材料力学 梁的应力

C
剪应力沿Q方向的分量 y的近似值
k y a m

z
max O
n
y
QS y I zb
z
* z
（1）
a
b
由此，的近似值

y
y
cos
圆形截面剪应力
（1）式中：为弓形面积mkn对中性轴的面积矩；b 为弓形面积的弦长（即mn长度）；a为y和之间的 夹角。 由（1）式知： y在中性轴处有最大剪应力max:
dx
* QS z ' bI z
根据剪应力互等定理可知 ' ,故
* QS z bI z
（a）
式（a）即为所求横截面上距中性轴为y的各点处
的剪应力计算公式。
其中：Q ——计算横截面上的剪力； Iz ——整个横截面对中性轴的惯性矩； b ——矩形截面的宽度； * S z ——距中性轴为y的横线以下部分的横截面面积 A1对中性轴的面积矩。
（b）
h 时（截面上、下边缘处）， 2
0
当y=0时（截面的中性轴处），剪应力达到最大值，
max
Q h2 Qh2 3 Q 3 bh 2I z 4 2 bh 8 12
或
max
3Q 2 A
上式表明：矩形截面梁横截面上的最大剪应力值必 平均剪应力值
2.2 工字形截面梁的剪应力
1 2
1
2
1
1
2
2
q(x )
1 M=M 1 2 M+dM=M 2 M+dM=M M=M Q Q
1 2
Q Q aa b b
1
x
x
a ba dx
2
x
1
x
2 1
2 dx dx
b dx
x
x
1
dx
dx
(b)
2
1
2
1
2
(a)
(c)
(a)
(b)
(c)
假设：
（1）横截面上各点处的剪应 力与该截面上剪力Q的方向 一致；
m
中性层
O y
d) m
m b a m
n b a n
O
(e)

层
m
纯弯曲直梁的受力变形的两个假设 ：
（1） 平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保 持为平面，且仍与变形后的梁轴线保持垂直。 （2）单向受力假设：认为梁的各纵向纤维之间没 有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上 各点处的纵向线段均处于单向应力状态。
1 b 1 2 h Q z d c x a 1 dx b y 2
（2）横截面上距中性轴距离 相等的各点（y相同）的剪 应力相等，即剪应力沿横 截面宽度保持不变（如图 ），该假设适用于高度h大 于其宽度b的矩形截面。
(a)
矩形截面梁的剪应力公式推导
计算简图
a dx
d ' c A2 b ' q (b) a b
m O
(e)
a n
微段梁dx上a-a处沿 轴线x方向应变为
（ y）d d x d y ky
m
m
d
n x
m
O1 dx O2
a
a

y
（1）
——中性层处曲率半径 1 k ——曲率

（1）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤 维距中性层的距离y成正比。
2. 物理关系
(g ) M dA y
E
z x dA z y
0 Sz 0
x 0
N A dA E E
A

ydA

A
ydA
E

Sz 0
（3）
因为
M

y
0
E
A
M y A zdA

yzdA
E

A
yzdA
E

I yz 0
（4）
由（4） I yz 0
工字梁腹板横截面上剪应力的分布
B t h y1 t (a) y A2 (b) d O y A1 y2 max min
z
max
腹板上距中性轴为y处各点的剪应力（矩形截面）
QS Izd
* z
（c）
式中：以腹板厚度d代替公式（a）中计算宽度b ，Q为剪力，Iz的表达式为
B (B d ) 3 3 Iz (h 2t ) h 12 12
M dM Iz
M dM * A ydA I z S z
N 1 M Iz

A2
dA

A2
M ydA Iz
（3）
M * A1 ydA I z S z
T dA ' d A ' A' ' bdx
A' A'
（4）
将N1、N2和T的表达式（2）、（3）和（4）代入式（ 1），并微分关系 dM Q 可得
* z
2
h (y ) 2
（2）
将式（1）与式（2）代入公式（c）即可求出腹 板上任一点处剪应力t 。 中性轴处（y=0）的最大剪应力也就是整个 工字形截面上的最大剪应力t max ，即：
max
式中：
S
* QS z max dI z
* z max
d 2 Bt h (h t ) 8 2
（1）
* 其中： S z 为y以下图形面积对中性轴z的面积矩，即部 分腹板A1和翼缘面积A2对z轴的面积矩之和。
S A1 y1 A2 y2
* z
h A1 d ( y ) 2
1 h y1 ( y ) 2 2
A2 B t
h t y2 2 2
故有
d h Bt 2 S ( y ) (h t ) 2 4 2
max
其中：
bD
* QSz max 4Q bI z 3 A
Iz

64
D4
S
* z max
1 2 2D D 2 4 3
2.4 薄壁圆环形截面梁的剪应力
假设：
（1）剪应力沿璧厚度不变，或沿璧厚t为常量。 （2）任一点处的剪应力方向与所在点的圆周边 相切。（如图所示）
——抗弯截面模量
则
max t max c max
M Wz
不同梁横截面的抗弯截面模量：
b ymax z ymax
d ymax ymax y

