N元素间有一个基本关系后继 并满足下列公理： 如果 元素间有一个基本关系后继 /， 并满足下列公理 ： （1）1∈N，对任意 ∈N，a/≠1。 ） ∈ ，对任意a∈ ， 。 （2）对a∈N，有唯一的后继元素 /， ） ∈ ，有唯一的后继元素a ， （即a=b→a/=b/）。 （3）1以外的任何元素， 只能是一个元素的后继元素 ） 以外的任何元素， 以外的任何元素 （即a/=b/→a=b）。 ） • （4）（归纳公理）若集合 是自然数集 的子集，且 是自然数集N的子集 ） 归纳公理）若集合M是自然数集 的子集， 10 1∈M；20 a∈M→a/∈M，则M=N。 ∈ ； ∈ ， 。 • 选取适当的记号（习惯上用阿拉伯数码及十进位记数 选取适当的记号（ 表示自然数， 法）表示自然数，得自然数列 • 1，1+=2，(1+)+=3，3+=4，…… • • • • • •
3．序数理论下的自然数顺序 ．
• 1）自然数大小定义 ） • 定义9 若a，b∈N，且存在 ∈N使a+k=b，则 定义 ， ∈ ，且存在k∈ 使 ， 小于b，记作a<b；也称 大于 ，记b>a。 大于a， 称a小于 ，记作 小于 ；也称b大于 。 • 2）以上顺序具有对逆性、传递性与三分性 ）以上顺序具有对逆性、
加法和乘法的性质
• • • • • • • 定理6（加法单调性） 定理 （加法单调性） 设a,b,c∈N，则 ∈ ， (1)a=b→a+c=b+c； ； (2)a<b→a+c<b+c； ； (3)a>b→a+c>b+c。 。 定理7（加法消去律）即加法单调性的反面。 定理 （加法消去律）即加法单调性的反面。 乘法有类似的性质。 乘法有类似的性质。
解
• 当n=1时，必是后取者得胜， 时 必是后取者得胜， • 猜测“后取者可以得胜”。 猜测“后取者可以得胜” • 假设n≤k时命题成立 对于 时命题成立.对于 假设 时命题成立 对于n=k+1，当先取者在 ， 一堆里取m 颗时， 一堆里取 (1≤m≤k+1)颗时，后取者在另一堆 颗时 里也取m颗 两堆棋子都是(k+1-m)颗。 里也取 颗，两堆棋子都是 颗 • 这样就变成了 这样就变成了n=k+1-m的问题，按归纳假设， 的问题， 的问题 按归纳假设， 后取者得胜， 命题也成立。 后取者得胜，即n=k+1命题也成立。 命题也成立 • 证明了对于所有正整数 ，后取者按上述策略 证明了对于所有正整数n， 都可以得胜。 都可以得胜。
第二数学归纳法
• 推理格式：设P(n)是关于自然数 的命题 推理格式： 是关于自然数n的命题 是关于自然数 的命题, • 1）（奠基）P(1)成立； 成立； ） 奠基） 成立 • 2） （ 归纳） 假设当n≤k(k为任意自然数 时 ） 归纳 ） 假设当 为任意自然数)时 为任意自然数 P(1≤n≤k)成立能推出 成立能推出P(k+1)成立 ， 则 P(n)对 成立， 成立能推出 成立 对 一切自然数n都成立 都成立。 一切自然数 都成立。 • 与第一数学归纳法比较，有何不同？ 与第一数学归纳法比较，有何不同？ • 它的归纳假定强化了。 它的归纳假定强化了。
• 思考：两堆棋子的数目不同呢？ 思考：两堆棋子的数目不同呢？
• 扩大的自然数集 扩大的自然数集——古老的说法 古老的说法 • • • • • • • • 扩大的自然数集N 本书的说法） 扩大的自然数集 0（本书的说法） 由自然数集添加0构成 构成。 由自然数集添加 构成。 作一些补充与修改, 作一些补充与修改,如 的运算； 1）与0的运算； 单调性与消去律。 2）单调性与消去律。 当前的处理 作为一个自然数。 把0作为一个自然数。 为什么？ 为什么？
