八年级竞赛培优第14讲 一次函数与一次方程(组)

第14讲 一次函数与一次方程（组）
【思维入门】
1．直线y ＝2x ＋b 与x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于x 的方程2x ＋b ＝0的解是( ) A ．x ＝2
B ．x ＝4
C ．x ＝8
D ．x ＝10
2．如图4－14－1，直线y 1＝x ＋b 与y 2＝kx －1相交于点P ，点P 的横坐标为－1，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx －1的解集在数轴上表示正确的是
( )
图4－14－1 图4－14－2 图4－14－3
3．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图4－14－2所示，则kx ＋b ＞x ＋a 的解集是____．
4．如图4－14－3，已知函数y ＝2x ＋b 与函数y ＝kx －3的图象交于点P ，则不等式kx －3＞2x ＋b 的解集是____．
5．如图4－14－4，已知直线l 1：y ＝3x ＋1与y 轴交于点A ，且和直线l 2：y ＝mx ＋n 交于点P (－2，a )，根据以上信息解答下列问题：
(1)求a 的值，判断直线l 3：y ＝－1
2nx －2m 是否也经过点P ？请说明理由； (2)求解关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，
y ＝mx ＋n ，
请你直接写出它的解；
(3)若直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x >3，求直线l 2的函数解析式．
图4－14－4
【思维拓展】
6．直线y ＝－2x ＋m 与直线y ＝2x －1的交点在第四象限，则m 的取值范围是
( )
A ．m >－1
B ．m <1
C ．－1<m <1
D ．－1≤m ≤1
7．若直线323x ＋457y ＝1 103与直线177x ＋543y ＝897的交点坐标是(a ，b )，则a 2＋2 004b 2
的值是______．
8．如图4－14－5，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值；
(2)求解关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝mx ＋n ，请你直接写出它的解；
(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．
图4－14－5
9．如图4－14－6，四边形A 1OC 1B 1，A 2C 1C 2B 2，A 3C 2C 3B 3均为正方形，点A 1，A 2，A 3
和点C 1，C 2，C 3分别在直线y ＝1
2x ＋1和x 轴上，求点C 1和点B 3的坐标．
图4－14－6 【思维升华】
10．如图4－14－7，直线l 1，l 2相交于点A (3，2), l 1，l 2 与x 轴分别交于点B (1，0)和C (－2，0)，则当y 2>y 1>0时，自变量x 的取值范围是 ( )
图4－14－7
A ．x >－2
B ．x >1
C ．1<x <3
D ．－2<x <3
11．已知函数y ＝()1－a x ＋a ＋4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a 的个数是
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．有两个函数y ＝ax ＋b 和y ＝cx ＋5，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标是(3，－2)，学生乙因抄错c 而得出交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
34，14，则函数y ＝ax ＋b 的解析式是____．
13．如图4－14－8，已知直线y ＝－2
3x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，且点P (1，a )为坐标系中的一个动点．
(1)求三角形ABC 的面积S △ABC ；
(2)请说明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数； (3)要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．
图4－14－8
第14讲一次函数与一次方程（组）
【思维入门】
1．直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是(A) A．x＝2 B．x＝4 C．x＝8 D．x＝10
2．如图4－14－1，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是(A)
图4－14－1
3．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图4－14－2所示，则kx＋b＞x＋a的解集是__x＜－2__．
图4－14－2
4．如图4－14－3，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx －3＞2x＋b的解集是__x＜4__．
图4－14－3
5．如图4－14－4，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a)，根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值，判断直线l3：y＝－1
2nx－2m是否也经过点P？请说明理由；
(2)求解关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，
y ＝mx ＋n ，
请你直接写出它的解；
(3)若直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x >3，求直线l 2的函数解析式．
图4－14－4
解：(1)∵(－2，a )在直线y ＝3x ＋1上， ∴当x ＝－2时，a ＝－5.
∵点P (－2，－5)在直线y ＝mx ＋n 上， ∴－2m ＋n ＝－5，
若直线y ＝－1
2nx －2m 也经过点P ，
∴将P 点横坐标－2代入y ＝－12nx －2m ，得y ＝－1
2n ×(－2)－2m ＝－2m ＋n ＝－5，这说明直线l 3也经过点P ； (2)方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，
y ＝－5；
(3)∵直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x >3， ∴直线l 2过点(3，0)． 又∵⎩⎨⎧3m ＋n ＝0，－2m ＋n ＝－5，
解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－3.
∴直线l 2的函数解析式为y ＝x －3.
