概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
事件的运算律
（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA （2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C =A∩（B∩C）
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
概率论与数理统计
3. 事件间的关系及其运算
10 A B
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导 致事件B发生.
20 A B 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事
件B的和（并）事件,或记为A+B.
事件A1，A2，…An 的和记为
概率论与数理统计
样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。
必然事件包含一切样本点数理统计
例题 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,
产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%. 每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生 产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?
解: 设A={机器调整良好},B={生产的第一件产品为合格品}.已知
概率论与数理统计
概率的性质：
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.4
设随机试验E满足如下条件: (1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
(2) 每个样本点的发生是等可能的，即
则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
古典概型 中事件A 的概率计算公式为
概率论与数理统计
例题 从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,
P(B│A)=3/19 （2）在原样本空间中计算,由于
概率论与数理统计
2. 乘法定理
设P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B│A)
同样,当P(B)>0时,有： P(AB)=P(B)P(A│B)
乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:
概率论与数理统计
例题
设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与 取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问 前n1次取出黑球,后n2 =n -n1 次取白球的概率是多少?
概率论与数理统计（第3版）
普通高等教育“十三五”规划教材
第1章 概率论的基本概念
目录 CONTENTS
第1节 样本空间、随机事件 第2节 概率、古典概型 第3节 条件概率、全概率公式 第4节 独立性
01
第1节 样本空间、随机事件
概率论与数理统计
1. 随机实验
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不 能预测是哪一种结果的现象称随机现象。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
3. 全概率公式与贝叶斯公式 定义1.6
概率论与数理统计
全概率公式
概率论与数理统计
贝叶斯公式
概率论与数理统计
例题 某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产
量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该 厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由 甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?
则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
概率论与数理统计
例题
从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件:
A={正品件数不超过3}={0，1，2，3}
B={取到2件至3件正品}={2，3}
C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
04
第4节 独立性
概率论与数理统计
1. 事件的独立性 定义1.7 定理
定义1.8
概率论与数理统计
定义1.9
概率论与数理统计
例题 假设我们掷两次骰子,并定义事件A={第一次
掷得偶数},B={第二次掷得奇数},C={两次都掷得奇数或 偶数},证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立. 证明： 容易算出
（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表1-1所示.
表1-1
实验者 德·摩根 蒲丰 K·皮尔逊
n 2048 4040 12000
k 1061 2048 6019
f 0.5181 0.5069 0.5016
K·皮尔逊
24000
12012
0.5006
概率论与数理统计
2. 概率的公理化定义 定义1.3
概率论与数理统计
概率论与数理统计
某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中
例题 任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再
取到次品的概率是多少? 解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品},
需求P(B│A). （1）在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,剩下的产 品共19件其中3件次品,从而
概率论与数理统计
例题
（约会问题）甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地 点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t<T)后即离去,求 甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定 地点是等可能的)
概率论与数理统计
03
第3节 条件概率、全概率公式
概率论与数理统计
1. 条件概率的定义
定义1.5
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8}
F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}
概率论与数理统计
2. 样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。
基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。
“A”的概率。
解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”}，并设Ai={任取的13
张牌中恰有i张“A”}，i=1，2，3，4则
概率论与数理统计
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门基础学科。
概率论与数理统计
对随机现象进行的观察或实验称为试验。 若一个试验具有下列三个特点： （1）在相同条件下可重复进行。
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可 以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个 结果。
概率论与数理统计
例题 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别
为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.
概率论与数理统计
或
概率论与数理统计
2. 贝努里试验模型
定义1.10
概率论与数理统计
定理
概率论与数理统计
例题
一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张
,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
概率论与数理统计
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。 显然有：
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。
概率论与数理统计
60 A B 且A B
则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。 事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
事件的运算律
（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA （2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C =A∩（B∩C）
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
概率论与数理统计
3. 事件间的关系及其运算
10 A B
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导 致事件B发生.
20 A B 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事
件B的和（并）事件,或记为A+B.
事件A1，A2，…An 的和记为
概率论与数理统计
样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。
必然事件包含一切样本点数理统计
例题 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,
产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%. 每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生 产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?
解: 设A={机器调整良好},B={生产的第一件产品为合格品}.已知
概率论与数理统计
概率的性质：
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.4
设随机试验E满足如下条件: (1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
(2) 每个样本点的发生是等可能的，即
则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
古典概型 中事件A 的概率计算公式为
概率论与数理统计
例题 从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,
P(B│A)=3/19 （2）在原样本空间中计算,由于
概率论与数理统计
2. 乘法定理
设P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B│A)
同样,当P(B)>0时,有： P(AB)=P(B)P(A│B)
乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:
概率论与数理统计
例题
设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与 取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问 前n1次取出黑球,后n2 =n -n1 次取白球的概率是多少?
概率论与数理统计（第3版）
普通高等教育“十三五”规划教材
第1章 概率论的基本概念
目录 CONTENTS
第1节 样本空间、随机事件 第2节 概率、古典概型 第3节 条件概率、全概率公式 第4节 独立性
01
第1节 样本空间、随机事件
概率论与数理统计
1. 随机实验
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不 能预测是哪一种结果的现象称随机现象。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
3. 全概率公式与贝叶斯公式 定义1.6
概率论与数理统计
全概率公式
概率论与数理统计
贝叶斯公式
概率论与数理统计
例题 某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产
量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该 厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由 甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?
则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
概率论与数理统计
例题
从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件:
A={正品件数不超过3}={0，1，2，3}
B={取到2件至3件正品}={2，3}
C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
04
第4节 独立性
概率论与数理统计
1. 事件的独立性 定义1.7 定理
定义1.8
概率论与数理统计
定义1.9
概率论与数理统计
例题 假设我们掷两次骰子,并定义事件A={第一次
掷得偶数},B={第二次掷得奇数},C={两次都掷得奇数或 偶数},证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立. 证明： 容易算出
（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表1-1所示.
表1-1
实验者 德·摩根 蒲丰 K·皮尔逊
n 2048 4040 12000
k 1061 2048 6019
f 0.5181 0.5069 0.5016
K·皮尔逊
24000
12012
0.5006
概率论与数理统计
2. 概率的公理化定义 定义1.3
概率论与数理统计
概率论与数理统计
某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中
例题 任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再
取到次品的概率是多少? 解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品},
需求P(B│A). （1）在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,剩下的产 品共19件其中3件次品,从而
概率论与数理统计
例题
（约会问题）甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地 点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t<T)后即离去,求 甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定 地点是等可能的)
概率论与数理统计
03
第3节 条件概率、全概率公式
概率论与数理统计
1. 条件概率的定义
定义1.5
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8}
F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}
概率论与数理统计
2. 样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。
基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。
“A”的概率。
解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”}，并设Ai={任取的13
张牌中恰有i张“A”}，i=1，2，3，4则
概率论与数理统计
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门基础学科。
概率论与数理统计
对随机现象进行的观察或实验称为试验。 若一个试验具有下列三个特点： （1）在相同条件下可重复进行。
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可 以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个 结果。
概率论与数理统计
例题 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别
为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.
概率论与数理统计
或
概率论与数理统计
2. 贝努里试验模型
定义1.10
概率论与数理统计
定理
概率论与数理统计
例题
一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张
,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
概率论与数理统计
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。 显然有：
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。
概率论与数理统计
60 A B 且A B
则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。 事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。