绝对值不等式恒成立

2 转化为最值问题： 0 a ( ) min x
2 0 a ( ) min x
2 令 h( x ) ，易知它在 x
x (0,1) 内是减函数
h( x)min h(1) 2
所以： 0 a
2,
写成区间形式：a (0, 2]
再说法二、平方法：
ax 1 1 ax 1 1
ax 1 1
最后这个绝对值很容易去掉，有什么方法？ 公式法、平方法
先说法一、公式法：
ax 1 1 1 ax 1 1 0 ax 2
变量分离：不等式各边同除以x，因为x>0所以：
2 0a x
所以，原题就等价变形为：
2 0a x
在
x (0,1) 内恒成立
二、不等式恒成立问题，常常转化为最值问题来研究：
f f
x k x k
恒成立
有解（有时成立）
fmin x k
fmax x k
f f
x k x k
恒成立
有解（有时成立）
fmax x k
fmin x k
fmax x k
f f
x k x k
恒成立
有解（有时成立）
fmax x k
fmin x k
详细讲解请观看本人【恒成立】有关讲座
实际上，运用本题的解题思路和方法，可以轻松解决【绝对值 不等式恒成立问题】。请同学试做一下各题：
答： [4, )
即取 f(x)>-a和f(x)<a的交集
f ( x) a f ( x) a.or. f ( x) a
即取f(x)<-a、f(x)>a的并集
一、去绝对值的方法： 定义法、公式法、平方法
3、平方法:
a
2
a
2
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2 2
不等号两边保证为非负的情况
x 1 x 1 0 x 1 ( x 1) x 1 x 1 0 x 1 x 1 x (0,1) 0 x 1 x 1 x 1 x 1
f ( x) x x 1 ax 1 x
x 1 ax 1 x 1 ax 1 0
详细讲解请观看本人【恒成立】有关讲座
例3、（2018年高考文科数学23题）已知：
若 x (0,1) 时，不等式
f ( x) x 1 ax 1
f ( x) x 恒成立，求a的取值范围。
解：一系列等价变形，先去掉绝对值：
f ( x) x x 1 ax 1 x
x 1 对应的零点是：x 1
绝对值不等式恒成立问题
2018年高考数学第23题第二问解法初探 主讲人：河北保定 周率（老π）
本文总结去绝对值的三种方法，并结合历届高
考题给出恒成立转化为最值的求法，对解答高考数
学23题具有很好的指导意义。
绝对值不等式恒成立问题，其实很简单，因为它有规律可依：
一是去掉绝对值 二是把恒成立问题转化为最值问题
一、去绝对值的方法： 定义法、公式法、平方法
1、定义讨论法:
f ( x)
f ( x)
f ( x) 0
0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x) 0
一、去绝对值的方法： 定义法、公式法、平方法
2、来自百度文库式法:
f ( x) a a f ( x) a
h( x) 0 恒成立，转化为最值问题： h( x)max 0
当a=0时，原式为：0<0，不恒成立。
h( x) 是开口向上的二次函数。 当 a 0时，
最大值只与两个端点有关，此时不用讨论。
只需把两个端点代入不等式中。有：
h(0) 0 h(1) 0
0 a 2,
写成区间形式： a (0, 2]
4 ( 1, ] 3
1 17 (1, ] 2
[1,1]
(
1 , ) 2
(0, 2]
这些都是近几年的高考原题。 怎们样，同学们，有信心拿分了吧！
谢谢各位老师的指导！
2 2
2
(ax 1) 1
2
a x 2ax 1 1 a x 2ax 0
2 2
h( x) a x 2ax h( x ) 0 原题就等价变形为：
2 2
恒成立
转化为最值问题： h( x)
max
0
h( x) a x 2ax x (0,1)
2 2
通过本题的讲解，同学们可以体会到：
绝对值不等式恒成立问题，其实很简单，因为它有规律可依：
一是去掉绝对值
定义法、公式法、平方法
二是把恒成立问题转化为最值问题
二、不等式恒成立问题，常常转化为最值问题来研究：
f f
x k x k
恒成立
有解（有时成立）
fmin x k