运筹学第二章
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2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤-≤+≤++=0
,84821234..2max 212121212
1x x x x x x x x t s x x z
解：首先划出平面直角坐标系
4 x 1 +3x 2
X 1
⎩⎨
⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=1
4921
x x 所以：2
111492max =+⨯=z 所以有唯一解
(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤-≤+≤+-+=0
,414234
223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：
2=4
1
⎩⎨
⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==413
2
521x x 所以:144
13
2253max =⨯+⨯
=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行， 所以有无穷多最优解，max z=14
（3） ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432
..32max 2
121212
1x x x x x x t s x x z 解：
（4）
⎪⎩⎪
⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330
..max 2
121212
1x x x x x x t s x x z
解：
2.2将下列线性规划问题化为标准形式
(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321
3
213
213
21,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0
,02
3213
2..23min 3213213
1323
21x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：（1）令
011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x
则上述形式可化为：
)'''(32'2max 3321x x x x z --+=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=+--+=-++0
,'',',,'6)'''('24
)'''('..43
321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0
,02321
3
2..23min 3213213
1323
21x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：
')'''(23max 3221x x x x z ----=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0
,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s
2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
（1） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥=++=+=++=)4,3,2,1(0182312
24..53max 5214
2312
1j x x x x x x x x t s x z j
解：如下图所示
由图可知，第一，三，四，五，七，八，九，十组全为基解，第一，三，五，九，十组为基可行解，最优解为第十组：x 1=2, x 2=6 X 3=2, x 4=0, x 5=0
(2)32118124min x x x z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=-+=-+)5,...,1(053233..532431j x x x x x x x t s j
解：
2.4. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 2
121212
1x x x x x x x x z
解：化为标准形式：
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=++=+++=0,,,8259
43510max 4
32142132121x x x x x x x x x x x x z
T x )0,0,2
3
,1(*=
（2）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤≤++=0,120062200500200100max 212112121x x x x x x x x x z
解：化为线性标准形式有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=++=+=+++=0
,,,,120062200500200100max 543215214132121x x x x x x x x x x x x x x x z
所以，最优目标函数值为 3max =
z )0,0,3
,3,
200(*=x 2.5. 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：
（1）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥-≤++=0
,217
2 2
3 max 212121
212
1x x x x x x x x x x z
解：化为标准形式：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=+-+=+--=++--+=0
,,,,,,2172 23 max 7654321752164213217
621x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x z