平面向量复习 公开课精华

(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义：
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .
3、数量积的坐标运算
B
abx1x2y1y2
θ
4、运算律: （1） abba O
B1
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12
3 2
,-
3 2
)
BD=(
9 2
,
9 2
)
DC=(
1 2
|AD|2=
,
9
4
1 2
)
+
9 4
=
9 2
BD·DC=
9 4
+
9 4
=
9 2
∴AD2=BD·DC
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
2、单位向量：长度为1 的向量叫单位向量。记作
a |a |
。
3、相等向量： 长度相等，方向相同 的向量叫相等向量。
4、相反向量： 长度相等，方向相反的向量叫相反向量。
5、平行向量：表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上
的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量
6、请说出以上向量的相互关系？
三、向量的运算
1 2
而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7
|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7
|a|= 7 |b|= 7 ∴cosα=
ab |a||b|
α12 =120。
8、（1）已知a,b都是非零向量，且
a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，
二、向量的表示
1、代数字母表示： AB或a （可运算） | AB|或| a|
2、几何有向表示：
3、坐标表示：（综合运算）
axiyj （x，y）
OA（x，y）
（有向线段、作图）
y
y a A (x,y) Ojix
a
x
三、几个特点向量
1、零向量：长度为零 的向量叫零向量。记作 0 ，
零向量的方向是 任意的 ，零向量与任意向量 平行。
（2）D(x,y)
AD=(x-2,y-4) BC=(5,5)
BD=(x+1,y+2)
AD⊥BC
∴AD·BC=0
5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线
∴5×(x+1)-5(y+2)=0
x+y-6=0 x-y-1=0
x= y=
7 2 5 2
AD=(
3 2
,-
3 2
)
D(
7 2
,
5 2
)
（3）AD=(
二、解答题：
7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向 量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a 与b的夹角α。
解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。
∴e1.e2=|e1||e2|cos60。=12
∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)
=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3
2
2
22
2
解：∵ a 2 e 1 e 2 2 e 1 e 2 4 e 1 4 e 1 e 2 e 2
22
1
4 e 1 e 2 4 e 1 e 2 c o s 6 0 4 1 4 1 1 2 1 7
∴ 来自百度文库 7 同理可得 b 7
a b cos2 e 1 ae 2 b 3 e 1 722 e 2 1 6 e 1 2 e 1 e 2 2 e 2 2 7 2 a b 7 7 2
求a与b的夹角；(2)已知|a|= 3 ,|b|= 2 ，
且a与b的夹角为
6
，试求a+2b与a-b
的夹角θ的大小。
解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0
(a-4b)·(7a-2b)=0
7a+16a·b-15b=0
7a2-30a·b+8b2=0
a2=b2 2a·b=b2
∴cosθ=
a b
|a|| b|
∴
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
平面向量 (复习课)
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向量
向量有关概念 向量的定义
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
单位向量及零向量
向量的减法
求长度
相等向量及相反向量 实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的概念
1、向量：既有 大小 ，又有 方向 的量 叫做向量。
向量的两要素： 大小 和 方向 （与位置无关，没有大小）
六、向量的长度
坐标表示
（ 1 ） aa|a|2， | a |
2
a
（ 2 ） 设 a （ x ， y ） ， 则 | a | x 2 y 2
（ 3 ） A （ x 若 1 ， y 1 ） B （ x ， 2 ， y 2 ）|A ， | B （ x则 1x2） 2（ y1y2） 2
七、向量的夹角
cos a b
| a || b |
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
特别注意：
ab0 cos0 为锐角 0 或
ab0 cos0 为钝角 或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
9、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC 解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3)
AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC
2
0
(b c ) (b c ).
[答案] C
例9. 已知在ABC中,OAOB OB OC OC OA, 则O是ABC 的 _______ 心.
[解] 由OAOB OB OC得： OB (OA OC) 0, 即OB CA 0 OB CA,同理OC AB,OA BC, 故O是ABC的垂心.
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 5、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33， 则a与b的夹角为（ C ）
A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 6.若|a-b|= 4120 3,|a|=4,|b|=5,则a·b=(A )
A.10 3 B.-10 3 C.10 2 D.10
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则：A B B C A Ca + b
平行四边形法则： 2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， yA2） a
则 a b （ x1x2， y1y2） D
（二）向量的减法 A B A D D Bb a + b
1、作图 平行四边形法则：
Aa
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
例 6 、 设 e 1 ,e 2 为 两 个 单 位 向 量 且 夹 角 为 6 0 o 。
若 a 2 e 1 e 2 ,b 3 e 1 2 e 2 。 求 a 与 b 的 夹 角 .
1 2
θ=60。
（2）a2=3 b2=4 |a|·|b|=2 3 a·b=|a|·|b|cosθ= 3·cos30。=3
| a2b| (a2b)2 a2 4ab4b2 31
| ab| (ab)2 a2 2abb2 1
cosQ (a2b)(ab) |a2b| a| b|
23311
Qarccos(23311)
夹角为钝角，则λ的取值范围是( A)
A.λ> 103B.λ≥ C103 .λ< D103.λ≤
10 3
3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，则a和b
的夹角θ是（ A）
A.120。 B.150。 C.60。 D.30。
4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。， c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（B）
A
（ 2 ）（ a ） b（ ab ） a（ b ）
（ 3）a（ b） cacbc
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= a b
|a ||b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
（ 1）abab0 向量表示 （ 2 ） a b x1x2y1y20坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1） a//bba（ a0） 向量表示
（ 2 ） b / / a x 1 y 2 x 2 y 1 0 ， 其 中 a （ x 1 ， y 1 ） ， b （ x 2 ， y 2 ）
a
则b与c一定满足( )
A. b a C. (b c ) (b c )
B. b c 0 D.以上都不对
例8. 若向量a 0,b a , c (cos ,sin ),
a
则b与c一定满足( )
[解]
b
1,
c
cos2 sin2 1
(b
c )(b
c )
b2
c
∴θ=120°
例 7 、 已 知 a （ 1 ， 2 ） ， b （ 3 ， 2 ） ， 当 k为 何 值 时 ， （ 1 ） kab 与 a3 b垂 直 。 （ 2 ） kab与 a3 b平 行 。 平 行 时 它 们 是 同 向 还 是 反 向 ？
（1）k=19
（2）k 1 , 反向 3
例8. 若向量a 0,b a , c (cos ,sin ),
考点归纳 1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算 4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积
练习
一、选择题：
1、如图所示，G为ABC的重心，则
GA+GB-GC等于（ D ）
A
A. 0 B. GE C. 4GD D. 4GF
F
E
G
B
DC
2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b的
2、数乘向量的坐标运算 ： a （ x ， y ） （ x ， y ）
3、数乘向量的运算律：
aa（ ） aaa （ a b ） a b
4、平面向量基本定理
如 果 e1， e2是 同 一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于
这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a， 有 且 只 有 一 对 实 数 1 ， 2使 a1e12e2
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， y2）
则 a b （ x1x2， y1y2）
（三）数乘向量 λ a( R)
1、 a 的大小和方向：（1）长度： a a （2）方向： 当 0时， a与 a同 向 当 0时， a与 a异 向
当 0时， a0