上海交通大学大学物理A类第四章 机械振动讲解

mgh 1 mv2 2
mv (m M )v0

k mM
初始条件
x0
mg k
v0

m
m M
2gh
x0 Acos v0 Asin tan1 v0k
mg
t π
tan v0 x0
x0

O
x0
x
§4.3 微振动的简谐近似
a

d d
2x t2


2
Acos(
t
x=Acos(
)
t+
)
a(t) amax cos( t a ) 也是简谐振动
a

d2x d t2

2 x
d d
2x t2


2
x

0
§4.2 简谐振动(动力学部分)
一、 简谐振动的动力学方程 1. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
dt
1 kA2 sin2 ( t )
2
k m
Ek max

1 kA2 2
, Ek min

0
Ek

1 2
kA2 sin2(
t
)
Ek

1 T
t T
Ekdt
t

1 kA2 4
(2) 势能
Ep

1 2
kx 2
1 kA2 cos2 ( t )
2
E pmax , E pmin , E p 情况同动能。
第4章 机 械 振 动
振动有各种不同的形式 机械振动 电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
• 振动分类 受迫振动
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动
§4.1 简谐振动
(运动学部分)
一、简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
o
x
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
二、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v
振动的圆频率或角频率
= 1/T (Hz) = 2
T
3. 相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位
A

t=t
t=0
t+
o
A
x·
x
x = A cos( t + )
四、相位差
=( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1
• 同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相同,称同相
初相差
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相反 , 称反相 。
x
x
A1 A2
x2 x1
同相
T
A1 A2
x1
o
to
- A2
- A2
x2
-A1
-A1
反相
T t
• 超前和落后
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大,
称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
领先、落后以< 的相位角来判断
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
框架：mgx = f ¢L cos 30o f 2mg x 3L
f f 2mg x ma 谐振动！ 3L
T 2 3L
2g
[例题 ]质量为M的圆盘悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，一套
在弹簧上质量为m的圆环从离盘高h处自由下落，落在盘上后随盘
一起作简谐振动，问：环碰到盘后多久到达最低点？
如图所示，一刚体绕过o的垂直于纸 o 面的轴转动，满足转动定理：
θ rc
式中负号表示重力矩方向恰与
c x
角 的正方向相反(注明)。
令： 2 mgrc 得：
J
d 2
m
d2 y dt 2
ySg
d2 y dt 2

Sg
m
y

0
y A
y
A
O
m
m
Sg
m
[例题 ]三根长度均为 L = 2 米，质量均匀的直杆，构成一
正三角形框架 ABC，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个 框架可绕转轴转动。杆 AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可 在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却 静止不动，试论证松鼠的运动应是一种什么样的运动。
2
2
两边对t求导 :
mv
dv dt
kx
dx dt
0
d2x k
dt 2
m
x0
【例】 如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。
解： 设：比重计截面S 质量－m
液体比重
不考虑粘滞力
F [(V0 yS )]g m g
(V 0 g m g ) yS g
ySg
(2) 是t =0时刻的相位 — 初相
三、 简谐振动的描述方法
1. 解析法
由 x=Acos( t+ )
已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式
2. 曲线法
m
x A
o x0 = 0
xo -A
= /2
Tt
已知曲线
A、T、
已知 A、T、 曲线
3. 振幅矢量法

(3) 机械能
E

Ek

Ep

1 2
kA2
简谐振动系统机械能守恒
(1/2)kA2 o
E
Ep
Ek
x
Ep Ek Tt
2. 由起始能量求振幅 A 2E 2E0
k
k
三、简谐振动的动力学解法
1.由分析受力出发 (由牛顿定律列方程) 2. 由分析能量出发 (将能量守恒式对t求导)
1 mv 2 1 kx2 E 常数
已知 t 0, x x ,v v
0
0
x Acos v A sin
0
0
A
x02


2 0
2
tg1( 0 ) x0
二、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1.简谐振动系统的能量特点
(1) 动能
Ek

1 m 2
2
dx Asin(t )
2. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
k
m
oF
x
x 取平衡位置为坐标原点
由
F

ma

m
d2x d t2
及

F kx 有 k
m
d d
2x t2


2
x

0
3. 固有(圆)频率
弹簧振子: k
m
d d
2x t2


2
x

0
单 摆: 幅和相位 x=Acos( t+ )
x2
t
-A1
t 2 T
T4 2
五、简谐振动的速度、加速度 x=Acos( t+ )
1.速度
dx Asin(t )

dt
Acos(
t




)
2
(t) maxcos( t )
• 速度也是简谐振动 比x领先/2
2.
加速度