有限元-伽辽金法

单元结点温度列阵
e
12
3
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
e [Ni
Nj
N e
Nm
] ij
N
e e
Ni
Nj
Nm
m
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
Nr (x, y) ( ar br x cr y ) br
3
NeTQd NeTqds+ NeTh ds
e
2
3
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
1
2
x 2 e
y22NxeT
Ne
Qx=0
NeT Qd
Ne y
T
Nye ,xdnx
n hNeT
3 ,y
Ne
y
ds
q
NeTqds+,xnNxeThd,ysny h
x (a ,b)
x=a
x=b
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du%(x)dx+1(x)B1 u%dx+2 (x)B2 u%dx 0
e
2
3
e
2
3
Ke e = Fe
K e
e
Ne x
T
Ne x
NeT y
Ne y
d
hN eT Ne ds
3
热传导刚度矩阵
F e NeTQd NeTqds+ NeThds 温度载荷列阵
e
2
3
K
e rs
e
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d hNr Nsds,
3
r,s=1,L ,n
n
% x, y Ni x, yie Ne e i1
Ni x, y 结点形函数
ie 结点温度
N1
T
形函数矩阵
Ne M
1
单元结点温度列阵
e
M
N
n
R
2%
x 2
2%
y2
Q
n
R1 0
微分方程的余量
R 2
%
x nx
%
y ny
q
R3
x%n x
y%n y
a
N1(x)=x(1 x) w1(x) N1(x)=x(1 x)
(m=2)
N2 (x) x2 (1 x) w2 (x) N2 (x) x2 (1 x)
b
x(1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
a
b
x2 (1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
Qd
2
Nr
%
x nx
Nr
%
y n y
ds
3
Nr
%
x nx
Nr
%
y n y
ds
e
Nr x
%
x
Nr y
%
y
N
r
Q
d
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
e
Nr
2%
x 2
2%
y2
Qd
2
Nr
x%n x
Nr
y%n y
ds
3
Nr
x%n x
Nr
y%n y
ds
二、三结点三角形单元
K e
e
NeT x
Ne x
NeT
y
Ne y
d
3
hN eT Ne ds
K
e
H
e
K
e
e
NeT x
Ne x
NeT y
Ne y
d
Krs
e
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d
4Ae
br bs
crcs
r,s=i, j, m
热传导刚度矩阵
K
e
D
~
u
r
R
x
~
B1 u R a
~
B2
u
Rb
Du%(x) R(x) 0 R(x) —余量
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
定理：x (a ,b),E(x) 0 对任意连续函数 x
b
(x)E(x)dx 0
若将
a
E(x)换成
Du(x)
，微分方程的等效积分形式：
Du(x) 0,
B1 u 0, B2 u 0,
j
cmci
cic j
c
2 j
cmc j
2 1 0
He
hlij 6
1 0
2 0
0 0
cicm c jcm cm2
hlij 6
2 1 0
1 2 0
0 0 0
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
温度载荷列阵
F e
NeTQd
NeTqds+
NeT
h
ds=F e Q
Fe h
Fe a
e
2
R
2%
x 2
y2% 2
Q
3
蜒
B x
P y
d
Pdx Bdy
Bnx Pny
ds
e
Nr
2%
x2
2%
y2
Qd
e
x
Nr
x%
y
Nr
%
y
d
e
Nr x
%
x
Nr y
%
y
N
r
Q
d
Ñ
Nr
x%n x
Nr
%
y
n
y
ds
e
Nr x
%
x
Nr y
%
y
Nr
Q
d
9.3二维稳态热传导有限元方程
x
x
2A
2A
Nr (x, y) ( ar br x cr y ) cr
r i, j, m
y
x
2A
2A
Krs
e
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d
r,s=i, j, m
Krs
e
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d
4Ae
br bs
crcs
9.3二维稳态热传导有限元方程
b
wi (x)R(x)dx 0 （i=1，2，…，n，… ）
a
wi x — 权函数
权函数的取法可以是各种各样的，从而得 到不同的加权余量法，常用的方法包括配 点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽 辽金法。
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
wi (x)R(x)dx 0 （i=1，2，…，n，… ）
e
2
3
Fre NrQd qNrds Nrhds r=1,L ,n
e
2
3
如果单元的热源密度 Q为常数，由内部热源产生的温度载荷列阵
F e Q
N eTQdA Q
A
A
Ni Nj
N m
dA
Q
3
A
1 1 1
设 h, q, 都是常数， 2为jm边， 3 为ij边
F e h
2
