平面向量共线基本定理 测试卷

平面向量共线基本定理 测试卷

一、选择题

1．设D 是△ABC 的边AB 上的中点，则CD →

等于( ) A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12BA →

C.BC →－12

BA →

D.BC →＋12

BA →

2．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，DE →

等于( )

A.13CB →

B ．－13CB →

C ．－23

CB →

D.23

CB → 3．已知a ，b 是两个非零向量，有下列结论：①2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；②－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的2

5；③ a －b 与

－(b －a )是一对相反向量．其中正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ， CD →

＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．矩形

二、填空题

5．若a ＝m ＋2n ，b ＝3m －4n 且m ，n 共线，则a 与b 的关系是__________． 6．已知OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →

＝__________________. 三、解答题 7．在△ABC 中，CD DA ＝

AE EB ＝12

，记BC →＝a ，CA →＝b ，试用a ，b 表示DE →

.

8．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →

＝0. (1)若D ，E 分别是BC ，CA 的中点，求证：D ，E ，O 共线； (2)求△ABC 与△AOC 的面积之比．

答案解析

1．设D 是△ABC 的边AB 上的中点，则CD →

等于( ) A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12BA →

C.BC →－12BA →

D.BC →＋12

BA →

【答案】A

【解析】CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →

.故选A.

2．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，DE →

等于( )

A.13CB →

B ．－13CB →

C ．－23CB →

D.23CB → 【答案】C

【解析】DE →＝AE →－AD →＝23AC →－23AB →＝23BC →

＝－23

CB →.故选C.

3．已知a ，b 是两个非零向量，有下列结论：①2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；②－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的2

5；③ a －b 与

－(b －a )是一对相反向量．其中正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】2a 的方向与a 的方向相同，且|2a |＝2|a |，①正确；同样②正确；－(b －a )＝a －b ，∴a －b 与－(b －a )是一对相等向量，③错．故选C.

4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ， CD →

＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．矩形 【答案】A

【解析】AD →＝AB →＋BC →＋CD →

＝－8a －2b ＝ 2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|≠|BC →

|. ∴四边形ABCD 为梯形．故选A.

5．若a ＝m ＋2n ，b ＝3m －4n 且m ，n 共线，则a 与b 的关系是__________． 【答案】共线

【解析】∵m ，n 共线，∴m ＝λn ，∴a ＝(λ＋2)n ，b ＝(3λ－4)n .∴(3λ－4)a ＝(λ＋2)b .∴a 与b 共线．

6．已知OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →

＝__________________. 【答案】

a ＋λb

1＋λ

【解析】∵P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，即OP →－a ＝λ(b －OP →

)．∴OP →

＝

a ＋λb

1＋λ

. 三、解答题 7．在△ABC 中，CD DA ＝

AE EB ＝12

，记BC →＝a ，CA →＝b ，试用a ，b 表示DE →

.

【解析】AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →

)＝13(－a －b )，

AD →

＝23AC →

＝－23

b ，

∴DE →＝AE →－AD →

＝－13a －13b ＋23b ＝13

(b －a )．

8．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →

＝0. (1)若D ，E 分别是BC ，CA 的中点，求证：D ，E ，O 共线； (2)求△ABC 与△AOC 的面积之比．

【解析】(1)证明：如右图OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →

， ∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)． ∴2OD →＋OE →＝0，∴OD →与OE →

共线，即D ，E ，O 共线．

(2)解：由(1)知2|OD →|＝|OE →

|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，

即

S △ABC

S △AOC

＝3.