概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)

3.若两事件A、B 满足 P(AB) 0, 则 （ C ） （A）A，B 互不相容 （B）AB是不可能事件
（C）AB未必是不可能事件
（D）P（A） 0 或 P（B） 0 4.设A,B为两个随机事件，P(A) 0.7, P(A B) 0.3
求 P(AB) .解：P(A B) P(A) P(AB)
解：设事件A表示所取产品检查后被认为是合格品， 事件B表示所取产品为合格品，则
（1）P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B)
0.960.98 0.040.05 0.9428
（2）P(B | A)
P(B)P(A | B)
P(B)P(A | B) P(B)P(A | B)
设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
（1） P( A) P5( 4) C54 0.840.2 0.4096
（2） P( B) P5( 4) P5( 5)
C
4 5
0.840.2
C
5 5
0.85
0.7373
（3） P(C ) 1 P(C) 1 P5( 5)
1
C
5 5
例1 某种小树移栽后的成活率为90%,一居民小区 移栽了20棵,求能成活18棵的概率.
解 设A：能成活18棵，则
p( A) P20 (18)
C18 20
(0.9)18
(0.1)
2
0.2852
将每棵小树看作一次试验，是相互独立的，且 每次试验只有两种结果： “成活”、“不成 活”. 因此，20棵小树能否成活可看作贝努利试 验：n=20，p=0.9
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的定义和基本性 质。
3 给出了古典概型，要会计算这类概率。
4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。
5 给出了随机事件独立性的概念，要会利用事件 独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
有且仅有两个结果：射中 A、未射中 A
所以这是一个贝努利试验
二、n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率
定理(P27) 在n重贝努里试验中事件A发生的概率为 P(A)=p (0<p<1),则事件A在 n 次试验中恰好发生k次 的概率为：
Pn (k ) Cnk pkqnk ,
其中： k 0,1, , n, q 1 p
例2(P28)某篮球运动员进行投篮练习，设每次
投篮的命中率为0.8，独立投篮5次，求 （1）恰好4次命中的概率； （2）至少4次命中的概率； （3）至多4次命中的概率.
解：将每次投篮看作一次试验，则每次试验只有两
种结果： “命中”、“不中”.因此，运动员独 立投篮5次可看作贝努利试验：n=5，p=0.8
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{X 2} P{X 2} P{X 3}
C32
(1)2 2
1 2
C33
( 1 )3 2
1 2
又如 s 3, a 1, b 2
则再赌2局必分胜负
P{甲赢}
P{X
2} C22
( 1 )2 2
1 4
第一章 小 结
0.96 0.98 2352 0.9979 0.9428 2357
6.某单位号召职工每户集资3.5万元建住宅楼，当天 报名的占60%，第二天上午报名的占30%，而另外 10%在第二天下午报了名，情况表明，当天报名的人 能交款的概率为0.8，而在第二天上、下午报名的人 能交款的概率分别为0.6与0.4，试求： （1）报了名后能交款的人数的概率； （2）某个已交款的人他是第二天下午报名的概率。
P(AB) P(A) P(A B) 0.7 0.3 0.4,
P( AB) 1 P( AB) 1 0.4 0.6
5.已知一批产品的合格率为96%，检查产品时，一 合格品被认为是次品的概率是0.02，一次品被认为 是合格品的概率是0.05，求 （1）一产品检查后被认为是合格品的概率。 （2）一检查后被认为是合格品的产品确实是合格 品的概率。
2. n重贝努利试验(P27)
设E是随机试验，在相同的条件下将试验E重复进 行n次，若 1）由这n次试验构成的试验序列是独立试验序列
2）每次试验有且仅有两个结果：事件 A和事件 A
3）每次试验事件A 发生的概率都是常数 p,即 P( A) p
则称该试验序列为n重贝努利（Bernoulli）试验， 简称为贝努利试验或贝努利概型
第六节 n重贝努利试验
一、n重贝努利试验的概念 二、n重贝努利试验中事件A恰 好发生k次的概率
一、n重贝努利试验的概念
1. 独立试验序列 P26 设E是随机试验，如果在相同的条件下将试验E
重复进行若干次，且各次试验的结果互不 影响， 即每次试验结果发生的概率都不依赖于其它各次 试验的结果，则由这若干次试验构成的试验序列 称为独立试验序列
0.85
0.6723
例3 一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求: (1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率; (2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率.
解 由于一条生产线上的产品很多，当抽取的件数 相对较少时，即使无放回抽取也可以看成是独 立试验，而且每次试验只有两种结果： “次 品”、“正品”. 因此，任取10次产品可看作贝 努利试验：n=10，p=0.04
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观
察结果有且只有两种可能：出事故 A、平安经过 A
所以这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目 标独立射击 n 次，观察射击结果 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击
设事件A：10件中至少有两件次品，则
10
p( A) p10 (k) 1 p10 (0) p10 (1) k 2 1 0.9610 C110 0.04 0.969 0.0582
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品； 事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
P(BC) P(B)P(C)
解：设事件 A 表示能交款的人
B1, B2, B3 分别表示当天报名、第二天上午报名、 第二天下午报名的职工
n
（1）P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1 0.60.8 0.30.6 0.10.4 0.7
（2）P(B3 | A)
P(B3)P( A | B3)
n
P(Bi )P( A | Bi )
练习
1.三人独立地做一项试验，试验成功的概率分别为
1 , 1 , 1 , 则三人试验都失败的概率为 21
248
64
2.若两事件A、B满足 A B，则不能推出结论（ B ） （A）P(AB) P(A) （B）P(A B) P(A)
（C）P( AB) 0
（D）P( AB) P(B) P( A)
C91 0.04 (0.96)8 0.04 0.0104
例4（赌本分配问题）甲乙约定先赢S局者胜，过一段 时间后比赛中止，此时甲赢a局，乙赢b局，设总赌金 为1，问赌金如何分配？
解： 再过 2s 1 a b局后必能分胜负
X表示2s 1 a b局中甲赢的局数
则甲赢 {X s a} 甲输 {X s a 1}
0.1 0.4 0.7
2 35
0.0571
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