【思维拓展】
6．直线y ＝－2x ＋m 与直线y ＝2x －1的交点在第四象限，则m 的取值范围是
( C )
A ．m >－1
B ．m <1
C ．－1<m <1
D ．－1≤m ≤1
7．若直线323x ＋457y ＝1 103与直线177x ＋543y ＝897的交点坐标是(a ，b )，则a 2＋2 004b 2
的值是__2__008__．
【解析】 把323x ＋457y ＝1 103与177x ＋543y ＝897联立，得 ⎩
⎨⎧323x ＋457y ＝1 103，177x ＋543y ＝897， 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.
∴a ＝2，b ＝1， 因此a 2＋2 004b 2＝2 008.
8．如图4－14－5，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值；
(2)求解关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋1，
y ＝mx ＋n ，请你直接写出它的解；
(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．
图4－14－5
解：(1)∵(1，b )在直线y ＝x ＋1上， ∴当x ＝1时，b ＝1＋1＝2； (2)方程组的解是⎩⎨⎧x ＝1，
y ＝2；
(3)直线y ＝nx ＋m 也经过点P .理由如下： ∵当x ＝1时，y ＝nx ＋m ＝m ＋n ＝2，
∴(1，2)满足函数y ＝nx ＋m 的解析式，则直线经过点P .
9．如图4－14－6，四边形A 1OC 1B 1，A 2C 1C 2B 2，A 3C 2C 3B 3均为正方形，点A 1，A 2，A 3
和点C 1，C 2，C 3分别在直线y ＝1
2x ＋1和x 轴上，求点C 1和点B 3的坐标．
图4－14－6
解：在y ＝1
2x ＋1中，令x ＝0，解得y ＝1，则A 1是(0，1)， ∴C 1是(1，0)，把x ＝1代入y ＝12x ＋1，得y ＝3
2， ∴C 1C 2＝C 1A 2＝32，∴OC 2＝5
2. 把x ＝52代入y ＝12x ＋1，得y ＝94， ∴C 2A 3＝C 2C 3＝C 3B 3＝9
4，
∴OC 3＝194，∴B 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
194，94.
【思维升华】
10．如图4－14－7，直线l 1，l 2相交于点A (3，2), l 1，l 2 与x 轴分别交于点B (1，0)和C (－2，0)，则当y 2>y 1>0时，自变量x 的取值范围是
( C )
图4－14－7
A ．x >－2
B ．x >1
C ．1<x <3
D ．－2<x <3
【解析】 由图象可知当y 2>y 1时，x <3，当y 1>0时，x >1，所以当y 2>y 1>0时，1<x <3. 11．已知函数y ＝()1－a x ＋a ＋4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a 的个数是
( C )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解析】 ∵1－a ＝0时，a ＝1，函数为y ＝5，即平行于x 轴的直线，且不过第四象
限，
∵函数y ＝(1－a )x ＋a ＋4的图象不经过第四象限， ∴1－a ＞0且a ＋4≥0，即－4≤a ＜1，
∴满足题意的整数有－4，－3，－2，－1，0，1，共6个．
12．有两个函数y ＝ax ＋b 和y ＝cx ＋5，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标是(3，－2)，学生乙因抄错c 而得出交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
34，14，则函数y ＝ax ＋b 的解析式是__y ＝－x
＋1__．
【解析】 即3a ＋b ＝－2，34a ＋b ＝1
4，解出a ＝－1，b ＝1.
13．如图4－14－8，已知直线y ＝－2
3x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，且点P (1，a )为坐标系中的一个动点．
(1)求三角形ABC 的面积S △ABC ；
(2)请说明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数； (3)要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．
图4－14－8
解：(1)令y ＝－2
3x ＋2中x ＝0，得点B 坐标为(0，2)．令y ＝0，得点A 坐标为(3，0)． 由勾股定理可得|AB |＝13. 所以S △ABC ＝132；
(2)不论a 取任何实数，△BOP 都可看做以BO ＝2为底，点P 到y 轴的距离1为高的三角形，
所以S △BOP ＝1为常数； (3)当点P 在第四象限时，
因为S △ABO ＝3，S △APO ＝－3
2a ，S △BOP ＝1，
所以S △ABP ＝S △ABO ＋S △APO －S △BOP ＝S △ABC ＝13
2， 即3－32a －1＝13
2，解得a ＝－3； 当点P 在第一象限时，
∵S △ABO ＝3，S △APO ＝3
2a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP ＋S △AOP －S △ABO ＝13
2，
即1＋32a －3＝132，解得a ＝173.综上可知，a 的值为－3或173.。