若an>0，且 ， i =1 成立吗？ 有an=n成立吗？ 成立吗
a i = (∑ a， )2 ∑ i
3 1
n
n
第二数学归纳法例举 第二数学归纳法例举
• 有两堆棋子 ，数目相等 。 两人玩耍 ，每 有两堆棋子，数目相等。两人玩耍， 人可以在一堆里任意取几棵， 人可以在一堆里任意取几棵 ，但不能同 时在两堆里取，规定取得最后一棵者胜。 时在两堆里取， 规定取得最后一棵者胜。 • 问先取者得胜，还是后取者可以得胜？ 问先取者得胜，还是后取者可以得胜？ • 试加以证明。 试加以证明。
自然数集的性质4 自然数集的性质 ——最小数原理与数学归纳法 最小数原理与数学归纳法
• • • • 性质4 最小数原理： 性质 、最小数原理： 自然数集的任一非空子集中必有一个最小数。 自然数集的任一非空子集中必有一个最小数 。 思路：先证自然数集N有最小数 有最小数1； 思路：先证自然数集 有最小数 ； 再用反证法证N的非空子集有最小数 的非空子集有最小数。 再用反证法证 的非空子集有最小数。
第二数学归纳法的理论基础
• • • • • • • • • 不是对一切自然数都成立， （用反证法）假设P(n)不是对一切自然数都成立， 用反证法）假设 不是对一切自然数都成立 则使P(n)不成立的所有自然数组成的集合 非空。 不成立的所有自然数组成的集合M非空 则使 不成立的所有自然数组成的集合 非空。 由最小数原理， 中必有最小数 中必有最小数h， 由最小数原理，M中必有最小数 ， 因为P(1)成立，故1不属于 ，所以 成立， 不属于M，所以h≠1， 因为 成立 不属于 ， 故令h=k+1， 故令 ， 于是p(1),p(2),…,p(k)都成立， 都成立， 于是 都成立 于是由2） 成立； 于是由 ）知 p(k+1)成立； 成立 但由h属于 属于M， 不成立， 但由 属于 ，故p(k+1)不成立，矛盾， 不成立 矛盾， 所以P(n)对一切自然数都成立。 对一切自然数都成立。 所以 对一切自然数都成立
2.自然数运算：加法和乘法的归纳定义 自然数运算： 自然数运算
• • • • • • • • • 定义7：加法定义： 设 ∈ ， 定义 ：加法定义：(1)设a∈N，则a+1=a/； (2)设a，b∈N，则a+b/=(a+b)/， 设 ， ∈ ， a+b叫做 和b的和。a和b叫做加数。 叫做a和 的和 的和。 和 叫做加数 叫做加数。 叫做 定义8 乘法定义： 设 ∈ ， 定义 ：乘法定义：(1)设a∈N，则a·1=a； ； (2)设a，b∈N，则a·b/=a·b+a， 设 ， ∈ ， ， a·b叫做 和b积。a叫被乘数，b叫乘数。 叫做a和 积 叫被乘数， 叫乘数 叫乘数。 叫做 叫被乘数 该定义给出了自然数乘法和加法的关系： 该定义给出了自然数乘法和加法的关系： a·b=a+a+ …+a(b个a相加） 相加） 个 相加 计算3+7和3 ·7。 例 、计算 和 。
自然数集的性质
自然数集的性质1~3 自然数集的性质
• 性质 、自然数集是有序集。 性质1、自然数集是有序集。 • 何谓有序集？指该集合中规定了顺序关系， 何谓有序集 ？指该集合中规定了顺序关系， 且它具有传递性和三分性。 且它具有传递性和三分性。 • 性质 、自然数集具有阿基米德性质： 性质2、自然数集具有阿基米德性质： • 如果 ∈N，则存在 ∈N，使得 如果a,b∈ ，则存在n∈ ，使得na>b。。 。。 • 证明：取n=b+1。 证明： 。 • 性质 、自然数集具有离散性： 性质3 自然数集具有离散性： • 任意两个相邻的自然数 与a/之间不存在自 任意两个相邻的自然数a与 然数b， 然数 ，使a&l ） （参看P18定理 ，7）,4 ,7 定理