行列式理论的应用

行列式理论的应用

班级数学1103 学号 20112744 姓名张冰清

内容摘要：行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具.本文主要从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用。行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法.行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用.

关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

正文部分

导言：行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题.时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用.行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分.

本文主要研究行列式理论的总体概况，整理了行列式的定义、性质，并举例说明了行列式性质在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论的应用.例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.

具体内容部分

1、行列式的概念及性质

1.1行列式的定义

以下给出给出行列式的两种定义 方式一：对任何n 阶方阵()n

ij

a A =，其行列式记为n

ij a

A =

()()∑

-=

=n

n n

p p n

p p p p p p t n

ij

a a a a ΛΛΛ212

1

2

1p 2

1A ，

（1）

其中n p p Λ21p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n 项)全体求和.

方法二：行列式记作Λ（或Λdet ，它是关于方阵的一种算式，满足下列三个公理：

公理1：数a 的行列式，等于其自身，即a a =或a a =det ，其中a 是数（为了不与绝对值相混淆，数a 的行列式一般避免写成a ）；

公理2：分块三角形矩阵的行列式，等于其主对角线上各个子块的行列式之积.即有

B A B

0A B

A ==

Λ

Λ

其中A 与B 均是方阵；

公理

：两个同阶方阵的乘积的行列式，等于这两个方阵各自行列

式之积，即B

A A

B =或()AB det ＝

detA detB ，其中

A 与

B 是阶数相同的方阵

将矩阵A 做行列式计算的结果，称为A 的行列式，简称为行列式.关于矩阵的若干名称，也相应地用于行列式. 1.2行列式计算的相关性质

性质1.行列互换，行列式不变.即

nn

n n

n n nn

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a Λ

M M M Λ

ΛΛ

M M M ΛΛ

212

22121211121

22221112

11= 性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立.

性质2.对换行列式两行的位置，行列式反号. 性质3.若行列式有两行相同,则行列式等于0.

性质4.以一数乘行列式的一行,等于乘行列式，或者说一行的公因式可以提出

去.即

nn

n n in i i n nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a Λ

M M M ΛM M M ΛΛ

M M M ΛM M M Λ21211121121

2111211= 推论1.若行列式某行（列）元素都是0,则行列式等于0. 由性质4和性质3又可得到:

推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0. 性质5.行列式具有分行相加性.即：

nn n n n n n a a a c b c b c b a a a ΛM M M ΛM M M M Λ21221111211+++=nn n n n n a a a b b b a a a ΛM M M ΛM M M M Λ212111211+nn n n n n a a a c c c a a a ΛM M M ΛM M M M Λ212111211

性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变.

nn

n n kn h k in i i n nn n n kn k k kn in k i k i n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a Λ

M ΛM M M M M Λ

M M

M Λ

ΛM M M ΛM M M Λ

M M

M Λ

212121112

11

21

21221

1112

11=+++ 2、行列式计算的应用 2.1.1解方程

例1.解方程

03

6

3

2

19632871874122=+x x

解：由行列式性质可得，42=x 或1932=+x .解一元2次方程可得，4,2±=±=x x .另根据行列式的定义观察行列式中x 的最高次幂是4次（切系数不为零）可原得原方程有4个根，即4,2±=±=x x . 2.1.2计算行列式