D d ymax
z
ymax y

z
y
b 3 h I z 12 b Wz h2 h h 6 2 2
h
d I z 64 3 Wz d d d 32 2 2
M
1
z
M
E
A
M z A ydA M EI z

y dA
2
E

A
y dA
2
E

Iz M
(5)
等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一 式为
点处正应力公
My x Iz
上式中
矩；
EI z
I z A y 2 dA —为梁的横截面图形对中性轴的惯性
—为梁的抗弯刚度。
§5.2 梁横截面上的剪应力
2.1 矩形截面梁的剪应力
当梁在其纵向对称平面内受有横向荷载时， 梁的横截面上有剪力Q存在，相应地横截面上 必然有剪应力 。
如下图所示矩形截面梁上两截面上同一个坐标点处 的正应力值不相等(图c)，但两截面上的剪力Q值相 等(图b) 。
P1
P1
P2
1 2
q(x )
P2
(发生在梁跨中截面处) 由自重引起的的最大正应力:
q max q M max 18.74 103 8.06MPa 6 Wz 2340 10
自重和荷载P共同作用下的最大正应力
max
q max

q max
8.06 160.12 168.18MPa
发生在梁跨中截面上、下边缘处。
* Sz

A1
ydA A1 y1
h 1 h b h2 [b ( y )][y ( y )] ( y2 ) 2 2 2 2 4
（5）
将（5）代入公式（a）可得矩形截面的剪应力计算 公式的另一种表达式：
Q h2 ( y2 ) 2I z 4
由此可见，当 y
x的符号确定方法：
(1) 将弯矩M和坐标y的正负号同时代入； (2) 以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力， 而凹入边的应力则为压应力。
梁横截面上正应力的最大值：
永远出现在梁截面的上、下边缘处 Mymax max t max c max Iz
Iz 令Wz ymax
p M max a Iz
560 375 10 ( 21) 103 2 ya 65600 108
3
148.09MPa
（3）考虑自重时，把自重化为均布荷载，查 型钢表中 理论重量q=1.041kN/m。
由自重引起的最大弯矩:
M
q max
q 2 1 l 1.041 12 2 18.74 kN m 8 8
例题5-1 如图（a）所示的简支梁为56a号工字型钢，截面简 化尺寸如图（b）所示。若梁上作用有集中力P＝125kN，试 求： （1）不计梁自重时，该梁危险截面上的最大正应力maxp； （2）不计梁自重时，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处a点 的正应力a。
P P 166 B
P A 3m M C
A 3m M 6m
腹板上的最小剪应力 min应出现在腹板和翼缘交 h 界 ( y ) 处：
2
min
式中：
* QS z min dI z
S
* z min
Bt (h t ) 2
工程上使用轧制的各种工字钢可根据附录Ⅱ型钢 表直接查出 max 。
将式（1）与式（2）代入公式（c）即可求出腹板
上任一点处剪应力 。 中性轴处（y=0）的最大剪应力也就是整个工字 形截面上的最大剪应力 max ，即：
(f) M z x y y
纯弯曲直梁上有正应力sz ，而sy=0 。若梁内的应 力不超过材料的比例极限sp ，且材料的拉伸与压缩弹性模 量相同时，胡克定律，即得
x
E

y kEy
（2）
该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的 距离y成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。
y
3. 静力学关系
危险截面应在梁段CD中任一截面。 利用型钢表，可查得56a号工字钢的截面几何性质：
I z 65600 cm
4
Wz 2340 4 cm
560
危险截面上的最大正应力
p max p M max 375 103 160.12MPa 6 Wz 2340 10
（2）危险截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力
max
* QS z max dI z
腹板上的最小剪应力 min应出现在腹板和翼缘交界 处 ( y h ) 处：
2
min
QS dI z
* z min
2.3 圆形截面梁的剪应力
假定：
（1）在圆截面上离中性轴等距离处，即与中性轴z 平行的任一直线mn上的各点剪应力，其方向都 相交于剪力Q平行的主惯性轴y轴上的一点C（如 图）。 （2）在圆截面上离中性轴等距离处（如mn直线上） 各点的剪应力，其沿剪力Q方向的分量t y的大小 都相等。
d ' c ' A1 (c) b
N1
h/2
d T a x dx b q b
c N2
O y A1 d A y (e)
z y 1
(d)
h/2
根据图（d）建立平衡条件 X 0 得
N1 T N 2
根据（b）、（c）可知
N 2
（1）
Байду номын сангаас

A1
dA

A1
M dM ydA Iz
（2）
P Q图 M图 P Pa
1.2 纯弯曲直梁段横截面上的正应力
综合考虑：几何关系 物理关系 静力学
1. 几何关系
梁横截面上的变形
z
(a) O y
纵向对称轴 m b
x
n b a n
(b)
a m
dx
c)
中
性
z m x
梁横截面上的变形 规律：
（1）纵向线a-a和b-b， 由变形前的直线弯曲 为直线。
（2）在变形前，与梁轴 线垂直的横向直线mm和n-n变形后仍保持 为直线，且仍与弯曲 后的梁轴线保持垂直 。
C
P
6m (a)
D
166
12.5
560
D
B
3m
12.5
a
z
560
3m
375kN .m (c)
z 21
(a)
a
y (mm)21 (b)
A
C
D
B
12.5
解
z 6m 3m 3m （1）首先不考虑梁自重，作出梁的弯矩图（c），有 (a) a 21 M y (mm) (b)
375kN .m (c)
p M max 125 3 375kN m
第五章
梁的应力
§5.1 梁横截面上的正应力
1.1 纯弯曲与横力弯曲
概念： 横力弯曲梁段——梁的横截面上既有剪力Q，又有弯 矩M，这种梁段叫横力弯曲梁段。
纯弯曲梁段——剪力Q=0，而弯矩M=Pa=常数，这种 梁段称为纯弯曲梁段。
P
P
a
a
纯弯曲梁段：CD段
P
计算简图 A
C
D
B
横力弯曲梁段： AC、BD段
4
Wz
Iz 64 D D 2 2 3 d D [1 ( ) 4 ] 32 D
(D4 d 4 )
1.3 纯弯曲梁段横截面上的正应力
当 l / h 5 时，横截面上的剪力对正应力分布 和最大值的影响一般在5％以内，因此横力弯曲时横 截面上的正应力 采用下式
M ( x) y x Iz