振动与波动习题课

P
5.5s
(2) 某振动振幅为A，周期为T，设t＝T/4时，质
点位移为x= A/ 2 ，且向正方向运动。则振动的
初位相为 __3___/_4__ x ,质点返回原点时的最小时
刻 t __3_T_/_8__
0
T /4
3. 如图为某时刻的波形图，该波波长为多少？
y(cm)
u
3
O
P
O
10
x(m)
O
O
.
t=0
1
t
= /2
yP
A cos(
2
t
)
d
O
P
X
（2）波动方程 t 时刻原点的振动为 t-dt 时刻P点的振动（沿负向传播）
原点的振动方程为：
yP
y
A cos (
2
t
)
O
.
1
t
yO
A cos[
2
(t
d) u
]
d
可直接得此式 O
P
X
波动方程
y Acos[ (t d x ) ]
2 uu
4、简谐振动的能量：
A.动能：
Ek
1 2
mV
2
1 2
kA2
sin 2 (t
)
1 2
m 2 A2
sin 2 (t
)
B.势能：
Ep
1 2
kx 2
1 2
kA2
cos2 (t
)
1 2
m 2 A2
cos2 (t
)
C.特点：机械能守恒
E
Ek
Ep
1 2
kA2
5. 简谐振动的合成：
A. 同向同频：合成运动仍为简谐振动。且合振动：
2
(b) x 6 102 cos ( 5 t ) m
6
3
x(m)
2. 用旋转矢量法讨论下列各题：
（1）右图为某谐振动x-t曲线，0.2
-
则初位相为
，P
.P
时刻 的位_相_ _/为3_＿＿＿＿＿，振
5.5
t(s) x
动方程为/＿2 ＿＿＿＿＿＿＿＿。
0
x 0.2cos(t / 3 / 3)(m)
Acos[2 ( t x d ) ] 4
（3）O处的振动方程
x=0, d= /2
得yO
Acos
2
t
7.一简谐波沿x轴正向传播，t=T/4的波形如图所示，若振动
用余弦函数表示，且各点振动的初相取 -到之间，则各点
的初相为: 初位相是t=0时刻的位相，故作出此刻波形图方便解决。
解：沿波线方向位相逐点落后
振幅： 初相：
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1) tan A1 sin1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos 2
Δ 2 1
2k ,
(2k 1) ,
A A1 A2 A A1 A2
B.同方向不同频率：拍——高频振动受到低频调制
拍频为： 2 1
C.两个相互垂直同频率的振动： 椭圆（一般情况）
3
2
Δ PO
2
6
2,
3
P xP xO 10 (m)
Δ PO
2
xP
xO
,
2 2 10
3
30 m
4. 余弦波以波速u＝0.5m/s沿x轴正向传播，在 x=1m的P点振动曲线如图a所示。现另有一沿x轴负 向传播的平面余弦波在t=1s时的波形曲线如图b所示， 试问这两列波是否是相干波?
y(cm)
u
Y
Y
a
b
c O
a .b
c
X
t
a 0
b
2
c
3
2
9. 图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图
求（1）波动方程 （2）P处质点的振动方程
解：设原点处质点的振动方程为
yo Acos(t )
-0.04
2
0.04 m
Y(m) u=0.08m/s
2. 描写振动的基本物理量及其关系：
A.振幅： A
B.角频率、频率和周期： , ,T
2
T
1
由系统固有条件决定角频率：
k m
(及 g等)
l
C.初相位：
由初始条件确定 A和 ：
A
x02
v02
2
tan v0 x0
3、简谐振动的描述方法：
⑴振动方程： x Acos(t )
⑵振动-时间曲线：x~t ⑶旋转矢量法：旋转矢量的投影反映谐振动.
减弱条件： (2k 1) (k 0,1,2,...)
A A1 A2
特例——驻波：
两列振幅相同、相向传播的相干波迭加形成驻波。
波腹与波节相间，相邻两波节（或波腹）间距为 2
驻波方程
y 2Acos(2 x 2 1 )cos( t 1 2 )
2
2
A驻 cos ( t )
波节 A驻 0
u
由旋转矢量得
Y
Y
b
a
c O a .b
cd
X
O
d O
a
2
b 0
c
2
t=0 t=T/4
d
8. 如图为沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形图 （1） 若沿X轴正向传播，确定各点的振动位相 （2） 若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相
解：⑴
u
Y
Y
c
a b
O
a
.b
c
X
t
a 0
b
2
c
3
2
（2）若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相
y(cm)
x 25 5 1.25T
u5 y(cm)
2-
. 2
4 t(s)
2-
. 10
.P
2
4t(s)
20 x(m)
6.一平面简谐波沿X轴负向传播，波长为，P点处质点
的振动规律如图
（1）求出P处质点的振动方程
（2）求此波的波动方程
（3）若图中d=/2，求O处质点的振动方程
解：
Y
y
=
t=1
t=/2
x u
)
平均能量密度： w E 1 A2 2
V 2
平均能流： P w us
平均能流密度： I wu 1 A2 2u (波的强度)
2
4. 波的干涉：
振动方向相同
相干条件：两列波 频率相同
相位差恒定
2
1
2
(r2
r1 )
加强条件： 2k (k 0,1,2,...)
A A1 A2
D.两个相互垂直不同频率的振动： 李萨如图形
二、波动：
1. 平面简谐波波动方程：
y
A cos (t
x) u
A cos(t
2
x
)
Acos2
(ห้องสมุดไป่ตู้ T
x)
2. 描写波动的物理量及其关系:
周期（频率）：T ( ) 由波源决定
波速： u
由介质决定
波长：
3. 波的能量:
uT
u
能量密度：w
E V
A2 2 sin 2 (t
波腹 A驻 2 A
5. 半波损失： 波从波疏介质射向波密介质时，在界面处反射
时位相发生 的突变的现象。
6. 多普勒效应 u R u S
二、课堂例题
1. 如图两个谐振动曲线， 写出谐振动方程。
x(cm)
x(cm)
6
6
3
O
1
t(s)
O
1
t(s)
(a)
(b)
(a )
x 6 102 cos ( t ) m
4
a
1 2 3 4 t(s)
不是。计算可知，不满足 相干条件：角频率不同。
y(cm) 4
b
1 2 3 4 x(m)
5. 设波源位于坐标原点O，波源 y(cm)
的振动曲线如图，u＝5m/s,沿X 2 正方向传播。（1）画出位于
x=25m处质点的振动曲线；（2）
画出t=3s时的波形曲线。
T 4, uT 20,