NeTqds
h
%
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程dx nyds
w1rRd wd2yrRn2 dxsds w3rR3ds 0
e
2
3
r 1, 2,L , n
w1r Nr , w2r Nr , w3r Nr
NrRd NrR2 ds NrR3ds 0 r 1, 2,L , n
4A
bi2
bi b j
bmbi
bibj b2j bmb j
bibm bjbm bm2
4A
ci2 cic
j
cmci
cic j
c
2 j
cmc j
cicm c jcm
cm2
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
K e
e
NeT x
Ne x
NeT
y
Ne y
d
b
NiR(x)dx 0 （i=1，2，…，m）
a
伽辽金法
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程
解：
d 2u u x 0
dx2 u0 x0 u 0 x 1
(0 x 1)
u%x =c1x(1 x) c2x2(1 x) c1N1(x) c2N2(x)
N1(x)=x(1 x)
3
hN eT Ne ds
K
e
H
e
H e hNeTNeds
3
H
e rs
hNr Nsds
r,s=i, j, m
3
设对流换热系数 h 是常数，3若 是ij边
热传导刚度矩阵
Ke
k 4A
bi2
bib j
bmbi
bibj b2j bmb j
bibm bjbm bm2
k 4A
ci2 cic
a
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
b
x(1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
a
b
x2 (1 x) x c1(2 x x2 ) c2 (2 6x x2 x3) dx 0
a
c1 0.1924 c2 0.1707
u%x =x(1 x)(0.1924 0.1707x)
Fre NrQd qNrds Nrhds r=1,L ,n
e
2
3
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
K e
e
NeT x
Ne x
NeT y
Ne y
d
3
hN eT Ne ds
K
e
H
e
F e NeTQd NeTqds+ NeThds
e
2
3
Kers
e
a
a
a
x,1 x,2 x
b
b
b
(x)R( x)dx+ 1(x)Ra (x)dx+2(x)Rb(x)dx 0
a
a
a
u%(x) 满足边界条件
b
x,1 x,2 x (x)R(x)dx 0 a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
x,1 x,2 x (x)R(x)dx 0 a
x C1w1 x C2w2 x L Cnwn x L
一、有限元方程
e
Nr
2%
x 2
2%
y2
Qd
Ñ
Nr
%
x nx
Nr
%
y
ny
ds
e
Nr x
%
x
Nr y
%
y
N
r
Q
d
1上 % 0
Nr
%
x nx
Nr
%
x nx
Nr
%
y ny
ds
3
Nr
%
x nx
Nr
%
y ny
ds
e
Nr
x2% 2
y2% 2
—热传导系数
1 （给定温度边界） 热流量
边界条件
,xnx ,yny q 2 （给定热流边界）
对流换热系数
,xnx ,yny h 3（对流换热边界）
nx , ny 边界外法线单位向量 n 的方向余弦
环境温度
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
有n个结点的一个单元内的温度场设为
%
x nx
%
y ny
ds 3
Nrh
%
ds
e
Nr x
% Nr
x y
%
y
Nr
Q
d-
2
Nrqds-
3
Nrh
%
ds 0
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
e
Nr x
% Nr
x y
%
y
Nr
Q
d-
2
Nr
qds-
3
Nr
h
%
ds 0
e
Nr x
% Nr
a
m
u%x =uo x ciNi x
i1
与
uo x 是已知函数
Ni x
当m=n时，则可确定出待定系数ci
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
b
wi (x)R(x)dx 0 （i=1，2，…，n，… ）
a m
u%x =uo x ciNi x i1
uo x 是已知函数
Ni x
取权函数
wi x=Ni ，x就得到了含有m个未知量的代数方程组
x y
%
y
Nr
Q
d
2
Nr
qds
3
Nr
h
%
ds 0
%x, y Nee
e
Nr x
Ne x
Nr y
Ne y
d e
e
QNrd qNrds
2
NrhNeds e Nrh ds 0 r 1, 2,L , n
3
3
e
Ne x
T
Ne x
NeT y
Ne y
d
hNeTNeds e
第九章 用伽辽金法导出有限元方程
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法 当微分方程不易求得精确解时，
可以用加权余量法求得一个近似解。
例如一维微分方程
Du(x) 0,
B1 u 0, B2 u 0,
x (a ,b)
x=a
（D为一维微分算子）
x=b
假定u(x)为上微分方程的精确解，u%(x)为近似解。
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d hNr Nsds,
3
K
rs
H
e rs
r,s=1,L ,n
K
rs
e
Nr x
Ns x
Nr y
Ns y
d
H
e rs
hNr Nsds,
r,s=1,L ,n
3
r,s=1,L ,n
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元